Mục lục
1 Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác 2
2 Tổ hợp -xác suất 3
3 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân 4
4 Giới hạn 5
5 Đạo hàm 6
5.1 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.1.1 Định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.1.2 Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . 6
5.1.3 Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm . . . . . . . . . . . 6
5.1.4 ý nghĩa hình học của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.1.5 ý nghĩa vật lí của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.2 Quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.1 Các công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.2 Phép t oán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.3 Đạo hàm của hàm số hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.3 Đạo hàm của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.3.1 Các giới hạn cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.3.2 Các công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.4 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.5 Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.5.2 ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . 19
www.VNMATH.com
Chương 1
Hàm số lượng giác và phương trình
lượng giác
2
www.VNMATH.com
Chương 2

∆x
được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x
0
, kí hiệu f

(x
0
) hay y

(x
0
).
Vậy f

(x
0
) = lim
∆x→0
f(x
0
+ ∆x) −f(x
0
)
∆x
= lim
x→x
0
f(x) −f(x
0
)

.
6
www.VNMATH.com
5.1 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm 7
5.1.4 ý nghĩa hình học của đạo hàm
Nếu tồn tại, f

(x
0
) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại
M
0
(x
0
; f(x
0
)) . Khi đó phương trình tiếp t uyến của đồ thị hàm số tại M
0
là
y = f

(x
0
)(x −x
0
) + f (x
0
).
5.1.5 ý nghĩa vật lí của đạo hàm
v(t) = s

.
Bài 5.1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại x
0
:
a) y = f (x) = x
2
− 3x + 3 tại x
0
= 1;
b) y = f(x) =
x + 1
x −1
tại x
0
= 0;
c) y = f(x) =
√
7 −2x tại x
0
= 3.
Giải
a) Cách 1
Cho x
0
= 1 một số gia là ∆x; ∆y = f (1 + ∆x) −f(1) = (∆x)
2
− ∆x;
Tỉ s ố
∆y
∆x

Thạc sỹ Trần Văn Khánh
www.VNMATH.com
5.1 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm 8
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M
0
là
y = f

(x
0
)(x −x
0
) + f (x
0
).
Bài 5.2. Cho hàm số y = x
3
−3x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuy ến của
đồ thị
(C) tại điểm có hoành độ x
0
= 3.
Giải
y

= f

(x) = 3x
2
− 3.

=
5 + ∆x
∆x − 1
;
lim
∆x→0
∆y
∆x
= −5.
Vậy y

(1) = −5.
b) Phương tình tiếp tuyến y = −5x + 3.
Loại 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc k
Phương pháp
Gọi x
0
là hoành độ tiếp điểm. Khi đó f

(x
0
) = k ⇒ x
0
, tính y (x
0
) = f(x
0
).
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là
y = k (x −x

5.1 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm 9
Bài 5.5. Cho hàm số y = x
2
−2x + 3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuy ến của
đồ thị (C):
a) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
4x −2y + 5 = 0;
b) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 4y + 5 = 0
Giải
a) Gọi
x
0
là hoành độ tiếp điểm. Khi đó f

(x
0
) = 2 ⇔ 2x
0
− 2 = 2 ⇔ x
0
= 2.
x
0
= 2 ⇒ y (2) = 3. Phương trình tiếp tuyến là y = 2x −1.
b) Gọi x
0
là hoành độ tiếp điểm. Khi đó f

(x
0

x→0
−
f(x) −f( 0)
x −0
= lim
x→0
−
(x + 2) = 2;
lim
x→0
+
f(x) −f( 0)
x −0
= lim
x→0
+
(x −2) = −2.
Điều đó chứng tỏ hàm số y = f (x) không có đạo hàm tại x = 0.
b) lim
x→0
−
f(x) = lim
x→0
+
f(x) = 1 và f(0) = 1. Vậy hàm số liên tục tại x = 0.
Bài 5.7. Chứng minh rằng hàm số
f(x) =

cosx, x ≥ 0
sin x, x < 0

4x −3
2 −3x
tại x
0
= −1;
c) y = f (x) =
√
5 −2x tại x
0
= 2;
d) f(x) =



1 −cosx
x
, x = 0
0, x = 0
, x
0
= 0;
e)
f(x) =



x
2
sin
1

2
− 4x + 1;
b)
f(x) =
1
2x −3
.
Hướng dẫn
a) f

(x) = 2x −4;
b) f

(x) =
−2
(2x + 3)
2
.
Bài 5.10. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số sau:
a)
y =
x
2
+ 4x + 5
x + 2
tại điểm có hoành độ x = 0;
b)
y = x
3
− 3x

a) y =
2x + 1
x −1
tại điểm có hoành độ x = 2;
b) y = x
3
+ x + 3 tại điểm A(−1; 1);
c) y =
√
3x −2 tại điểm có hoành độ x = 2.
Hướng dẫn
a) y = −3x + 11;
b) y = 4x + 5;
c) y =
3
4
x +
1
2
.
Bài 5.12. Cho parabol (P ) có phương trình
y = x
2
.
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabo l (P ):
a) Tại điểm A(-2;4);
b) Tại giao điểm của (P ) với đường thảng y = 3x −2.
Hướng dẫn
a) -4;
b) 2 và 1.

Bài 5.14. a) Cho hàm số y =
x + 1
x −1
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị (C) biết tiếp t uy ến song song với đường thẳng y = −2x + 1;
b) Cho hàm số y =
x + 2
x −2
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x + 2;
c) Cho hàm số y = −
1
3
x
3
+ 3x
2
−5x + 1 có đồ thị (C). Tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn
nhất của đồ thị (C).
Thạc sỹ Trần Văn Khánh
www.VNMATH.com
5.2 Quy tắc tính đạo hàm 12
Hướng dẫn
a) Có hai phương trình tiếp tuyến y = −2x −1, y = −2x + 7;
b) Có hai phương trình tiếp tuyến
y = −x − 1, y = −x + 7;
c) Gọi x
0
là hoành độ tiếp điểm, y


x
, x > 0.
5.2.2 Phép toán
a)
(u ±v ± w)

= u

± v

± w

;
b) (u.v)

= u

v + uv

;
c) (ku)

= k.u

;
d)

u
v


(u
x
)

.
B. Bài tập minh họa
Dạng toán 1. Tính đạo hàm của hàm số
y = f(x)
Phương pháp
Vận dụng các công thức và các phép toán để tính đạo hàm.
Thạc sỹ Trần Văn Khánh
www.VNMATH.com
5.2 Quy tắc tính đạo hàm 13
Bài 5.16. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y = f (x) = x
4
− 3x
3
+ 5x
2
− 4x + 1;
b)
y = f(x) =
1
x
2
−
1
x
3


= f

(x) =
3
x
4
−
2
x
3
;
c) y

= f

(x) = 4x
3
+ 3x
2
+ 2;
d) y

= f

(x) =
17
(3x + 5)
2
;


(
√
x −1);
c)
y =
−x
2
+ 2x + 3
x
3
− 2
;
d) y = (x −2)
√
x
2
+ 1.
Giải
a)
y

=

4x
3
−2x
2
− 5x


−
2
x
2
+ 3

(
√
x −1) +
1
x
√
x
+
3
2
√
x
;
c)
y

=

−x
2
+ 2x + 3




2
;
Thạc sỹ Trần Văn Khánh
www.VNMATH.com
5.2 Quy tắc tính đạo hàm 14
d) y

=
2x
2
− 2x + 1
√
x
2
+ 1
.
C. Bài tập tự luyện
Bài 5.18. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y =

x
2
−1

6
;
b) y = x(x + 2)
4
;
c) y =

√
x
2
+ 6x −7;
b) y =
√
x + 2 +
√
4 − x;
c) y = x
√
6 − x.
Hướng dẫn
a) y

=
x + 3
√
x
2
+ 6x −7
;
b)
y

=
1
2

1

2
+ x + 1;
c) y =
√
x
2
+ x + 3
2x + 1
.
Hướng dẫn
a) y

= 4x

x
2
−1

+
x
√
x
2
+ 4
;
b) y

=
4x
2


;
b)
y =

x
2
+ 1

x
3
+ 1

2

x
4
+ 1

3
;
c) y =

a +
b
x
+
c
x
2

4
+ 1

3

x
2
+ 1

x
3
+ 1

+12x
3

x
4
+ 1

2

x
2
+ 1

x
3
+ 1


− 2x −3. Chứng minh rằng f

(1) + f

(−1) = −4f(0);
b) C ho f(x ) = 2x
3
+ x −
√
2, g(x) = 3x
2
+ x +
√
2. Giải bất phương trình f

(x) > g

(x);
c) C ho f(x ) =
2
x
, g(x) =
x
2
2
−
x
3
3
. Giải bất phương trình f


=
1
cos
2
x
;
d) (cot x)

= −
1
sin
2
x
.
Thạc sỹ Trần Văn Khánh
www.VNMATH.com
5.3 Đạo hàm của hàm số lượng giác 16
B. Bài tập minh họa
Dạng toán 1. Tính đạo hàm các hàm số lượng giác
Phương pháp
Dùng giới hạn của hàm số lượng giác và các công thức tính đạo hàm của các hàm số
lượng giác.
Bài 5.23. Tính các đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = sin 3x + cos
x
5
+ tan
√
x;

1
2
√
xcos
2
√
x
;
b) y

= ( 2x − 5) cos

x
2
−5x + 1

−
a
x
2
cos
2
a
x
;
c) y

=
1
2

2
(cos3x);
d) y =
x
1 −cosx
.
Giải
a)
y

= 4sin
3
xcosx + 4cos
3
x(−sin x) = −sin 4x
b) y

= 2cosxcos(2 sin x );
c) y

= −3 sin 3x sin(2cos3x);
d) y

=
1 − cosx −x sin x
(1 −cosx)
2
.
C. Bài tập tự luyện
Bài 5.25. Tính các đạo hàm của các hàm số sau:

3cos
2
x −1

;
c) y

= −x sin x;
d) y

=
2cosx
(1 − sin x)
2
;
e) y

=
2
(sin x + cosx)
2
.
5.4 Vi phân
A. Tóm tắt lí thuyết
5.4.1 Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x ∈ (a; b). Giả sử
∆x là một số gia của x s ao cho x + ∆x ∈ (a; b).
Tích f

(x)∆x hay y

Thạc sỹ Trần Văn Khánh
www.VNMATH.com
5.5 Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao 18
Giải
a) Ta có y

= x sin x, do đó dy = x. sin xdx;
b) Ta có
y

= −
3
x
4
, do đó dy = −
3
x
4
dx
;
c) Ta có
y

= −
6x
2
(x
3
− 1)
2

√
x, với x
0
= 1, ∆x = −0, 00002. Vậy
√
0, 99998 ≈ 0, 99999;
b) Xét hàm số y = sin x, với x
0
= 0, ∆x = −0, 00002. Vậy sin(−0, 00002) ≈ 0, 00002.
C. Bài tập tự luyện
Bài 5.28. Tìm vi phân của các hàm số:
a)
y = 2xsinx +

2 −x
2

.cosx;
b)
y = si n

cos
2
x

.cos

sin
2
x

Thạc sỹ Trần Văn Khánh
www.VNMATH.com
5.5 Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao 19

f

(x)


= f

(x).
Tương tự

f

(x)


= f

(x);

f
(n−1)
(x)


= f
(n)

c)
y = x. sin 2x;
d)
y = sin x. sin 2x. sin 3x.
Giải
a) y

=
1 + 2x
2
√
1 + x
2
⇒ y

=
x

3 + 2x
2

(1 + x
2
)
√
1 + x
2
;
b) y


= −sin 2x − 4 sin 4x + 9 sin 6x.
C. Bài tập tự luyện
Bài 5.30. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) y =
x
x
2
− 1
;
b) y =
x + 1
x −2
.
Thạc sỹ Trần Văn Khánh
www.VNMATH.com
5.5 Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao 20
Hướng dẫn
a)y =
1
2

1
x + 1
+
1
x −1

⇒ y

=

= −
3
(x −2)
2
;
y

=
6
(x −2)
3
Bài 5.31. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a) y =
1
1 −x
;
b)
y =
1
1 + x
;
Hướng dẫn
a)
y

=
1
(1 − x)
2
; y


;
b)(cosx)
(n)
= cos

x + n
π
2

.
Thạc sỹ Trần Văn Khánh
www.VNMATH.com
5.5 Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao 21
Bài tập cuối chương
Bài 5.33. Dùng định nghĩa tính đ ạo hàm của hàm số y = tan x tại x
0
∈ D
f
Hướng dẫn
lim
x→x
0
tan x − tan x
0
x −x
0
= lim
x→x
0

Bài 5.39.
Hướng dẫn
Bài 5.40.
Hướng dẫn
Thạc sỹ Trần Văn Khánh
www.VNMATH.com
5.5 Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao 22
Bài 5.41.
Hướng dẫn
Bài 5.42.
Hướng dẫn
Bài 5.43.
Hướng dẫn
Bài 5.44.
Hướng dẫn
Bài 5.45.
Hướng dẫn
Bài 5.46.
Hướng dẫn
Thạc sỹ Trần Văn Khánh
www.VNMATH.com