Mục lục
Trang
Lời mở đầu...................................................................................................2
Chơng I. Một số kiến thức mở đầu..............................................................3
1.1 Sai phân................................................................................................3
1.1.1 Khái niệm sai phân.............................................................................3
1.1.2 Một số tính chất của sai phân............................................................3
1.2 Phơng trình sai phân............................................................................4
1.2.1 Phơng trình sai phân tuyến tính........................................................4
1.2.2 Phơng trình sai phân tuyến tính cấp 1...............................................5
1.2.3 Phơng trình sai phân tuyến tính cấp 2...............................................6
1.2.4 Phơng trình sai phân tuyến tính cấp 3................................................8
1.3 Tuyến tính hóa......................................................................................9
Chơng II. Một số bài toán ứng dụng tính chất của sai phân ...................10
2.1 Bài toán tính tổng................................................................................10
2.2 Bài toán tìm giới hạn của dãy số........................................................15
Chơng III. ứng dụng của phơng trình sai phân.........................................21
3.1.Tìm số hạng tổng quát của dãy số.......................................................21
Kết luận......................................................................................................33
Tài liệu tham khảo.....................................................................................34


2

Lời mở đầu
Phơng pháp sai phân là phơng pháp đợc áp dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực khoa học, kĩ thuật. Sai phân có thể ứng dụng vào giải gần đúng phơng
trình các toán tử, đặc biệt đợc sử dụng để giải phơng trình vi phân và phơng
trình đạo hàm riêng. Bên cạnh đó lí thuyết sai phân còn có nhiều ứng dụng
khác trong giải tích chẳng hạn nh : tìm số hạng tổng quát của dãy số, tìm giới
hạn của dãy số....

Khi đó:
Hệ quả: Nếu

n f ( x )
n
= f ( ) ( x + nh )
n
h

( 0,1)

n f ( x)
thì khi h đủ nhỏ ta có: ( n )
f C [ a, b ]
f ( x)
n
n

h


4
Nhận xét: Với hàm f ( x ) , xác định trên tập số nguyên  và coi h =1;
kí hiệu

yk = f ( k ) ; k = 0,1,2...

Ta có

n

Phơng trình (1.2) đợc gọi là phơng trình sai phân tuyến tính cấp n. Nếu
f n = 0 thì phơng trình (1.2) đợc gọi là phơng trình sai phân tuyến tính thuần

nhất cấp n an xn + k + an 1 xn + k 1 + ... + a1 xn +1 + a0 xn = 0

(1.3)

Để giải phơng trình (1.2) ngời ta thờng cho trớc n giá trị ban đầu

x0 , x1 ,..., xn 1 và tìm đợc xk = f (k ) với k = 0,1,2,... đợc gọi là nghiệm của phơng trình sai phân (1.2)
Phơng trình an n + an 1 n1 + ... + a1 + a0 = 0 (1.4) đợc gọi là phơng trình
đặc trng của phơng trình (1.3)
Nhận xét: Nếu xn là nghiệm của phơng trình (1.3) và xàn là một
nghiệm của phơng trình (1.3) thì xn + xàn với , là các hằng số tùy ý cũng
là nghiệm của phơng trình (1.3).
1.2.2 Phơng trình sai phân tuyến tính cấp 1
* Định nghĩa.
Phơng trình sai phân tuyến tính cấp 1 là phơng trình có dạng


5

a xn + 1 + b xn = f n
(a, b - hằng số khác 0, fn - biểu thức của n)
* Nghiệm.
Nghiệm tổng quát của (2.1) có dạng xn = xn + xn* ;

(2.1)

là nghiệm tổng quát của phơng trình sai phân tuyến tính

Nghiệm tổng quát: xn = xn + xn*
Với

xn là nghiệm tổng quát của phơng trình (2.2)

xn* là nghiệm riêng của phơng trình (2.3)
Tìm xn* nh sau:
Nếu 1 thì xn* = g n là đa thức cùng bậc với f n
Nếu = 1 thì xn* = n.g n ; g n là đa thức cùng bậc với f n
n
Dạng 2: Phơng trình a xn +1 + b xn = Pm ( n )

( 0)

Nghiệm tổng quát xn = xn + xn*
Với

xn là nghiệm tổng quát của phơng trình (2.2)
xn* là nghiệm riêng của phơng trình (2.4)

(2.4)


6
xn* đợc xác định nh sau
xn* = Qm ( n ) n nếu

xn* = n.Qm ( n ) . n nếu =
Trong đó là nghiệm của phơng trình đặc trng
P ( n ) ; Q ( n ) các đa thức bậc m của n

* Nghiệm.
Nghiệm tổng quát của phơng trình (3.1) có dạng xn = xn + xn*
Trong đó: xn là nghiệm của phơng trình sai phân tuyến tính thuần
nhất (3.2); xn* là một nghiệm riêng tùy ý của (3.1).
Phơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai


Phơng trình a xn+ 2 + b xn +1 + c xn = 0;

(a 0)

Phơng trình đặc trng a 2 + b + c = 0
Nếu 1 , 2 là 2 nghiệm thực phân biệt thì: xn = A.1n + B.2n

( 3.2 )


7
Nếu 1 = 2 = (nghiệm thực kép) thì: xn = ( A + B.n) n
Nếu = x + iy = r (cos + i sin ) thì: = x iy = r (cos i sin ) cũng
là nghiệm của phơng trình đặc trng.
Khi đó: xn = r n ( A cos n + B sin n )
y
; (A, B là các hằng số)
x
* Một số dạng phơng trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai
Dạng 1.
(3.3)
axn+ 2 + bxn+1 + cxn = Pk (n)
Với: i 2 = 1; r = x 2 + y 2 ; = arctg

8
Nếu phơng trình đặc trng có nghiệm

thì xn* = Qk ( n ) .n

Nếu phơng trình đặc trng có nghiệm đơn = thì xn* = n.Qk ( n ) . n
Nếu phơng trình đặc trng có nghiệm kép = thì xn* = n 2 .Qk ( n ) . n
1.2.4 Phơng trình sai phân tuyến tính cấp 3
*.Định nghĩa.
Phơng trình sai phân tuyến tính cấp 3 là phơng trình có dạng
a.xn+3 + bxn+ 2 + c.xn +1 + d .xn = f n.

(4.1)

Trong đó a,b,c,d là các hằng số a 0 ; f n biểu thức của n
*.Nghiệm.
*
Nghiệm tổng quát của phơng trình (4.1) có dạng xn = xn + xn

là nghiệm của phơng trình a.x + b.x + c.x + d .x = 0 (4.2)
Trong đó x
n+ 3
n+ 2
n+1
n
n

xn* là một nghiệm riêng của phơng trình (4.1)
*.Phơng trình tuyến tính thuần nhất cấp 3
Phơng trình có dạng a xn + 3 + b xn+ 2 + c xn+ 1 + d = 0


Thay x1 , x2 ,..., xk và các giá trị xk +1 , xk +2 ,..., x2 k vừa tìm đợc vào biểu
thức xn ta đợc hệ phơng trình đại số tuyến tính:
xk +1 = a1 xk + a2 xk 1 + ... + ak x1
x = a x + a x + ... + a x
k +2
1 k +1
2 k
k 2

.............
x2 k = a1 x2 k 1 + a2 x2 k 2 + ... + ak xk
Nếu hệ trên có nghiệm thì ta đợc: xn = a1 xn1 + a2 xn 2 + ... + ak xn k là
dạng tuyến tính hóa của xn = ( xn 1 , xn 2 ,..., xnk )
Kiểm tra điều kiện đủ bằng phép chứng minh quy nạp.
Chơng II: một số bài toán ứng dụng tính chất
của sai phân

2.1

Bài toán tính tổng

Các bài toán tính tổng thông thờng đợc yêu cầu đối với các dãy số đặc
biệt nh cấp số cộng, cấp số nhân... bằng các phơng pháp truyền thống nh quy
nạp toán học, sử dụng các phép biến đổi đại số, sử dụng đạo hàm...Tuy nhiên
đối với các tổng phức tạp và các số hạng của tổng không thuộc các dãy số đặc
biệt nh cấp số cộng, cấp số nhân, dãy đơn điệu...thì việc sử dụng các phơng
pháp truyền thống ở trên là rất khó. Khi đó các tính chất của sai phân là công
cụ hữu hiệu để giải bài toán này.
Bài toán 1 : Tính các tổng sau

) ÷ = −
−
=2−
÷
(k + 1)! 
( n + 2)!
k =0 
 (n + 1 + 1)! (0 + 1)! 
n

k −1
k =1 k !
n

S =∑

1.2.

Ta cã:
 1 
1
1
k −1 k 1
=
− = −∆ 
= −
÷
(k − 1)! k !
k!
k! k!


=

k +1 − k
= k +1 − k = ∆ k
(k + 1) − k

n

S = ∑∆ k = n +1 − 1 = n + 1 −1
k =1

n

1.4. S = ∑ (k 2 + k + 1)k !
k =1

Ta cã: (k 2 + k + 1) k ! = (k + 1) 2 k !− k k ! = (k + 1)(k + 1)!− k k ! = ∆ (k k !)
n

S = ∑ ∆ (k k !) = (n + 1)( n + 1)!− 1
k =1

3k 2 − 3k + 1
2
3
k =2 (k − k )

2009


(2 1)
20093
k =2
(2009 + 1 1)
Nhận xét : Các bài toán tính tổng nêu trên thờng đa về việc tính tổng
2009

S =

sai phân

n

y = y
i =1

i

n +1

y1 hoặc

n

y = y
i= k

i

n +1

k =1

( k = 1,2,...n )

x
0 x 2k Ta có:
2

1
1
1
1
cos(k + ) x cos(k ) x
=
( cos( k ) x)
2
2
sin kx =
x
2
x
2sin
2sin
2
2

Sn =

1
2sin


12
x = 2k ( k  )

0
n +1
nx
sin
x
sin
Vậy: Sn =
2
2

x
sin


2

2.2

x 2 k ( k  )

n

Tn = cos kx
k =1

1


2.3 S n = k sin kx ;

2.4 Tn = k cos kx
k =1

k =1

Cách giải: Ta có:
n

n

n

k =1

k =1

n

n

n

k =1

k =1

k =1


n

2.6 Tn = ak cos kx
k =1

Trong đó a1 , a2 ,..., an là cấp số cộng công sai d
Cách giải: Ta có:


13
n

n

n

n

k =1

k =1

k =1

k =1

S n = ak sin kx = [ a1 + (k 1) d ]sin kx = (a1 d ) sin kx + d k sin kx
n


n


k =1

n

n

k =1

k =1

cos k x, k sin k x, k cos k x

đã đợc tính ở trên, từ đó ta tính đợc các tổng phải tìm.
Bài toán 3: Cho cấp số cộng ( xn) với công sai d. Tính tổng sau:
3.1

n

Sn = sin xk
k =1

Do ( xn) là cấp số cộng công sai d nên xk = (k 1)d + x1
sin xk = sin [ (k 1)d + x1 ]
sin xk sin

d
d


3
d

= cos x1 + k ữd
2
2
2


1


3

cos x1 + k ữd
d
2


2sin
2
1

2sin

n




n 1 nd

sin x1 +
d ữsin
2
2


Sn =
d
sin
2
Bài tập luyện tập:
Cho cấp số cộng ( xn) với công sai d. Tính tổng sau:
3.2

n

Tn = cos xk
k =1

Mở rộng 3: Từ bài toán trên ta tính đợc tổng:
n

n

3.3 Pn = k sin xk

3.4 Qn = k .cos xk
k =1


n

sin xi + n sin xk
k =1

áp dụng kết quả tính đợc ở trên thay vào biểu thức của Pn ta đợc
d
1


cos x1 ữ cos x1 + (k )d ữ sin( x1 + n 1 d )sin( n.d )
2
2


2
2
Pn =
+n
d
d
k =1
2sin
sin
2
2
n 1

d n 1

15

cot g xk cot gxk +1 =

cos xk cos xk +1 sin( xk +1 xk )
sin d

=
=
sin xk sin xk +1 sin xk .sin xk +1 sin xk .sin xk +1

1
1
1
=
cot g xk
( cot g xk cot gxk +1 ) =
sin xk .sin xk +1 sin d
sin d

Sn =
=

1 n
1
cot g xk =
( cot gxn+1 cot gx1 )

sin d k =1
sin d

1

( n = 1,2,...)

n

xk
Sn
. Tính lim
n
k =1 xk +1 1

Thành lập { Sn } với Sn =
Giải: Ta có
xn +1 =

xn2 + 2009 xn
x 2 + 2010.xn xn xn ( xn 1)
= n
=
+ xn (n = 1,2...)
2010
2010
2010

Do x1 = 2 nên có ngay 2 = x1 < x2 < x3 < .... Vậy { xn } là dãy đơn điệu tăng
xn = L Khi đó
Giả sử { xn } bị chặn nên tồn tại L > 2 để lim
n
2

xn
1
= 2010 n+1
= 2010

ữ = 2010 x 1
xn+1 1
( xn 1) ( xn+1 1)
n
xn 1 xn+1 1
n
1
1
xk
1
S =
=

2010

= 2010

ữ
ữ
k =1 xk +1 1
k =1
xn+1 1 x1 1
xk 1
n


xn +1 = m + m
0


x1 = a > m0 > 0

*
n = 1, 2....; m0 Ơ


n

Dãy

{ xn } đợc xác định nh sau:

xk
lim Sn
k =1 xk +1 m0 Tính: n

Sn =

Giải: Theo công thức xác định dãy { xn } ta có
xn2 + ( m + m0 ) xn m0 xn xn ( xn m0 )
=
+ xn
xn+1 =
m + m0
m + m0


n
Do đó ta có:
xn = ( m + m0 )

xn+1 xn
xn m0

xn
xn+1 xn
= ( m + m0 )
xn+1 m0
( xn m0 )( xn+1 m0 )
1

xn
1
= ( m + m0 )

ữ
xn+1 m0
xn m0 xn+1 m0
1
xn
= ( m + m0 )
ữ
xn+1 m0
xn m0
n
1


a m0 xn+1 m0
( m + m0 )
m + m0
=
lim
a m0 n xn +1 m0
=

m + m0

a m0


(m + m0 )
=0 ữ
n x
n +1 m0


vì

lim

Bài tập luyện tập:
Bài toán 3. Cho dãy { xn } xác định nh sau:

xn2 + 2 xn
xn+1 =
5


( x 5)
+ 2
x3 5

2

( x 5)
+ .... + n

2

xn+1 5

Sn = ?
Tính lim
n

Giải: Theo công thức xác định dãy ta có: 8 = x1 < x2 < x3 < ...
Do đó { xn } đơn điệu tăng
Giả sử { xn } bị chặn trên suy ra tồn tại L > 8 sao cho lim xn = L Khi đó
n
3

xn 5 )
(
( L 5)3
lim xn+1 = lim xn lim xn +
=L
ữ = lim xn L +
n

( xn 5)
( xn+1 xn )
= 2010
( xn 5) ( xn+1 5)
( xn+1 5) ( xn 5 )
3

( xn 5)
( xn+1 5)
2

1

1
1
= 2010

ữ= 2010
ữ
xn 5 xn +1 5
xn 5

n

1
1
1
1
1
S = 2010

(
xn+1 = xn +
no


x1 = b > a > 0

*
mo , no Ơ



( n = 1,2...)

( xn a) m0 1
( x1 a) m0 1 ( x2 a) m0 1
Đặt Sn =
+
+ ... +
x2 a
x3 a
xn +1 a

Sn = ?
Tính lim
n
Giải: Từ công thức xác định dãysố { xn } ta có: b = x1 < x2 < ...
Do đó { xn } đơn điệu tăng
xn = L Khi đó
Giả sử { xn } bị chặn trên nên tồn tại L ; L > b sao cho lim

+ n

mo

no

= n0 ( xn +1 xn )

( xn a) m0
( xn +1 xn )
= n0
( xn a)( xn+1 a)
( xn a)( xn +1 a)

( xn a )

mo 1

xn +1 a
n

Sn =
k =1


1
1
1
=


1
1
1
= no

ữ = n0
ữ
xk +1 a
xk a
k =1
xn +1 a x1 a

1
1
= no.

ữ
b a xn+1 a

n
no no
no
n
lim S n = lim o
=
lim
= o
ữ
n
n b a

x 3
lim 1
+
+ ... + n
ữ
n x 3
x3 3
xn+1 3
2


21
Bài toán 7: Cho dãy số { xn } đợc xác định nh sau
xn =

1 2
n
+ + ... +
2! 3!
( n + 1) !

( n = 1,2...)

n
Tìm giới hạn sau lim n x1n + x2n + ... + x2009
=?
n

Chơng 3: ứng dụng của phơng trình sai phân
3.1 bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số

3

Vậy un = 1 + 2n + (3)n , n = 1, 2...
Vì p là số nguyên tố nên theo định lí Fecma ta có
2 p 1 1 (mod p) 2 p 2 ( mod p)
( 3) p 1 1 (mod p) ( 3) p 3( mod p)
u n = 1 + 2 p + ( 3) p (1 + 2 3) (mod p) 0 (mod p )

Vậy un Mp


22
Bài tập luyện tập:
Bài toán 2:

Dãy số { xn } đợc xác định nh sau

xn+1 2 xn 3 xn 1 = n + 2n ( n = 2,3...)

x1 = 0
x = 0
2
Tìm số hạng tổng quát của dãy số?

Bài toán 3: Cho dãy số { xn } thỏa mãn:
xn+ 2 2 xn+1 + xn = 2

x0 = 1 ; x1 = 0

( n = 0,1,...)

23
Tìm công thức của số hạng tổng quát xn = ?
Giải:

Dựa vào công thức truy hồi của dãy số ta thấy rằng

2 = x1 < x2 < x3 < ... < xn < ... suy ra dãy { xn } là dãy số dơng ( n 1,2...)

Do đó: xn+ 2 = xn5+1.xn6 tơng đơng với log 2 xn+2 = 5log 2 xn+1 6log 2 xn
Đặt yn = log 2 xn suy ra y1 = log 2 x1 = log 2 2 = 1 ; y2 = log 2 x2 = log 2 8 = 3 ;
Khi đó dãy { yn } đợc xác định nh sau:

yn+ 2 = 5 yn +1 6 yn

y1 = 1
y = 3
2

(n = 1, 2...)

Xét phơng trình sai phân: yn+ 2 5 yn+1 + 6 yn = 0
= 2
Có phơng trình đặc trng 2 5 + 6 = 0
= 3
Nghiệm tổng quát của phơng trình trên có dạng

yn = 2n A + 3n B;( A, B Ă , n = 1,2...)
Theo giả thiết : y1 = 1, y2 = 3 nên ta có hệ sau
A = 0
2 A + 3B = 1

un +1 = ( n + 2)(n + 3) (un + 1)


Tìm số hạng tổng quát của dãy.
Giải:

(nƠ )


24

Ta có: un +1 =

n(n + 1)
(un + 1)
(n + 2)(n + 3)

(3.6.1)

n(n + 1) 2 (n + 2)
u n +1 =
(un + 1)
(n + 1)(n + 2) 2 (n + 3)

(3.6.2)

(n + 1) (n + 2) 2 (n + 3) un +1 = n (n + 1) 2 (n + 2) un + n ( n + 1) 2 (n + 2)

Đặt xn = n(n + 1) 2 (n + 2)un x1 = 0
Phơng trình (3.6.2) trở thành


1
5

1
2

1
2

1
5

1

a = 5

b = 1

2

c = 0

1
d =
2


1
e =


Bài toán 7:Xác định số hạng tổng quát của dãy số sau
x1 = 8

3( n +1)3 +1 2010

xn +1 = (3n 3 + 1) 2010 xn


(n=2,3,...)

Giải:
3(n + 1)3 + 1 2010
xn +1 =
xn
(3n3 + 1) 2010

Ta có

xn +1
xn2010
=
3(n + 1)3 + 1 (3n3 + 1) 2010

Đặt vn =

(3.7.1)

xn
khi đó phơng trình trở thành


Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: xn = (3n3 + 1)e 2010

n 1

.ln 2

Nhận xét: ta có thể tổng quát hóa bài toán 7 nh sau
Xác định số hạng tổng quát của dãy số đợc cho nh sau:
x1 = a > 0

f ( n +1) k

xn +1 = f k (n) xn


Trong đó

f ( n) > 0

n, k Ơ *