BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Bài 1:
Có 30 đề thi trong đó có 10 đề khó, 20 đề trung bình. Tìm xác suất để:
a) Một Học sinh bắt một đề gặp được đề trung bình.
b) Một Học sinh bắt hai đề, được ít nhất một đề trung bình.
Giải
a) Gọi A là biến cố Học sinh bắt được đề trung bình:
C120 20 2
P(A) = 1 =
=
C30 30 3
b) Gọi B là biến cố học sinh bắt được 1 đề trung bình và một đề khó
Gọi C là biến cố học sinh bắt được 2 đề trung bình.
Gọi D là biến cố học sinh bắt hai đề, được ít nhất một đề trung bình.
C120 .C110 + C220 200 + 190
=
= 0,896
Khi đó: P(D) =
2
C30
435
Bài 2:
Có hai lớp 10A và 10 B mỗi lớp có 45 học sinh, số học sinh giỏi văn và số học sinh
giỏi toán được cho trong bảng sau. Có một đoàn thanh tra. Hiệu trưởng nên mời vào lớp
nào để khả năng gặp được một em giỏi ít nhất một môn là cao nhất?
Giỏi
Văn
Toán
Văn và Toán

Lớp

Bài 3:
Lớp có 100 Sinh viên, trong đó có 50 SV giỏi Anh Văn, 45 SV giỏi Pháp Văn, 10
SV giỏi cả hai ngoại ngữ. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp. Tính xác suất:
a) Sinh viên này giỏi ít nhất một ngoại ngữ.
b) Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết.
1


c) Sinh viên này chỉ giỏi đúng một ngoại ngữ.
d) Sinh viên này chỉ giỏi duy nhất môn Anh Văn.
Giải
a) Gọi A là biến cố Sinh viên giỏi Anh Văn.
Gọi B là biến cố Sinh viên giỏi Pháp Văn.
Gọi C là biến cố Sinh viên giỏi ít nhất một ngoại ngữ.
50
45 10
P(C) = P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) =
+
−
= 0,85
100 100 100
b) Gọi D là biến cố Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết.

P(D) = 1 − P(C) = 1 − 0,85 = 0,15

c) P(AB + AB) = P(A) + P(B) − 2P(AB) =
d) P(AB) = P(A) − P(AB) =

50
45

12 11 10 55

1
219
=
220 220

d) P(F) = P ( A1 .A 2 .A 3 ) = P ( A1 ) P ( A 2 /A1 ) P ( A 3 / A1A 2 ) =

9 3 8
9
. . =
12 11 10 55

Bài 5:
Một sọt Cam có 10 trái trong đó có 4 trái hư. Lấy ngẫu nhiên ra ba trái.
a) Tính xác suất lấy được 3 trái hư.
b) Tính xác suất lấy được 1 trái hư.
c) Tính xác suất lấy được ít nhất một trái hư.
d) Tính xác suất lấy được nhiều nhất 2 trái hư.
Giải
Gọi X là số trái hư trong ba trái lấy ra. X : H ( 10,4,3)

2


a) P(X = 3) =

C34
4

5

1
1 1
a) P(X = 0) = C  ÷  ÷ =
1024
2 2
0
10

63
1 1
= 0,25
b) P(X = 5) = C  ÷  ÷ =
2
2
256
   
5
10

5

5

6

4

7

 1015 − 1012 
P(X > 1015) = 0,07 = 0,5 − φ 
÷
σ


3
3
⇒ φ  ÷ = 0,43 ≈ 0,4306 ⇒ = 1,48 ( tra bảng F)
σ
σ
⇒σ=

3
= 2,0325
1,48

 1008 − 1012 
Vậy P(X < 1008) = 0,5 + φ 
÷ = 0,5 − φ ( 1,97 ) =
 2,0325 
= 0,5 − 0,4756 = 0,0244 = 2,44%
Do đó trong 1000 gói đường sẽ có khoảng 1000x0,0244 = 24,4 gói đường có trọng lượng
ít hơn 1008 g.
Bài 8: Lãi suất (%) đầu tư vào một dự án năm 2000 được coi như là một đại lượng ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn. Theo đánh giá của ủy ban đầu tư thì lãi suất cao hơn 20% có
xác suất 0,1587, và lãi suất cao hơn 25% có xác suất là 0,0228. Vậy khả năng đầu tư mà
không bị thua lỗ là bao nhiêu?
Giải
Gọi X là lãi suất đầu tư vào dự án.

  σ ÷
 σ

 0 − 15 
Để có lãi thì: P(X > 0) = 0,5 − φ 
÷ = 0,5 + φ ( 3 ) = 0,5 + 0,4987 = 0,9987
 5 
Bài 9: Nhà máy sản xuất 100.000 sản phẩm trong đó có 30.000 sản phẩm loại 2, còn lại là
sản phẩm loại 1. KCS đến kiểm tra và lấy ra 500 sản phẩm để thử.
Trong 2 trường hợp chọn lặp và chọn không lặp. Hãy tính xác suất để số sản phẩm loại 2
mà KCS phát hiện ra:
a) Từ 145 đến 155

b) Ít hơn 151
Giải

Trường hợp chọn lặp:
Gọi X là số sản phẩm loại 2 có trong 500 sản phẩm đem kiểm tra.
Ta có: X : B(500;0,3)
Do n = 500 khá lớn, p = 0,3 ( không quá 0 và 1)
Nên ta xấp xỉ theo chuẩn: X : N(150;105)
 155 − 150   145 − 150 
a) P ( 145 ≤ X ≤ 155 ) = φ 
÷− φ 
÷=
105  
105 

= φ ( 4,87 ) + φ ( 4,87 ) = 0,5 + 0,5 = 1
 150 − 150   0 − 150 


1)

n = 100, x = 1000, γ = 1 − α = 95%, σ = 100
2φ(t) = 1 − α = 95% = 0,95 ⇔ φ(t) = 0,475 nên t α = 1,96
σ
100
= 1000 − 1,96.
= 980,4
n
100
σ
100
a2 = x + tα
= 1000 + 1,96.
= 1019,6
n
100
a1 = x − t α

Vậy với độ tin cậy là 95% thì tuổi thọ trung bình của bóng đèn mà xí nghiệp sản xuất ở
vào khoảng (980,4 ; 1019,6) giờ.
2) ε = 15,n = 100
tα =

15 100
= 1,5 ⇒ φ ( t α ) = φ ( 1,5 ) = 0,4332 (bảng F)
100

Vậy độ tin cậy γ = 1 − α = 2φ ( t α ) = 0,8664 = 86,64%

a1 = x − t nα−1
a 2 = x + t nα−1

s
0,5
= 48 − 2,093.
= 47,766
n
20
s
0,5
= 48 − 2,093.
= 48,234
n
20

Vậy với độ tin cậy là 95%, trọng lượng trung bình của một bao bột mì thuộc cửa hàng
(47,766; 48,234) kg
2) ε = 0,26,n = 20
t nα−1 =

0,26 20
= 2,325 ≈ 2,3457
0,5

Tra bảng H ⇒ γ = 97%
Vậy với độ chính xác 0,26 kg thì độ tin cậy là 97%
7




0,11( 1 − 0,11)
100
0,11( 1 − 0,11)
100

= 0,051
= 0,169

Với độ tin cậy 94%, tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp vào khoảng (0,051; 0,169)
⇒ 5,1% < p < 16,9%
2) ε = 3% = 0,03
tα =

ε n
0,03 100
=
= 0,96
f (1 − f )
0,11( 1 − 0,11)

φ ( 0,96 ) = 0,3315 ⇒ γ = 2φ ( t α ) = 2.0,3315 = 0,663 = 66,3%
Bài 13:
8


Giám đốc một xí nghiệp cho biết lương trung bình của một công nhân thuộc xí
nghiệp là 380 nghìn đồng/ tháng. Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân thấy lương trung bình là
350 nghìn đồng/ tháng, với độ lệch chuẩn σ = 40 nghìn. Lời báo cáo của giám đốc có tin
cậy được không, với mức ý nghĩa là 5%.

a0 = 25 là sức mua của khách hàng trước đây.
n = 15, x = 24,s = 2, α = 5%
n −1
14
Do α = 5% ⇒ γ = 0,95 ⇒ t α = t 0,05 = 2,1448 ( tra bảng H)

t =

x − a0
s

n

=

24 − 25 15
= 1,9364 < t αn −1
2
9


Vậy ta chấp nhận H0
Kết luận: Với mức ý nghĩa là 5%, sức mua của khách hàng hiện nay không giảm sút.
Bài 15:
Theo một nguồn tin thì tỉ lệ hộ dân thích xem dân ca trên tivi là 80%. Thăm dò 36
hộ dân thấy có 25 hộ thích xem dân ca.
Với mức ý nghĩa là 5%, kiểm định xem nguồn tin này có đáng tin cậy không?
Giải
p
≠

ĐỀ THI
MÔN: XÁC SUẤT THỐNG KÊ
A. PHẦN LỰA CHỌN: a, b, c, d
1. Cho X ∈ B(25;09). Tính Mod(X) = ?

11


(a) 22
(b) 24
(c) 23
(d) 25
2. Tung một con xúc xắc cân đối đồng chất 10 lần liên tiếp. Xác suất sao cho có đúng 6 lần xúc xắc xuất
hiện mặt có số chấm lớn hơn 2 là:
(a) 0.557
(b) 0.137
(c) 0.228
(d) 0.002
3. Một máy sản xuất 3 sản phẩm. Gọi Ai là biến cố sản phẩm thứ i là sản phẩm tốt. Khi đó Ai là biến
cố sản phẩm thứ i là phế phẩm. Biến cố có 1 sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm do máy sản xuất là:
(a) A = A1 . A2 . A3
(b) A = A1 + A2 + A3
(c) A = A1 + A2 + A3
(d) A = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3
4. Cho X ∈ B(10; 0.7). Chọn câu đúng trong các câu sau:
(a) E(X) = 2.1, Var(X) = 7
(b) E(X) = 7, Var(X) = 2.11
(c) E(X) = Mod(X) = 7
(d) E(X) = Var(X) = 2.1
5. Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất:

 12

6. Tung đồng thời 2 con xúc xắc cân đối, đồng chất. Gọi A là biến cố có tổng số chấm xuất hiện trên mặt trên các
xúc xắc bằng 10. Tính P(A) = ?
(a)

6
P ( A) =
18

(b)

P ( A) =

1
3

(c)

1
P ( A) =
12

(d)

P ( A) =

1
36


12. Một hộp chứa các viên bi với kích cỡ giống nhau trong đó có: 5 bi đỏ, 4 bi xanh, 3 bi vàng và 2 bi trắng. Từ
hộp lấy ngẫu nhiên 3 bi, xác suất để lấy được 3 bi cùng màu là:
(a) 0.003
(b) 0.110
(c) 0.041
(d) 0.014
13. Có 5 mẫu hóa chất, trong đó có 2 mẫu hóa chất xấu. Kiểm tra lần lượt từng mẫu cho đến khi phát hiện được
mẫu hóa chất xấu thì dừng lại. Xác suất để việc kiểm tra dừng lại ở lần thứ 3 là:
(a) 0.2
(b) 0.4
(c) 0.6
(d) 0.8
14. Có 9 chữ số từ 1 đến 9 được viết lên 9 mãnh bìa giống nhau. Chọn ngẫu nhiên lần lượt 2 mãnh bìa rồi ghép lại
theo thứ tự từ trái qua phải. Xác suất để ghép được số chẵn là:

12


(a) 0.444
(b) 0.889
(c) 0.5
15. Cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất:
X
P

-1
0.3

0
0.1

18. Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt. Hai người khách hàng lần lượt đến mua mỗi người
một sản phẩm. Gọi P1 và P2 lần lượt là khả năng mua được sản phẩm tốt của người thứ nhất và người thứ hai.
Chọn kết luận đúng:
(a) P1 < P2
(b) P1 > P2
(c) P1 ≠ P2
(d) P1 = P2
19. Một hộp có 20 viên bi, trong đó có 12 viên bi màu đỏ. Rút ngẫu nhiên 8 bi. Gọi X là số bi màu đỏ lấy được
trong 8 bi rút ra. Hãy cho biết X tuân theo quy luật phân phối nào?
(a) Siêu bội
(b) Poisson
(c) Nhị thức
(d) Chuẩn
20. Cho đại lượng ngẫu nhiên lien tục X có hàm phân phối xác suất:
0, x < 2
x

F ( x) =  − 1,2 ≤ x ≤ 4
2
1, x > 4

Xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn 3 là:
(a) 0.4
(b) 0.1
(c) 0.2
21. Cho đại lượng X phân phối theo quy luật chuẩn với hàm mật độ:

1

f ( x) =

Khi đó P(0 < X ≤ 2) = ?
(a) 0.25
(b)0.75
(c)0.5
(d) 1
23. Trung bình tại một bưu điện có khoảng 10 người đến gọi điện trong 1 giờ. Xác suất để trong 1 giờ mà ta xét có
từ 10 đến 11 người đến gọi điện là:
(a) 0.239
(b) 0.125
(c) 0.167
(d) 0.211
24. Cho P(A) = 0.2; P(B) = 0.7; P(A+B) = 0.9. Vậy:
(a) A và B là hai biến cố tùy ý
(b) A và B là hai biến cố độc lập
(c) A và B là hai biến cố độc lập toàn phần
(d) A và b là hai biến cố xung khắc
25. Cho X ∈ N(20;16). Tính P(20 ≤ X ≤ 28) = ?

13


(a) 0.9772
(b) 0.1629
(c) 0.5
(d) 0.4772
26. Cho X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập nhau với X ∈ P(5), Y ∈ H(10;5;2). Đặt Z = XY. Đại lượng Z có
kỳ vọng là:
(a) 15
(b) 5
(c) 10

C. PHẦN KIỂM ĐỊNH:
I. Tỷ lệ phế phẩm của nhà máy A là 6%. Nhà máy quyết định áp dụng biện pháp cải tiến kỹ thuật mới.
Sau khi cải tiến người ta kiểm tra 600 sản phẩm thì có 15 phế phẩm. Với mức ý nghĩa 1%, bạn hãy cho
biết kết luận của biện pháp cải tiến trên.
33. Chọn giả thiết, đối thiết.
34. Tìm miền bác bỏ của kiểm định.
35. Tính giá trị quan sát của kiểm định.
36. Kết luận: Có hiệu qủa hay không?
II. Kiểm tra cân nặng của sinh viên Nam ở 2 lớp A và B người ta có số liệu sau:
Lớp
X
Y

Số sinh viên Nam
120
100

Cân nặng trung bình (Kg)
53.18
51.12

Độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh
4.216
4.232

Có một kết luận cho rằng: Cân nặng của sinh viên lớp Y thấp hơn lớp X. Theo bạn kết luận đó đúng hay
sai ? (Với mức ý nghĩa 1%)
37. Chọn giả thiết, đối thiết.
38. Tìm miền bác bỏ của kiểm định.
39. Tính giá trị quan sát của kiểm định.

d
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26

X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X

B. PHẦN ƯỚC LƯỢNG:
27.



d

X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X


37. Giả thiết H: E(X) = E(Y); Đối thiết H : E(X) > E(Y)
38.

Wα = (2.326; +∞)

39.

u 0 = 3.601

40. Đúng

16