SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

PHÚ THỌ

Lớp 9 THCS năm học 2014-2015
Môn Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang

ĐỀ CHÍNH THỨC

-----------------------------------------------------------

Câu 1 (3,0 điểm)
a)Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x 2 + y 2 − xy = x + y + 2 .
b) Chứng minh rằng với ba số tự nhiên a,b,c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn
ta luôn có ( a + b + c ) 3 − ( a + b − c ) 3 − ( b + c − a ) 3 − ( a − b + c ) 3 Chia hết cho 96
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có 1 +  1 + 1 
n

b) Tính tổng S = 1 + 1 + 1 


2

3

2


b) Giải hệ phương trình

(

) (

)

 x 2 − 1 y + y 2 − 1 x = 2( xy − 1)
 2
4 x + y 2 + 2 x − y − 6 = 0

Câu 4 (7,0 điểm)
Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R) ,( BC
Câu 2 (4,0 điểm)
c) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có 1 +  1 + 1 
n

d) Tính tổng S = 1 + 1 + 1 


2

3

2

n + 2

2

= 1+

2

1 
1 1
1 1
 1
+ 1 +  +  + 1 +  +  + ..... + 1 + 
+

2 4
3 5


1 
1
1
2
2
2
1 
1
 1
1+  +
+ −
−
= 1 + −
 = 1+ 2 +

2
n n + 2 n(n + 2)  n n + 2 
n
(n + 2)
n n + 2
2

2

Nên 1 +  1 + 1  = 1 + 1 − 1
n n+2
n n + 2
1
1 1

)

 x 2 − 1 y + y 2 − 1 x = 2( xy − 1)
 2
4 x + y 2 + 2 x − y − 6 = 0

Hướng dẫn
x = 0
 x(2 x − 1) ≥ 0 
⇒ 1
a) ĐKXĐ: 
 ≤x≤2
 x(2 − x) ≥ 0
2

2


2 x 2 − x = 2 x − x 2 ⇔ 2 x 2 − x − x 2 x 2 − x + (1 + x ) 2 x 2 − x − x(1 + x) = 0
⇔

(

2x − x − x
2

)(

)


; 3 + 1; 
;1 − 3 ; 
; 
2

 2

  5 5 
A

E
Q
O

F
B
D

P

M

C

R

a) Do tứ giác BCEF nội tiếp suy ra ∠AFE = ∠BCQ mà ∠AFE = ∠BRQ ( so le )
Suy ra ∠BCQ = ∠BRQ nên tứ giác BQCR nội tiếp
b) EM là trung tuyến tam giác vuông BEC nên tam giác ECM cân tại M suy ra
∠EMD = 2∠ACB mà tứ giác BCEF; ACDF nội tiếp nên ∠ACB = ∠AFE = ∠BFD suy ra

3

yz

+3

y
xz

+

z
3

xy

≥ xy + yz + xz

Hướng dẫn
x

A=

3

yz

+3

y

Ta có 3 = x 2 + y 2 + z 2 ≥ 33 x 2 y 2 z 2 ⇔ xyz ≤ 1
Nên A ≥ x3 x + y 3 y + z 3 z
Áp dụng BĐT Bunhia cho 2 dãy dãy 1 : 3 x 2 ; 3 y 2 ; 3 z 2

(x

3

x + y3 y + z 3 z

)(

Dãy 2 : 3 x ; 3 y ; 3 z
3

)

x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 ≥ ( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + xz ) (*)
2

x2 +1+1 3 2
y2 +1+1 3 2
z2 +1+1
Ấp dụng Côsi x .1.1 ≤
; y .1.1 ≤
; z .1.1 ≤
3
3
3
2

x + z +1 3
y + x +1
; xz.1 ≤
; yx.1 ≤
3
3
3

Nên
A=
B≥

x
3

yz

+3

y
xz

+



 
x
y
z