SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ

Đề chính thức

Số báo danh
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học 2010- 2011

Môn thi: Toán
Lớp: 9 THCS
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24/03/2011
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).

Câu I. (5,0 điểm).
1) Cho phương trình:
2
2210.xmxm−+−=
Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm

12
,
x
x với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
12

111
()()()
B
x
yyzzx
=++
−−−
là số hữu tỉ.
Câu II. (5,0 điểm).1) Giải phương trình:
22
10
.
119
xx
xx
⎛⎞⎛⎞
+=
⎜⎟⎜⎟
−+
⎝⎠⎝⎠

2) Giải hệ phương trình:
2
2
3
23
11
14
1
4.

,PAB≠ và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm
P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường
tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (
NP
≠
).
1) Chứng minh rằng


ANP BNP= và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động.
Câu V. (4,0 điểm).
1)
Cho
12 45
, , ,aa a là 45 số tự nhiên dương thoả mãn
12 45
130.aa a
<
<< ≤ Đặt
1
, ( 1,2, ,44).
jj j
da a j
+
=− = Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu
j
d xuất hiện ít
nhất 10 lần.
2)

Ngày thi: 24 - 3 - 2011

Câu Ý
Hướng dẫn chấm
Điểm
Ta có
2
'( 1) 0,mmΔ= − ≥ ∀
nên phương trình có hai nghiệm với mọi m.
0,5
Theo định lí viet, ta có
12 12
2, 2 1xx mxx m
+
==−
, suy ra
2
41
42
m
P
m
+
=
+

1,0
1)
2,5đ
2

Đặt
111
,,abc
x
yyzxz
===
−−−
suy ra
111
.
abc
+
=
0,5
Câu I
6 đ
2b)
1,0đ
Áp dụng câu 2a) suy ra
222
111
()()()
B
x
yyzzx
=++
−−−
là số hữu tỉ.
0,5
Đk: 1.

=
−
ta được phương trình
2
10 5
0
93
tt t
−
−=⇔= hoặc
2
3
t
−
=
0,5
Với
5
,
3
t = ta được
2
2
25
13
x
x
=
−
(vô nghiệm)

Hệ tương đương với
2
2
3
3
11
4
11
4.
xx
yy
x
xx
yy y
⎧
+++=
⎪
⎪
⎨
⎛⎞
⎪
+
++=
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩

0,5
Câu II

uuv uu v
⎧⎧
+
−= −+= =
⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨⎨
=
−= +−=
⎪⎪
⎩
⎩⎩1,0 Với
2
1,
u
v
=
⎧
⎨
=
⎩
ta được
1

Theo giả thiết
()()
A
DPE BPC
SS
=() ()
.
ACE BCD
SS⇒=

0,5
Mà
A
CBC EFDG=⇒=
và


AC
=

Suy ra
.
A
EF CDG AE CGΔ=Δ ⇒=

0,5
Do đó





ANB ANP BNP QAP QBP=+=+

0
180 AQB=− , suy ra NAQB nội tiếp (1).
Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2)
Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, N, A, Q, B
cùng nằm trên một đường tròn. 0,5

0,5

Suy ra các điểm O, N, A, B cùng nằm trên
một đường tròn.
0,5

1)
3,0đ

Ta có



1 2 44 2 1 3 2 45 44 45 1
( ) ( ) ( ) 130 1 129.dd d aa aa a a a a+++ = − + − ++ − = −≤ −= (1)
0,5
1)
2,0
đ
Nếu mỗi hiệu
( 1,2, ,44)
j
dj
=
xuất hiện không quá 10 lần thì
12 44
9(1 2 3 4) 8.5 130dd d+++ ≥ ++++ = mâu thuẫn với (1).
Vậy phải có ít nhất một hiêụ ( 1, ,44)
j
dj
=
xuất hiện không ít hơn 10 lần 1,5
Câu V
2đ
2)
2,0đ
Ta có
22 2
2( ) ( )ab ab+≥+.
0,5

abc a b c
bc ca ab
bc ca ca
++≥ + +
++ +
+++

Đặt
22 2 2 22
,,,
x
bcy caz ab=+ =+ =+

suy ra
222 22 2 2 22
22 22 22
yzx zxy xyz
VT
x
yz
+− +− +−
≥++

22 2
1( ) () ( )
22 2
22
yz zx xy
x
yz

≥+−++−++−
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎣⎦

()()()
1
2( ) 3 2( ) 3 2( 3
22
yz x zx y xy z≥+−++−++−
⎡⎤
⎣⎦

Suy ra
1 1 2011
()
22
22
VT x y z≥++= 0,5