VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

Lê Thị Hà

PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM FGM CÓ
MẶT CẮT NGANG THAY ĐỔI DƯỚI
TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2016


VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

Lê Thị Hà

PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM FGM CÓ
MẶT CẮT NGANG THAY ĐỔI DƯỚI
TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Đình Kiên

Hà Nội - 2016


Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu
và kết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được
ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh

Lê Thị Hà

ii


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

Danh sách bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Chương 2. Mô hình dầm FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1. Tính chất vật liệu FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.1. Dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.2. Dầm có cơ tính biến đổi dọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.3. Mặt trung hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2. Dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi chịu lực di động. . . . . . . .

23

2.3. Năng lượng dầm FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3.1. Năng lượng biến dạng đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


2.5.1. Các biểu thức năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.5.2. Phương trình chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.6. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Chương 3. Mô hình phần tử hữu hạn và thuật toán số . . . . .

40

3.1. Chuyển vị nút và hàm dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.1.1. Hàm dạng cho dầm Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.1.2. Đa thức dạng Kosmatka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.2. Ma trận độ cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


3.4.2. Ma trận độ cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.4.3. Ma trận khối lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.5. Vec-tơ lực nút . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.6. Phương trình phần tử hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.7. Thuật toán số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.7.1. Họ phương pháp Newmark. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.7.2. Phương pháp gia tốc trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.7.3. Vấn đề mặt cắt ngang thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


4.2.2. Đáp ứng động lực học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

4.3. Dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

4.3.1. Tần số dao động riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

4.3.2. Ảnh hưởng của tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

4.3.3. Ảnh hưởng của tham số lực di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

4.3.4. Ảnh hưởng của dạng mặt cắt ngang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.3.5. Ảnh hưởng của tăng và giảm tốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

4.4. Dầm có cơ tính biến đổi dọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


4.5.3. Ảnh hưởng của tham số lực di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

4.5.4. Ảnh hưởng của tham số dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

4.5.5. Ảnh hưởng của tăng và giảm tốc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

4.6. Ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

4.7. Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

Những đóng mới của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

Công trình đã công bố của tác giả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Độ cứng dọc trục

A12

Độ cứng tương hỗ kéo-uốn

A22

Độ cứng chống uốn

A33

Độ cứng chống trượt

E

Mô-đun đàn hồi hữu hiệu

Ec

Mô-đun đàn hồi của gốm

Em

Mô-đun đàn hồi của kim loại

d

Khoảng cách giữa hai lực di động


Khoảng cách từ mặt trung hòa tới mặt giữa dầm

I

Mô-men quán tính bậc hai của mặt cắt ngang

I0

Mô-men quán tính bậc hai mặt cắt ngang giữa dầm

I11

Mô-men khối lượng dọc trục

I12

Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-xoay

I22

Mô-men khối lượng xoay (của mặt cắt ngang)

L

Chiều dài dầm (dầm một nhịp)

Ls

Chiều dài một nhịp (dầm liên tục)


Pi

Lực di dộng thứ i

si

Khoảng cách từ lực di dộng thứ i tới đầu trái dầm

T

Động năng của dầm

Te

Động năng của phần tử

u

Chuyển vị dọc trục của một điểm trêm mặt trung hòa

U

Năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm

Ue

Năng lượng biến dạng đàn hồi của phần tử

v


D

Vec-tơ gia tốc nút nút tổng thể

f

Vec-tơ lực nút phần tử

F

Vec-tơ lực nút tổng thể

Fef

Vec-tơ lực nút hữu hiệu

k

Ma trận độ cứng phần tử

K

Ma trận độ cứng tổng thể

Vec-tơ vận tốc nút nút tổng thể


viii
Kef


kab

Ma trận độ cứng phần tử sinh ra do biến dạng dọc trục và uốn

kss

Ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ biến dạng trượt

muu

Ma trận khối lượng nhất quán sinh ra từ chuyển dịch dọc trục

mww

Ma trận khối lượng nhất quán sinh ra từ chuyển dịch ngang

muθ

Ma trận khối lượng nhất quán do chuyển vị dọc trục và góc quay

mθθ

Ma trận khối lượng nhất quán do sự quay của mặt cắt ngang

Chữ cái Hy Lạp
∆T

Tổng thời gian để một lực đi hết chiều dài dầm

∆t


τxz

Ứng suất trượt

θ

Góc quay của mặt cắt ngang

α

Tham số tiết diện


Danh sách hình vẽ
Hình 2.1

Ảnh hưởng của tham số vật liệu n đối với vị trí của

mặt trung hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Hình 2.2

Dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi chịu lực di động . 23

Hình 3.1

Chuyển vị nút (a) và lực nút (b) của phần tử . . . . . . 41

Hình 3.2



hệ giữa tham số độ võng và tham số vận tốc của dầm A chịu
ba lực di động (n = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Hình 4.7

Ảnh hưởng của khoảng cách giữa các lực tới sự phân

bố ứng suất dọc trục theo chiều cao của dầm A chịu ba lực
di động (n = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Hình 4.8

Ảnh hưởng của số lực di động đến mối liên hệ giữa

độ võng tại giữa dầm và thời gian của dầm A chịu số lực di
động khác nhau (n = 3, α = 0.5, d = L/4) . . . . . . . . . . . . 85

ix


x
Hình 4.9

Ảnh hưởng của số lực di động tới mối quan hệ giữa

tham số độ võng và tham số tốc độ của dầm A chịu số lực
di động khác nhau (n = 3, α = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . . 85
Hình 4.10 Mối liên hệ giữa tham số độ võng và tham số vật liệu
của dầm FGM có mặt cắt ngang khác nhau chịu ba lực di
động (fv = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Hình 4.11 Ảnh hưởng của tham số tiết diện đến giá trị lớn nhất

xi
Hình 4.20 Ảnh hưởng của khoảng cách giữa các lực tới mối liên
hệ giữa tham số độ võng và tham số vận tốc của dầm A chịu
ba lực di động (n = 2, L/h = 20) . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Hình 4.21 Ảnh hưởng của tham số tiết diện đến giá trị lớn nhất
của tham số độ võng của dầm có cơ tính biến đổi dọc chịu
số lực di động khác nhau (n = 5, fv = 0.25, d = L/10) . . . . . 98
Hình 4.22 Độ võng chuẩn hóa tại giữa nhịp thứ nhất của dầm
bốn nhịp chịu lực tập trung di động . . . . . . . . . . . . . . . 102
Hình 4.23 Độ võng chuẩn hóa tại giữa nhịp thứ nhất của dầm
bốn nhịp chịu lực điều hòa di động (Ω = 20) rad/s . . . . . . . 102
Hình 4.24 Độ võng chuẩn hóa tại giữa nhịp thứ hai của dầm bốn
nhịp chịu lực điều hòa di động (Ω = 20) rad/s . . . . . . . . . 103
Hình 4.25 Ảnh hưởng của tần số lực kích động tới mối quan hệ
giữa độ võng tại giữa nhịp dầm với vị trí lực di động của
dầm bốn nhịp (n = 1, fv = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Hình 4.26 Mối quan hệ giữa tham số độ võng của nhịp thứ nhất
với tham số vận tốc của dầm bốn nhịp chịu lực di động . . . . 104
Hình 4.27 Ảnh hưởng của tỷ số L/h tới độ võng tại giữa nhịp thứ
nhất và nhịp thứ hai của dầm bốn nhịp (n = 1, fv = 0.5, Ω = 0) 105
Hình 4.28 Ảnh hưởng của số nhịp tới độ võng tại giữa nhịp thứ
nhất và nhịp thứ hai của dầm liên tục (n = 1, fv = 1.2, Ω = 0)

106

Hình 4.29 Ảnh hưởng của tăng, giảm tốc tới mối quan hệ giữa
tham số vận tốc và tham số độ võng của dầm liên tục . . . . . 107


Danh sách bảng


So sánh tham số tần số dao động thứ hai của dầm

FGM có cơ tính biến đổi dọc, mặt cắt ngang không thay đổi
(E = Ec /Em , ρ = ρc /ρm = 1, L/h = 20) . . . . . . . . . . . . . 75
Bảng 4.6

So sánh năm tham số tần số đầu tiên của dầm liên tục

có mặt cắt ngang không thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Bảng 4.7

Giá trị cực đại của tham số độ võng và vận tốc tương

ứng của dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao chịu
một lực di động (α = 0, L/h = 20) . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Bảng 4.8

Giá trị cực đại của tham số độ võng và vận tốc tương

ứng của dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc chịu một lực di
động (α = 0, L/h = 20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Bảng 4.9

Tham số tần số cơ bản µ của dầm FGM có cơ tính

biến đổi theo chiều cao với các giá trị khác nhau của tham
số tiết diện α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
xii


hướng không gian mong muốn. Do sự thay đổi liên tục của các vật liệu
thành phần, các tính chất hiệu dụng 2 của FGM là hàm liên tục của các
biến không gian, vì thế FGM không có các nhược điểm thường gặp trong
vật liệu composite truyền thống như sự tập trung ứng suất, tách lớp... và
có khả năng ứng dụng trong các môi trường khắc nghiệt như nhiệt độ cao,
tính mài mòn và ăn mòn của a-xít lớn [48, 104]. Trên quan điểm động lực
1
2

Functionally Graded Material - FGM
Effective property

1


2
học kết cấu, sự kết hợp các ưu điểm về độ bền cao, tỷ trọng thấp của gốm
với độ dai và khả năng chịu va đập tốt của kim loại giúp cho FGM có tiềm
năng như là vật liệu cho kết cấu chịu tải trọng động nói chung và tải trọng
di động nói riêng. Các nghiên cứu gần đây về dầm FGM chịu tải trọng di
động [96–98] chứng tỏ rằng so với dầm kim loại (SUS304) thuần túy, độ
võng và sự phân bố ứng suất động trong mặt cắt ngang của dầm FGM tạo
từ thép và ô-xít nhôm (Al2 O3 ) được cải tiến đáng kể.
Dầm FGM chịu tải trọng di động mới chỉ được quan tâm nghiên cứu
trong thời gian gần đây, khởi đầu từ phân tích về ứng xử động lực học của
dầm Euler-Bernoulli tạo từ thép và ô-xít nhôm chịu một lực di động điều
hòa do S¸im¸sek và Kocat¨
urk thực hiện vào năm 2009 [96]. Phần lớn các kết
quả tiếp theo trong lĩnh vực này là sự mở rộng của nghiên cứu trong [96]
cho các lý thuyết dầm và tải trọng di động khác. Ngoài tác giả Luận án,

là bài toán phức tạp do các tính chất hiệu dụng của vật liệu và mặt cắt
ngang dầm đều là hàm của các tọa độ không gian. Phương pháp phần tử
hữu hạn được Luận án lựa chọn là công cụ để nghiên cứu bài toán này. Hai
loại dầm FGM phổ biến là dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao 3
và dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc 4 được quan tâm nghiên cứu trong
luận án này. Trên quan điểm phân tích phần tử hữu hạn, để phân tích bài
toán dầm chịu lực di động cần có các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng
và vec-tơ lực nút cho một phần tử đặc trưng. Đặc tính của các ma trận và
vec-tơ này phụ thuộc vào các hàm dạng để nội suy trường chuyển vị của
phần tử dầm. Như vậy, một số định hướng nghiên cứu cụ thể của Luận án
sẽ là:
1. Xây dựng hoặc lựa chọn các hàm dạng thích hợp cho từng loại phần
tử dầm sẽ phát triển trong Luận án.
2. Trên cơ sở các hàm dạng nêu trên sẽ tiến hành thiết lập các biểu thức
cho ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và vec-tơ lực nút cho phần
tử dầm FGM.
3. Lựa chọn thuật toán phân tích động lực học kết cấu thích hợp để phát
triển chương trình tính toán số.
4. Tiến hành phân tích các bài toán cụ thể và đánh giá các kết quả số
thu nhận được.
Các công bố liên quan tới dầm FGM chủ yếu được tiến hành trên cơ sở
lấy mặt giữa
3

5

của dầm làm mặt quy chiếu để xây dựng các phương trình

Transversely FGM beam
Axially FGM beam

các vận tốc khác nhau. Ảnh hưởng của các tham số vật liệu, ảnh hưởng
của mặt cắt ngang dầm thay đổi tới ứng xử động lực học của dầm sẽ được
khảo sát chi tiết. Thêm vào đó, như đã nói tới ở phần trên, Luận án cũng
quan tâm nghiên cứu ảnh hưởng của sự tăng tốc, giảm tốc cũng như ảnh
hưởng của vị trí của mặt trung hòa tới đáp ứng động lực học của dầm.
6

Continuous beam [47]


5

Các giả thiết sử dụng trong luận án
Luận án sử dụng các giả thiết:
1. Lực di động luôn tiếp xúc với dầm trong quá trình chuyển động.
2. Ảnh hưởng quán tính của lực di động không xét tới trong luận án này.
3. Ở trạng thái ban đầu (t = 0) dầm ở trạng thái dừng, tức là chuyển vị
và vận tốc tại thời điểm ban đầu bằng 0.
4. Khoảng cách giữa các lực di động là như nhau và không thay đổi trong
quá trình chuyển động.

Phương pháp nghiên cứu
Do những phức tạp về mặt toán học sinh ra từ tính không đồng nhất của
tính chất vật liệu dầm FGM và mặt cắt ngang của dầm, phương pháp số,
cụ thể là phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp nghiên cứu được
lựa chọn trong luận án. Các phương trình cơ bản mô tả chuyển động của
dầm sẽ được dẫn ra trên cơ sở các phương pháp giải tích và các nguyên lý
biến phân của cơ học kết cấu. Phần mềm tính toán Symbolic Maple [79]
được sử dụng rộng rãi trong suốt Luận án này để hỗ trợ cho các biến đổi
toán học cũng như việc xây dựng công thức phần tử hữu hạn và chương

trong Chương 4. Trên cơ sở các kết quả số nhận được, một số nhận xét về
đáp ứng động lực học của dầm sẽ được thảo luận.
Một số nhận xét rút ra từ Luận án được tóm lược trong phần Kết luận.
Phần kết luận cũng kiến nghị một số nghiên cứu tiếp theo của Luận án.


Chương 1

TỔNG QUAN
1.1. Vật liệu có cơ tính biến thiên
Vật liệu có cơ tính biến thiên (tên tiếng Anh: Functionally Graded Material,
viết tắt là FGM) được các nhà khoa học Nhật Bản phát minh vào năm
1984 ở Sendai [64] hiện thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học
trong lĩnh vực cơ học vật liệu và cơ học kết cấu. FGM là vật liệu composite,
được tạo thành từ hai hay một vài vật liệu thành phần với tỷ lệ thể tích
thay đổi một cách liên tục theo một hoặc vài hướng không gian. FGM có
nhiều ưu điểm so với các vật liệu truyền thống, chẳng hạn do sự thay đổi
liên tục của tỷ lệ thể tích của các vật liệu thành phần, FGM tránh được sự
không liên tục của ứng suất, vì thế tránh được các vấn đề liên quan tới hiện
tượng tách lớp thường gặp trong các loại vật liệu composite truyền thống.
Với ưu điểm nêu trên, FGM có tiềm năng ứng dụng trong các ngành công
nghệ cao như công nghệ hàng không, vũ trụ, công nghệ hạt nhân [48].
FGM điển hình có ứng dụng rộng rãi và thu hút được nhiều sự quan
tâm nghiên cứu là FGM hai pha, pha gốm và pha kim loại, với tỷ lệ thể
tích của các pha thành phần thay đổi theo hàm số mũ của một tọa độ
không gian. Chẳng hạn, sự thay đổi tỷ lệ thể tích của gốm theo chiều dày
của dầm tuân theo quy luật số mũ [104]
Vc =

z 1

các tính chất vật liệu thay đổi theo chiều dày dầm theo quy luật số e (cơ
số của logarite tự nhiên) hoặc quy luật sigmoid [18, 49, 74]. Phân tích kết
cấu FGM với tính chất vật liệu thay đổi theo quy luật số e hoặc quy luật
sigmoid tương tự như phân tích kết cấu có tính chất vật liệu thay đổi theo
hàm số mũ.
Các tính chất cơ-lý của FGM, như nói tới ở trên, có thể thay đổi theo
nhiều hơn một hướng không gian [72, 83], chẳng hạn L¨
u và cộng sự [72]
nghiên cứu dầm FGM có cơ tính biến đổi theo cả chiều dày và chiều dài
dầm
P(x, z) = P0 ek1 x+k2 z

(1.2)

trong đó P0 là hằng số; x và z tương ứng là các tham số tọa độ theo chiều
dài và chiều cao dầm; k1 và k2 là các chỉ số gradient vật liệu theo các hướng
x và z. Quy luật hàm số mũ cũng được sử dụng để mô tả sự thay đổi tính
chất vật liệu theo chiều dài và chiều cao dầm [14]. FGM cũng có thể được
tạo từ hơn hai vật liệu thành phần, chẳng hạn Nemat–Alla [80] phân tích
tấm làm từ FGM 3 pha, pha gốm và hai pha kim loại khác nhau với tỷ lệ
thể tích của vật liệu thành phần thay đổi theo quy luật số mũ. Tuy nhiên,
nghiên cứu về kết cấu làm từ FGM tạo từ ba hay nhiều pha còn rất ít.
Tùy theo ứng dụng cụ thể, các vật liệu thành phần khác nhau có thể
được sử dụng để chế tạo FGM. Bảng 1.1 liệt kê các tính chất của một số
vật liệu thành phần thông dụng [35,87,114]. Cần lưu ý rằng số liệu về tính
chất vật liệu thành phần trích dẫn trong các tài liệu có một số sự khác
nhau, vì thế luận án sẽ đưa ra các số liệu cụ thể dùng trong tính toán khác
nếu các số liệu này khác với Bảng 1.1.
Số lượng các công trình công bố liên quan tới vật liệu và kết cấu FGM
tăng nhanh, điều đó được thể hiện trong tài liệu [92]. Phân tích kết cấu

Si4 N4
Al2 O3

151
322.3
380

0.3
0.24
0.3

3000
2370
3800

70
105.7
207.8

0.3
0.3
0.3178

2702
3750
8166

Nhôm
Al
Hợp kim Titan Ti-6Al-4V

thuyết dầm mới cho nghiên cứu dao động tự do của dầm FGM có các điều
kiện biên khác nhau. Tần số dao động riêng trong [95] được nhiều tác giả
sử dụng để kiểm chứng kết quả nghiên cứu của mình. Huang và Li [45]
phân tích dao động tự do của dầm FGM có độ cứng chống uốn, mật độ
khối và tính chất vật liệu thay đổi theo trục dầm. Phương pháp đề nghị
có thể sử dụng để xác định tần số dao động riêng của dầm FGM có mặt
cắt ngang và tính chất vật liệu thay đổi theo quy luật tùy ý dọc theo trục
dầm. Wattanasakulpong và cộng sự [105] nghiên cứu bài toán mất ổn định
và dao động nhiệt của dầm FGM bằng cách sử dụng phương pháp Ritz
để giải bài toán giá trị riêng. Kết quả nhận được cho thấy lực tới hạn cao
hơn đáng kể khi bỏ qua ảnh hưởng của nhiệt độ vào các tính chất vật liệu.
Thêm vào đó, các tác giả chỉ ra rằng so với nhôm ô-xít và Silicon nitride,
Ziconia không phải là loại gốm tốt dùng để phối hợp với thép không gỉ.
Wei và Liu [106] sử dụng phương pháp Ritz–Galerkin để nghiên cứu bài
toán uốn phi tuyến dầm FGM. Wei và cộng sự [107], trình bày phương
pháp giải tích để nghiên cứu dao động tự do của dầm FGM có vết nứt. Lai
và cộng sự [66] nghiên cứu dao động phi tuyến của dầm Bernoulli FGM
bằng phương pháp giải tích. Ảnh hưởng của điều kiện biên và biên độ dao
động tới tần số dao động riêng của dầm được khảo sát chi tiết. Li và cộng
sự [69] đề nghị một phương pháp giải tích để nghiên cứu dao động tự do
của dầm FGM có tiết diện và tính chất vật liệu thay đổi theo trục dầm.
Ma và Lee [73] đưa ra lời giải giải tích của bài toán dầm FGM phi tuyến
dưới tác dụng của tải trọng nhiệt. Birsan và cộng sự [24] xây dựng biểu
thức giải tích cho các hệ số hữu hiệu của dầm sandwich FGM có lõi xốp.
Xét đến ảnh hưởng của sự tách lớp, Liu và Shu [71] trình bày phương pháp
giải tích để nghiên cứu dao động tự do của dầm FGM có vật liệu thay đổi
theo hàm số mũ. Kết quả chỉ ra rằng sự tăng của tần số dao động riêng của
dầm FGM có tỷ số mô-đun đàn hồi cao hơn sẽ yếu đi khi dải tách lớp của