SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016

ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.
—————————

Câu 1 (3,0 điểm).
a) Giải phương trình:
4 x
4x-8 x+7
+
3 x
4x-10 x+7
= 1.
b) Giải hệ phương trình:
î
í
ì
2x
3
+3x
3
y=8
xy
3
-2x-6=0


Cho các số thực dương
, ,
a b c
thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

1
2+a
2
b
+
1
2+b
2
c
+
1
2+c
2
a
³ 1.

Câu 5 (1,0 điểm).
Điểm M (x; y) của mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên, nếu cả x và y đều là các số
nguyên. Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho từ mỗi bộ n điểm nguyên, đều tìm được bộ ba
điểm nguyên là đỉnh của một tam giác có diện tích nguyên ( trong trường hợp ba điểm thẳng hàng
thì coi diện tích tam giác bằng 0) .

HẾT

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

2(4x-10 x+7)
= 0
(4x-16 x+7).
ố
ỗ
ổ
ứ
ữ
ử
1
2(4x-8 x+7)
+
1
2(4x-10 x+7)
= 0 (1)
Ta thy: 4x-8 x+7 = 4( x - 1)
2
+ 3 > 0 v 4x-10 x+7 = (2 x +
5
2
)
2
+
3
4
> 0
ị
ố
ỗ
ổ

+3x
3
y=8
xy
3
-2x-6=0

ợ
ớ
ỡ
x
3
(2+3y)=8
x(y
3
-2)=6

ợ
ù
ớ
ù
ỡ
3y+2=
ố
ỗ
ổ
ứ
ữ
ử
2

+ 3a = b
3
+ 3b (a - b)(a
2
+ ab + b
2
+ 3) = 0
Vỡ a
2
+ ab + b
2
+ 3 =
ố
ỗ
ổ
ứ
ữ
ử
a+
b
2
2
+
3
4
b
2
+ 3 > 0 " a,b nờn a - b = 0 hay y =
2
x

ớ
ỡ
n-1=2
n
2
+n+1=p
( n
2
+ n + 1 > n -1 ) ị
ợ
ớ
ỡ
n=3
p=13
. Vy p =13 .
b)Gi s khụng tn ti hai ụ vuụng k nhau cú hiu hai s t trong hai ụ ú ln hn 5.
ỏnh s ct v hng nh hỡnh v
Xột ụ nghi s 1 ụ (a,b) ( hng ct b)
Xột ụ nghi s 121 ụ (c,d)
Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s c a, d b
Cỏc trng hp khỏc tng t
t x
(a,b)
l s ghi ụ (a,b)
Ta cú 121 = x
(c,d)
Ê x
(c - 1, d)
+ 5 Ê x
(c - 2, d)


AKC =
$

ABC ( góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Mà
$

ADB =
$

ACK = 90
0
Þ
$

BAD =
$

KAC
Þ
$

DAC =
$

BAC -
$

BAD =


Þ
FH
MN
=
AH
AM
(1)
Xét DAMP và DAHE có
î
ï
í
ï
ì
$

PAM=
$

EAH
$

AEH
$

=APM=90
0
Þ DAMP ∽ DAHE (g.g) Þ
EH
MP

c) Các tứ giác APDM, ANMD là các tứ giác nội tiếp
Þ
î
í
ì
BD.BM=BP.BA
CM.CD=CN.CA

Þ
BD
CD
.
BM
CM
=
AB
AC
.
BP
CN
(3)
Mặt khác BK / PM (cùng vuông góc với AB)
CK/MN (cùng vuông góc với AC)
Suy ra
BP
AB
=
MK
AK
=

æ
ø
÷
ö
AB
AC
2
(đpcm)
Câu 4:
Ta có:

1
2+a
2
b
+
1
2+b
2
c
+
1
2+c
2
a
³ 1
Û
2
2+a
2

2+c
2
a
£ 1 (*)
Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương ta có:
2 + a
2
b = 1 + 1 + a
2
b ³ 3
3
a
2
b
Tương tự
2 + b
2
c ³ 3
3
b
2
c
2 + c
2
a ³ 3
3
c
2
a
Nên từ (*) ta có

+
b
2
c
3
3
b
2
c
+
c
2
a
3
3
c
2
a
=
1
3
3
a
4
b
2
+
1
3


1
3
3
a
4
b
2
£
1
9
(ab + ab + a
2
)
Tương tự :

1
3

3
b
4
c
2
£
1
9
(bc + bc + b
2
)


2
+
1
3

3
c
4
a
2
£
1
9
(ab + ab +a
2
) +
1
9
(bc+ bc + b
2
) +
1
9
(ca + ca + c
2
) =
1
9
(a + b + c)
2

1)-
(x
3-
x
1
)(y
3-
y
1
)

- Xét tam giác bất kỳ, có tọa độ đỉnh là các điểm nguyên luôn tồn tại một hình chữ nhật có cạnh
song song với hai trục thỏa mãn một đỉnh của hình chữ nhật trùng với một đỉnh của tam giác, hai
đỉnh còn lại của tam giác nằm trên cạnh hoặc trùng với đỉnh của hình chữ nhật
- Bây giờ xét hình bên, các trường hợp khác xét tương tự:

Þ
î
ï
í
ï
ì
x
1
£x
3
£x
2
APC
= (x
3
-

x
1
)(y
3 - Y1
)
S
BCQ
= (x
2
-

x
3
)(y
3 - Y2
)
S
ABR
= (x
2
-

x
1
)(y

)

Vì A, B có cùng dạng nên
î
í
ì
x
2
-x
1
+2
y
2
-y
1
+2
Þ
[ ]
(x
2
-x
1
)(y
3-Y1
)-(x
3
-x
1
)(y
2-Y1