Đề thi chuyên Lê Quý Đôn 2014
GV: NVThắng
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÍ ĐÔN
NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN THI: TOÁN CHUYÊN
NGÀY THI: 21/6/2014
Bài 1: (2đ)
1)Cho a, b là các số thực dương phân biệt. Rút gọn biểu thức:

  
   
   
  
  
   
  
a a b b a a b b a b a b a b
P=
ba
a b b a a b b a a b a b

2)Tìm giá trị tham số m để phương trình x
2
– mx + m – 3 = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
sao cho biểu
thức 2(x
1
2

3
+ …+ 2
2014
+ 2
2015
chia hết cho 15.
2) Giải hệ phương trình
33







x +y =1 x+y+xy
7xy+ y x = 7Bài 4: (3đ)
Cho đường tròn (O) có 2 đường kình AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm bất kỳ trên
cung nhỏ AD (E khác A, D).Nối EC, EB cắt OA, OD lần lượt tại M, N.
a) Chứng minh rằng: MAC đồng dạng với AEC ; OMC đồng dạng với EDC.
b) Tìm GTNN của biểu thức

OM ON
AM DNBài 5: (1đ)





22
.

        

  





     
    

a b a ab b a b a ab b a b a b
ab ab
P=
b a a b
ab a b ab a b
a ab b a ab b a b 2 ab
P ab 2 2 0
ab a b
ab2) Vì  = m

2
)
2
– 5x
1
x
2
= 2m
2
– 5(m – 3) = 2m
2
– 5m + 15
=
   
   
   
   
2
2
5 15 5 95 95
2 m m+ 2 m +
2 2 4 8 8

Suy ra : GTNN của 2(x
1
2
+ x
2
2
) – x

24
a = x a +4= x +
x
x

PT trở thành a
2
+ 3a – 10 = 0  a = 2 hoặc a = –5 .
+ Với a = 2 thì
  
2
2
2= x x -2x - 2=0 x =1± 3
x

+ Với a = -5 thì
  
2
2 -5± 33
-5 = x x +5x-2=0 x =
x2

Vậy PT có 4 nghiệm phân biệt
x =1± 3
;
-5± 33
2

22
2 2 2 2
22
2 2 2 2
22
22
a b a b a b
8 + 8
(a 1)(b 1) b -1 a-1
a b a 4b+ 4 b 4a+ 4
4+ 4 0 0
b-1 a-1 b-1 a-1
a b +b - 4b+ 4 b a +a - 4a+ 4
0
b-1 a-1
a b a b (b-2) (a- 2)
b-1 a -1 b-1 a -1
1 1 (b 2) (a 2)
(a b )
b 1 a 1 b 1 a
  
2
0
0
0


   



2
+ 2
3
)
= 15 . (1 + 2
2
+ 2
4
+ …+ 2
2012
) chia hết cho 15.
2) Giải hệ phương trình
33







x +y =1 x+y+xy
7xy+ y x = 7

Ta có: x
3
+ y
3
= 1 – x + y + xy  (x +y)[(x + y)
2
– 3xy] = 8 – 6xy (*)

+ 2(x + y) + 4 = 3xy
 x
2
– xy + y
2
+ 2x + 2y + 4 =0
 x
2
– (y – 2)x + y
2
+ 2y + 4 = 0

 



2
2
y-2 3
x - + y+2 =0
24
 x = y = -2
Vậy hệ PT có 3 nghiệm là (1 ; 1) ;
;



59
77
; (-2 ;-2).

CED=MOC=90

Suy ra : OMC đồng dạng với EDC (g.g) (2)
b) Tìm GTNN của biểu thức

OM ON
AM DN

Từ (2) 

OM OD
OM.EC=ED.OD
ED EC
(3)
Từ (1) 

AM AC
AM.EC= AE.AC
AE EC
(4)
Từ (3)(4) 

OM ED.OD
AM AE.AC
. (5)
Chứng minh tương tự ta cũng có: ND.EB = ED.BD và ON . EB = AE.OB.
Suy ra:

ON OB.AE
ND ED.BD


N
M
B
A
C
O
D
E
Đề thi chuyên Lê Quý Đôn 2014
GV: NVThắng