Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

CHINH PHỤC ĐIỂM 9 TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016 – P2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

PHẦN 1. ĐỀ BÀI

(Em hãy cố gắng tự làm và so đáp án trước khi xem lời giải bên dưới nhé)

 x3 + xy 2 + x = y ( x 2 + y 2 + 1)

Câu 1. Giải hệ phương trình  2 y + 7 7 x − 3
+
= 12
6
x−2
y−2

Đ/s: ( x; y ) = ( −9; −9 )
2 x 2 − y 2 − xy + x = y

Câu 2. Giải hệ phương trình 
( y + 2 )( x + 3) = 15 x
6
 x+ x +2 +
y
y


Đ/s: ( x; y ) = (1;1)

xy
=2 x+ y
 4x − 3 y + 2
4x − 3y

Câu 6. Giải hệ phương trình 
x2 + 3

2
 x + y + 3 = 3 + 2 ( y − 1)
y

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Đ/s: ( x; y ) = (1;1)
2 x − y + xy = 2 x 2 − xy + 2 xy − y 2

Câu 7. Giải hệ phương trình 
3
( x + x − 1) x + 2 y + 1 = 5 x − 4 y + 3
Đ/s: ( x; y ) = (1;1)
5 x 2 + 6 xy + 21 y 2 = 4 ( x + 3 y ) x 2 + 3 y 2


2
2
4 x + x + 4 − 2 x + y − x + 4 y = y
 y 2 − 2 xy − 3 x − 3 y + 1 + ( x − y + 3) 2 x 2 + y 2 + 1 = 0

Câu 12. Giải hệ phương trình 
( x + 1) 8 x + 5 + 6 x + 4 xy − 2 x 2 = 2 xy + 4 x + 2

PHẦN 2. LỜI GIẢI CHI TIẾT
(Cập nhật vào status sau nhé em)

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


CHINH PHỤC ĐIỂM 9 TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016 – P2
Thầy Đặng Việt Hùng

PHẦN 2. LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Điều kiện các căn thức xác định.

x = y
Phương trình thứ nhất tương đương ( x − y ) ( x 2 + y 2 + 1) = 0 ⇔  2
⇒x= y.
2
 x + y = −1
2x + 7 7 x − 3
+
= 12 .
Phương trình thứ hai trở thành 6
x−2

⇔
⇔
⇔ t =1⇔ 2 +
=1

2
t
−
1
t
+
7
=
0
t
∈
−
7;1
x
−
2
6
7
(
)(
)
{
}
t
+

x
x
Đặt

x+

6
+ 2 = t , t ≥ 0 ta thu được
x
t ≥ 0
t ≥ 0
t ≥ 0
⇔
⇔
⇔t =3
2
t + t − 12 = 0
( t − 3)( t + 4 ) = 0
t ∈ {−4;3}

6
6
+ 2 = 3 ⇔ x + = 7 ⇔ x 2 − 7 x + 6 = 0 ⇔ x ∈ {1;6}
x
x
Kết luận hệ có 2 nghiệm x = y = 1; x = y = 6 .
⇔ x+

Câu 3. Điều kiện các căn thức xác định.
Phương trình thứ hai của hệ tương đương


Phương trình thứ nhất tương đương với
8
≥0.
x+3
Phương trình đã cho tương đương với
x ≠ −3; x − 2 +

x−2+

Đặt

8
x2 + 2x + 5
+
=3⇔
x+3
x+3

( x + 3)( x − 2 ) + 8 + x 2 + 2 x + 5 − 1 = 2 ⇔
x+3

x+3

x2 + x + 2 x2 + x + 2
+
= 2.
x+3
x+3


2
2x + y −1 + 2 ( 2x + y ) ≤
+
= x2 + x + y + 1.
2
2
2
2 x + y − 1 = 1 2 x − 2 x = 0


Dấu đẳng thức xảy ra khi 2 x 2 + y = 2 ⇒ 2 x + y − 1 = 0 ⇔ x = 0; y = −1 .
x = y +1
x = y +1


Kết luận hệ có nghiệm duy nhất.

(

Câu 5. Phương trình thứ nhất tương đương ( x + y ) = 2 x
3

)

3

⇔ x+ y = 2 x ⇔ y = 2 x − x.

Phương trình thứ hai trở thành 2 x3 − x + 2 x − x = x3 + x + 1 .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy thu được

⇔

(

(

)

4x − 3y − 2 x − y

4x − 3 y − 2 x

)(

(

)

4x − 3y − 2 x = 0

)

4x − 3y − y = 0

 4x − 3 y = 2 x
4 x − 3 y = 4 x  y = 0
⇔
⇒
⇒
 4 x − 3 y = y

x2 + 3 + 2

⇔

x − 1 ( x − 1)( x + 1)
x2 + 3
+
= 2 ( x − 1)
x
1 + x 2 + x2 + 3

x = 1

⇔ 1
x +1
x2 + 3
+
=
2
1 + x
x
2 + x2 + 3

Với x > 0 ⇒

x2 + 3
x

(3)


0 ⇒ x > 0 ⇒ y ≥ 0.

Khi đó (1) ⇔ 2 x − y + xy = x . 2 x − y + y . 2 x − y
⇔ 2x − y

(

)

2x − y − x − y

(

)

2x − y − x = 0

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!

(3)

x+3
x+3
⇔ x3 + x − 1 −
= 0.
3x + 1
3x + 1
x+3
với x ∈ ( 0; +∞ ) có
3x + 1
1
−8
4 3x + 1
.
= 3x 2 + 1 +
> 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) .
2
2
x + 3 ( 3 x + 1)
3 x + 1) x + 3
(
2
3x + 1

Kết hợp với f ( x ) liên tục trên ( 0; +∞ ) ⇒ f ( x ) đồng biến trên ( 0; +∞ ) .
Do đó trên ( 0; +∞ ) phương trình f ( x ) = 0 nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất.

1 ∈ ( 0; +∞ )
Mặt khác 


⇔ 2 x2 + 3 y 2 − x − 3 y

)

2

= 0 ⇔ x + 3 y = 2 x2 + 3 y 2

 x + 3 y ≥ 0
x + 3y ≥ 0
⇔
⇔ 2
2
2
2
2
3 x − 6 xy + 3 y = 0
( x + 3 y ) = 4 ( x + 3 y )
 x + 3 y ≥ 0
x + 3y ≥ 0
⇔
⇔
⇔ x = y ≥ 0.
2
x = y
3 ( x − y ) = 0

( x ≥ 0)


x ( x 2 − 3x + 2 )
x + 2 + 7x + 2

+

4 ( x 2 − 3x + 2 )
1 + x 2 − 3x + 3

Facebook: Lyhung95

=0



x
4
⇔ ( x 2 − 3x + 2 ) 
+
=0
2
 x + 2 + 7 x + 2 1 + x − 3x + 3 
Với x ≥ 0 ⇒

x
x + 2 + 7x + 2

+

4
1 + x − 3x + 3

2
2
2
x + 3y = y
x + 2 y = 0

Thay vào (2) ta thấy không thỏa mãn ⇒ Loại.
•

TH2.

x + y ≥ 0
x
+
y
≥
0

 x ≥ 0, y = 0

x2 + 3 y2 = x + y ⇔  2
⇔  y = 0 ⇔ 
2
2
2
x = y ≥ 0
 x + 3 y = x + 2 xy + y
 x = y




x (3 − y ) + y − 2x = 1 ⇔ y 1 − x − 2x − 3 x + 1 = 0

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

 x =1
x = 1
x −1 y + 2 x −1 = 0 ⇔ 
⇔
 y + 2 x − 1 = 0
 y = 1− 2 x
Với x = 1 ⇒ y = 2 suy ra ( x; y ) = (1; 2 ) là một nghiệm của hệ phương trình.

(

) (

⇔ y 1− x −

)(

)

x −1 2 x −1 = 0 ⇔


Đặt t = x ≥ 0 , khi đó ( i ) ⇔ t 4 − 5t 3 + 2t 2 − 3 = 4t + 3 ⇔ t 4 − 5t 3 + 2t 2 − t − 3 + t − 4t + 3 = 0
⇔ ( t 2 − 4t − 3)( t 2 − t − 1) +

t − 4t − 3
1


= 0 ⇔ ( t 2 − 4t − 3)  t 2 − t − 1 +
 =0⇔ t = 2+ 7
t + 4t + 3
t + 4t + 3 

2

(t ≥ 0)

 x = 2 + 7
 x = 11 + 4 7
Từ đó suy ra 
⇔
⇒ ( x; y ) = 11 + 4 7; −3 − 2 7 là nghiệm của hệ phương
y
=
1
−
2
x
y
=
−

⇔ ( 2 x − y + 1)  2 − y − x − y − x  = 0 ⇔ ( 2 x − y + 1) y − x − 1


• Với y = x + 1 thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:

 y = 2x + 1
y−x +2 =0⇔ 
y = x +1

)

4 x 2 + x + 4 − 2 x + x + 1 − x + 4 ( x + 1) = ( x + 1) ⇔ 3x 2 − x + 3 − 3 x + 1 − 5 x + 4 = 0
2

(

) (

)

⇔ 3x − 3x + x + 1 − 3x + 1 + x + 2 − 5 x + 4 = 0 ⇔ 3 ( x − x )

( x + 1)
+

2

− 3x − 1

( x + 2)

> 0; x ≥ − .
3
x + 1 + 3x + 1 x + 2 + 5 x + 4
x = 1 ⇒ y = 2
• Với y = 2 x + 1 thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:
2

2

4 x 2 + x + 4 − 2 x + 2 x + 1 − x + 4 ( 2 x + 1) = ( 2 x + 1) ⇔ 3x − 3 + 4 x + 1 + 9 x + 4 = 0
2

(

) (

)

4x
9x
+
=0
4x + 1 + 1
9x + 4 + 2
4
9
4
9
1


2 x2 + y 2

2 x2 + y2 + 1

) − ( x + y)
2

2

=0

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
⇔ ( x − y + 3)

(

) (

2x2 + y2 + 1 − x − y +

(

⇔ 2 x + 3 + 2x2 + y2 + 1

)(

2 x2 + y2 + 1 + x + y


)

8x + 5 + x + 1 − 6 x + 2 = 0

x +1
1


= 0 ⇔ ( x − 4 x − 1) 
+
=0
x + 1 + 6x + 2
 x + 2 + 8x + 5 x + 1 + 6 x + 2 

x = 2 + 5 ⇒ y = 5
x +1
1
1
⇔ x2 − 4 x − 1 = 0 ⇔ 
vì
+
> 0; ∀x ≥ − .
3
x + 2 + 8x + 5 x + 1 + 6 x + 2
 x = 2 − 5 ⇒ y = − 5
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( x; y ) =

{( 2 +