SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2014 – 2015
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (1,5 điểm): Cho biểu thức:
3 16 7 1 7
2
2 3 3 1 1
x x x x x
A
x x x x x
   
+ − + +
= − − : −
 ÷  ÷
+ − + − −
   
a) Rút gọn biểu thức
A.
b) Tìm
x
để
6.A
= −
Câu 2 (1,5 điểm): Cho hệ phương trình:
2 2
2 5
mx y
x my
− =


1.a b c
+ + =
Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
3 2 3 2 3 2
9 3 9 3 9 3
a b c
P
a b c b c a c a b
= + +
+ + + + + +
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên
( ; )x y
thỏa mãn:
2
(1 ) 4 ( 1).x x x y y+ + = −
Câu 4 (3,0 điểm): Cho đoạn thẳng
AC
có độ dài bằng
.a
Trên đoạn
AC
lấy điểm
B
sao cho
4 .AC AB
=
Tia
Cx
vuông góc với

BDE
có diện tích nhỏ nhất .
c) Chứng minh rằng khi điểm
D
thay đổi trên tia
Cx
thì đường tròn đường kính
DE

luôn
có một dây cung cố định.
Câu 5 (1,0 điểm): Cho dãy gồm
2015
số:
1 1 1 1 1
; ; ; ; ; .
1 2 3 2014 2015
Người ta biến đổi dãy nói trên bằng cách xóa đi hai số
u,v
bất kỳ trong dãy và viết thêm
vào dãy một số có giá trị bằng
u v uv+ +
vào vị trí của
u
hoặc
v.
Cứ làm như thế đối với dãy
mới thu được và sau
2014
lần biến đổi, dãy cuối cùng chỉ còn lại một số. Chứng minh rằng giá

(1,5
đ)
Cho biểu thức:
3 16 7 1 7
: 2
2 3 3 1 1
x x x x x
A
x x x x x
   
+ − + +
= − − −
 ÷  ÷
+ − + − −
   
a) (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức
A
.
Điều kiện:
0
2 3 0
3 0
1 0
2 0
1
x
x x
x
x
x

x x
x x x x x x
x x x x x x
x x
− +
+ − + + + +
− − = − −
+ − + − + −
− +2 6 7
3 1
x x
x x
+ +
= −
+ −
( )
2 3
7 7 9
2
3 1 1 1
x
x x x
x x x x
+
+ + −
= − = − =
+ − − −

9
6 6 9 6 2
2
x
A x x
x
−
= − ⇔ = − ⇔ − = − −
−
0,25

7 21 9x x= ⇔ =
(thỏa mãn điều kiện). Vậy để
6A
= −
thì
9x
=
0,25
Câu
2
(1,5
đ)
Cho hệ phương trình:
2 2
2 5
mx y
x my
− =


⇔ ⇔
 
+ = + =
 
0,25

15 15
52 52
5 2 23
10 52
x x
x
y y
 
= =
 
 
⇔ ⇔
 
−
 
= =
 
 

Kết luận: với
10m
=
thì hệ có nghiệm duy nhất:
15

− + −
+ − =
+
Dùng phương pháp thế, ta có:

2 2
2 5
mx y
x my
− =


+ =

2
2
2
2
2
2 5
2 5
2
mx
mx
y
y
mx
x my
x m
−

mx
x
y
m
, m R
m
m x=2m+10
y
m
+

−

=
=
 
+
⇔ ⇔ ∀ ∈
 
−
 
+
=


+
Nên hệ luôn có nghiệm duy nhất:
2
2
2 10

m m
x y
m
− + −
+ − =
+
Ta được:
2 2
2 2
2014 7 8050 2015 14 8056
4 4
m m m m
m m
− + − − + −
=
+ +
2 2
2014 7 8050 2015 14 8056m m m m
⇔ − + − = − + −
0,25

( ) ( )
2
7 6 0 1 6 0m m m m⇔ − + = ⇔ − − =
.
1
6
m
m
=


Câu
3
(3,0
đ)
a) (1,5 điểm) Cho ba số thực dương
, ,a b c
thỏa mãn
1a b c+ + =
. Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức:
3 2 3 2 3 2
9 3 9 3 9 3
a b c
P
a b c b c a c a b
= + +
+ + + + + +
Chứng minh:

2 2 2 2 2 2 2
( )( ) ( )a b c x y z ax by cz+ + + + ≥ + +
,
, , , , ,a b c x y z R∀ ∈
. (1)
Thật vậy:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(1) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0a y abxy b x a z acxz c z b y bcyz c z
⇔ − + + − + + − + ≥
2 2 2

0,25

3 2
1
9 3
1 1
9 3
a b c
c
a
⇒ + + ≥
+ +
3 2
1 1
( )
9 3 9 3
a
a c
a b c a
⇒ ≤ + +
+ +
0,25
Tương tự có:
3 2 3 2
1 1 1 1
( ); ( )
9 3 9 3 9 3 9 3
b c
b a c b
b c a b c a b c

m
P a b c= ⇔ = = =
. 0,25
b) (1,5 điểm ) Tìm tất cả các cặp số nguyên
( ; )x y
thỏa mãn:
2
(1 ) 4 ( 1)x x x y y+ + = −
Có:
2
(1 ) 4 ( 1)x x x y y+ + = −
3 2 2
( ) ( 1) 4 4 1x x x y y⇔ + + + = − +

2 2
( 1)( 1) (2 1)x x y⇔ + + = −
(1)
0,25
Vì
( )
2
, 2 1 0x y y∈Ζ ⇒ − >
, nên từ
( )
1 0x⇒ ≥
và
x
chẵn. 0,25
Giả sử
2

(1) 4 ( 1) 0
1
y
y y
y
=

⇔ − = ⇔

=

.
Vậy có hai cặp số nguyên
( )
;x y
thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
(0;0),(0;1)
0,25
Câu
4
(3,0
đ)
Cho đoạn thẳng
AC
có độ dài bằng
a
. Trên đoạn
AC
lấy điểm
B

.
a) (1,0 điểm) Tính giá trị
.DC CE
theo
a
.
Ta có:
·
·
EBC ADC=
(Cùng bù với góc
·
KBC
);
·
·
90
o
ACD ECB= =
0,25
ACD⇒ ∆
và
ECB∆
đồng dạng với nhau(g-g) 0,25
. .
DC AC
DC CE AC BC
BC EC
⇒ = ⇒ =
0,25

3
2 . 2 3
4
a
DE DC EC DC EC a= + ≥ = =
( Theo chứng minh phần
a)
Dấu
3
" "
2
a
DC EC= ⇔ = =
.
0,5
( )BDE
S⇒
nhỏ nhất bằng
2
3 3
8
a
khi
D
thuộc tia
Cx
sao cho
3
2
a

và
AND∆
đồng dạng (g-g)

. .
AK AM
AK AD AM AN
AN AD
⇒ = ⇒ =
(2)
0,25
T ừ (1) v à (2) suy ra
2
. .
4
a
AM AN AC AB= =
2
2 2
( )( )
4
a
AC MC AC NC AC MC⇒ = − + = −
(Do
MC NC=
)
2
2
3 3
4 2

Cứ
làm như thế đối với dãy mới thu được và sau
2014
lần biến đổi, dãy cuối cùng
chỉ còn lại một số. Chứng minh rằng giá trị của số cuối cùng đó không phụ
thuộc vào việc chọn các số
u,v
để xóa trong mỗi lần thực hiện việc biến đổi dãy,
hãy tìm số cuối cùng đó.
Với hai số thực
u,v
bất kỳ ta luôn có:
( ) ( ) ( )
1 1 1 1u v u v uv u v uv+ + = + + + = + + +
(*)
0,25
Với dãy số thực bất kỳ
1 2 2015
a ;a ; ;a
, ta xét “Tích thêm
T
”:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 2015
1 1 1 1T a a a a= + + + +
Áp dụng cách biến đổi dãy như trong đề bài kết hợp với nhận xét (*), ta nhận
thấy “Tích thêm
T
” không thay đổi với mọi dãy thu được.
0,25