SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

MỤC LỤC
MỤC LỤC………………………………………………………………………………….
CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……………………..
PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI…………………………………………………………1
1. Lí do chọn đề tài…………………………………………………………………....1
2. Nhiệm vụ của đề tài…………………………………………………………….......1
3. Phạm vi nghiên cứu………………………………………………………………...1
PHẦN II: NỘI DUNG……………………………………………………………………..2
1. Những vấn đề lý luận chung……..………………………………………………....2
2. Thực trạng của vấn đề……….……………………………………………………..2
3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề…………………………………..2
4. Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm………………………………………………….12
PHẦN III: KẾT LUẬN…………………………………………………………………..13
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………………..14

NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

1


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

Học sinh:
Giáo viên:
Hình học :
Phương pháp vectơ:
Sách giáo khoa:
Sách bài tập:

gặp phải một số khó khăn, không biết bắt đầu từ đâu trong quá trình giải bài tập và không
tránh khỏi những sai lầm khi giải toán hình học 10.
Khó khăn thứ nhất mà học sinh gặp phải đó là lần đầu tiên làm quen với đối tượng
mới là vectơ, các phép toán trên vectơ. Học sinh khó khăn trong việc chiếm lĩnh hai đặc
trưng độ dài và định hướng của vectơ,khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số_hình
học của phép toán vectơ nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm trong sử dụng PPVT.
Khó khăn thứ hai khi sử dụng PPVT là do thoát khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ nên
khó tưởng tượng, hiểu bài toán một cách hình thức, không hiểu hết ý nghĩa hình học của
bài toán.
Học sinh thường gặp khó khăn khi chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học thông
thường sang “ngôn ngữ vectơ” và ngược lại.
Với những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu “Rèn luyện kỹ năng giải toán
bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10” nhằm giúp học sinh có
cách nhìn rộng hơn, hình thành cho học sinh kỹ năng giải các bài toán hình học bằng
PPVT.
2. Nhiệm vụ của đề tài
Nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải bài tập toán theo hướng hình thành và rèn
luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn.
3. Phạm vi nghiên cứu
Bài tập hình học phẳng bằng phương pháp vectơ trong chương I, chương II SGK,
SBT hình học 10 theo chương trình cơ bản và nâng cao.
Kỹ năng giải toán hình học bằng PPVT của học sinh khối 10 trường THCS&THPT
Hà Trung.

Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

3


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

mới là vectơ, các phép toán trên vectơ. Học sinh khó khăn trong việc chiếm lĩnh hai đặc
trưng độ dài và định hướng của vectơ,khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số_hình
học của phép toán vectơ nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm trong sử dụng PPVT.
Khó khăn thứ hai khi sử dụng PPVT là do thoát khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ nên
khó tưởng tượng, hiểu bài toán một cách hình thức, không hiểu hết ý nghĩa hình học của
bài toán.
Học sinh thường gặp khó khăn khi chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học thông
thường sang “ngôn ngữ vectơ” và ngược lại.
3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
Trong quá trình dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho
học sinh lời giải bài toán. Biết lời giải của bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để
giải được bài toán đó. Để làm tăng hứng thú học tập của học sinh, phát triển tư duy, thầy
giáo phải hình thành cho học sinh môt quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho một
Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

4


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

bài toán.Theo Pôlya, phương pháp tìm lời giải cho môt bài toán thường được tiến hành
theo 4 bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Bước 2: Xây dựng chương trình giải
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải.
Sau đây là ví dụ áp dụng quy trình bốn bước giải toán của Polya để chứng minh:
Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm I, bán kính R và một điểm M. Một đường thẳng qua M
uuur uuur
bất kì cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Chứng minh rằng: MA.MB = MI 2 − R 2 (*)

uuur

uuuur uur

uuu
r

- GV: Tìm mối liên hệ giữa MB và B ' A ; IB và IB ' . Hs: MB ⊥ B ' A, IB = − IB '
Bước 3: Trình bày lời giải
uuur uuur

uuur uuuur uuuur

(

)

uuur uuuur

(

uuu
r uur uuu
r uuu
r

)(

)


5


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

Cụ thể minh họa quy trình bốn bước trên bằng ví dụ sau:
Ví dụ 2: Cho góc xOy và hai điểm di chuyển trên hai cạnh của góc. M thuộc Ox, N
thuộc Oy, luôn thỏa mãn OM = 2ON. Chứng minh rằng trung điểm I của MN luôn thuộc
đường thẳng cố định.
Hướng dẫn giải:
uuu
r uuur
Bước 1: Lấy điểm A ∈ Ox, B ∈ Oy sao cho OA = OB, và chọn hai vectơ OA, OB làm
hai vectơ cơ sở. Mọi vectơ trong bài toán đều phân tích được( hoặc biểu thị được) qua hai
vectơ này.
uuur
uuur
uuuu
r
uuu
r
Bước 2: Giả thiết OM = 2ON, nên nếu ON = kOB thì OM = 2kOA . Điều phải
chứng minh là I thuộc đường thẳng cố định (dễ thấy đường thẳng này đi qua O) tương
r
uur r
đương với OI = lv , với v là một vectơ cố định nào đó.
Bước 3: Do I là trung điểm MN nên ta có :
uur 1 uuuu
r uuur 1
uuu

Mỗi điểm chia MN theo tỉ số

IM p
= (p, q là các số dương) đều thuộc một đường thẳng
IN q

cố định.
Ví dụ 3: (Bài toán 3_tr 21_SGK HH 10-nâng cao)
Cho tam giác ABC. Gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm ,
trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Ngôn ngữ hình học
Ngôn ngữ vectơ
uuu
r uuu
r uuur uuur
GT
H là trực tâm tam giác ABC
OA + OB + OC = OH
O là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC
uuu
r uuu
r uuur r
G là trọng tâm tam giác ABC
GA + GB + GC = 0
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r

Gọi I là trung điểm của BC. Dễ thấy AH = 2OI nếu tam giác ABC vuông.
Nếu tam giác ABC không vuông, gọi D là điểm đối xứng của A qua O.
Khi đó: BH song song với DC
BD song song với CH
Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó I là trung điểm
uuur
uur
của HD. Từ đó AH = 2OI
uuu
r uuur
uur uuur
Tacó: OB + OC = 2OI = AH nên
uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuur
OA + OB + OC = OA + AH = OH
uuur
uuur
Vậy OH = 3OG suy ra O, H, G thẳng hàng.

(

)

Nhận xét: Đường thẳng đi qua ba điểm này gọi là đường thẳng Ơle của tam giác ABC.
Để thực hiện bốn bước giải toán trên bằng PPVT giáo viên cần rèn luyện cho học
sinh một số kỹ năng cơ bản sau trong quá trình giải toán:
Kỹ năng thứ nhất: Diễn đạt quan hệ hình học bằng ngôn ngữ vectơ.
Quan hệ hình học
I là trung điểm của đoạn


uuu
r
uuur uuur
uuur
AB = k AC , AC = k BC ,
uuur
uuu
r uuu
r
OC = kOA + lOB
Với O tùy ý và k + l = 1.
uuur r uuu
r uuur
BC = 0, AB = AC

Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

7


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

Hai đường thẳng song song
AB // CD
Điểm M chia đoạn thẳng AB
theo tỉ số k ≠ 1
AM là trung tuyến của tam
giác ABC


một vectơ thành một tổ hợp vectơ khác nhau.
• Phương pháp 1: Vận dụng quy tắc hình bình hành.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, AC = b, AB = a. Gọi I là tâm đường
uu
r
uur
uur r
tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: a.IA + b.IB + c.IC = 0
Hướng dẫn giải:
uur uur
uu
r
Phân tích IA theo hai véc tơ IB, IC bằng quy tắc hình bình hành.
Dựng hình bình hành AC ' IB ' có AC '/ / IB', AB '/ / IC'
uu
r uuu
r uuur
Ta được IA = IB ' + IC ' (1)

uuur
IC ' DA c uur
=
= , IC và IC ' ngược hướng nên ta có:
IC DC a
uuu
r
IB ' EA b uur
=
= , IB và IB ' ngược hướng nên ta có:
IB EB a

a
a

• Phương pháp 2: Phương pháp xen điểm (vận dụng quy tắc ba điểm)
Ví dụ 5:
uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur
Cho bốn điểm A,B,C,D tùy ý. Chứng minh rằng: AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0 (*)
Hướng dẫn giải:
Phân tích: Để được một tổng bằng 0, ta có thể chọn phép biến đổi làm xuất hiện các
cặp giá trị đối nhau.
uuur uuur uuur
Chọn véc tơ AB, AC , AD làm các vectơ cơ sở. Mọi vectơ xuất hiện trong bài toán đều
được phân tích qua các vectơ này.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Ta có: AB.CD + AC.DB + AD.BC
uuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur uuu
r
= AB AD − AC + AC AB − AD + AD AC − AB
uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur
= AB. AD − AD. AB + AC. AB − AB. AC + AD. AC − AC. AD = 0
Nhận xét:
Đẳng thức vectơ (*) được gọi là hệ thức Ơle. Có thể áp dụng hệ thức Ơle để chứng
minh: “ Ba đường cao trong tam giác đồng quy”

(

)

Hướng dẫn giải:

uuur uuur
Chọn hai véc tơ AB, AC làm hai vectơ cơ sở. Mọi vectơ xuất hiện trong bài toán đều
được phân tích qua hai vectơ này.
uuuu
r
uuur
- Chỉ ra số thực k sao cho: PM = k PN .
Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

9


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

uuuu
r uuur
uuu
r
- Với điểm O bất kì và tỉ số thực t ta có: OM = tON + (1 − t )OP .
Ta có:
uuuu
r uuu
r uuuu
r 1 uuur uuur

PN = PA + AN = − AB + AC
2
3
uuuu
r
uuur
Ta thấy PM = 3PN . Vậy M, N, P thẳng hàng.

(

)

Kỹ năng thứ ba: Ghép một số vectơ trong một tổ hợp vectơ.
Ví dụ 7: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AB, CD, MN.
uu
r uur uur uur r
Ta biết rằng IA + IB + IC + ID = 0
uu
r uur uur uur r
Đặt tổ hợp vectơ IA + IB + IC + ID = v

r

Nếu nhìn v dưới dạng
r uu
r uur
uur uur
uur uur
v = IA + ID + IB + IC = 2IE + 2IF



(

)

trọng tâm tam giác ABC) ta có G, I, D thẳng
hàng.
Tương tự, sẽ dẫn đến các đoạn nối mỗi đỉnh của tứ giác ABCD và trọng tâm tam giác tạo
bởi ba đỉnh còn lại đồng quy.
Rõ ràng nếu nhìn một tổ hợp vectơ theo từng nhóm ta có được nhiều kết quả thú vị.

Ví dụ 8: ( Bài tập 8-tr17-SGK HH10-cơ bản)
Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

10


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC,
CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Giải:
uuuu
r uuur uuu
r r
Gọi G là trọng tâm tam giác MNP, ta có: GM + GN + GP = 0
uuuu
r uuu
r uuu
r uuu

tính chất trong hình học, giáo viên hướng dẫn cho học sinh khả năng phân tích, tổng hợp,
khái quát hóa…chẳng hạn giúp học sinh khái quát hóa những vấn đề sau:
uuu
r uuu
r uuur uuur r
O là tâm của hình bình hành ABCD: OA + OB + OC + OD = 0
O là trung điểm của đoạn thẳng nối các trung điểm của hai đường chéo hoặc hai
uuu
r uuur uuur uuur r
cạnh đối của tứ giác ABCD: OA + OB + OC + OD = 0
Ví dụ 9: Ta có bài toán:
uuur uuur
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng : AB 2 + CD 2 − BC 2 − AD 2 = 2 AC .BD (*)
Từ bài toán trên ta thấy:
uuur uuur
Nếu tứ giác ABCD có AC ⊥ BD thì AC.BD = 0 ,khi đó : AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2 .
uuur uuuuuuur
Nếu tứ giác ABCD có AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2 thì từ (*) suy ra AC.BD = 0 hay
AC ⊥ BD .
Trong tứ giác ABCD: AC ⊥ BD ⇔ AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2
Ví dụ 10: Ta có bài toán: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam
uuur uuur uuuu
r
uuuur
giác ABC và A’B’C’ thì: AA ' + BB ' + CC ' = 3GG '
Từ bài toán trên , ta đặt bài toán “phủ định” là: Điều kiện cần và đủ để hai tam giác
ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm?
uuur uuur uuuu
r r
Hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm: AA ' + BB ' + CC ' = 0


uuur uur
uuur uur
cùng
phương.
Biểu
diễn
AE , AI
AE , AI theo hai

r r
vectơ cơ sở a, b sau đó dùng điều kiện cùng
phương ta tìm được k.
-Điều phải chứng minh ·AIC = 900 , tương đương

uur uur
uur uur
AI .CI = 0. Với AI , CI đều phân tích được qua
rr
r r
a, b (để sử dụng giả thiết a.b = 0)

uuu
r r uuur r r r
Đặt AB = a, AD = b, a = b = a (a là độ dài cạnh hình vuông)
uuur 2 uuu
r 1 uuur uuu
r 1 uuur r 1 r
Ta có: AE = AB + AC = AB + AD = a + b
3

CI
= AI − AC = a − b .
Vậy:
. Mặt khác
5
5
5
5
uur uur  6 r 2 r  1 r 3 r  6 2 6 2
Ta có: AI .CI =  a + b ÷ a − b ÷ = a − a = 0 . Suy ra AI ⊥ CI
5  5
5  25
25
5
Kết luận ·AIC = 900 .

Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

12


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

PPVT có nhiều thuận lợi trong việc giải các bài tập hình học. Tuy vậy, trong quá
trình thực tế đứng lớp giảng dạy khi sử dụng phương pháp này học sinh vẫn gặp một số
khó khăn, và không tránh khỏi những sai lầm trong khi giải toán hình học lớp 10.
Sau đây là những sai lầm cơ bản của học sinh trong quá trình giải bài tập:
uuu
r uuur uuur uuu
r

1
cos µA =
= − . Suy ra góc A bằng 1200 . Vậy góc giữa hai
AB. AC
2
0
đường thẳng AB, AC là 120 .
Bài này học sinh trên giải sai do chưa nắm vững các kiến thức về vectơ, độ dài của
vectơ và tích vô hướng của hai vectơ. Đặc biệt có sự nhầm lẫn về xác định góc giữa hai
vectơ và góc giữa hai đường thẳng.
Lời giải đúng như sau:
uuu
r uuur
uuur uuur 1
15
AB
. AC
1
2
2
2
Ta có AB. AC = ( AB + AC − BC ) = −
, cos µA =
= − . Suy ra góc A bằng
2
2
AB. AC
2
1200 . Vậy góc giữa hai đường thẳng AB, AC là 600.
4. Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm:

2014-2015 10/1
40
0
0%
12
30%
18
45%
Kết quả học tập ở lớp không áp dụng SKKN trong năm học 2011-2012
Năm học

Lớp
10/2

Lớp

Sĩ số
40

Giỏi

Sĩ số

Yếu
11
27,5%

Trung bình
17
42,5%

SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

Qua những vấn đề trình bày trong sáng kiến này có thể rút ra một số kết luận sau:
Trong các nhiệm vụ của môn toán ở trường THPT, cùng với việc truyền thụ tri thức,
rèn luyện kỹ năng là một nhiệm vụ quan trọng, là cơ sở để thực hiện các nhiệm vụ khác.
Để rèn luyện kỹ năng giải toán, góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh cần
đưa ra một hệ thống bài tập đa dạng, hợp lí, được sắp xếp từ dễ đến khó nhằm giúp học
sinh củng cố khiến thức, rèn luyện kỹ năng phát triển tư duy và biết áp dụng toán học vào
thực tiễn.
Sáng kiến đã hướng dẫn học sinh quy trình chung, phương pháp tìm lời giải của bài
toán theo bốn bước trong lược đồ của Pôlya.
Sáng kiến đã đề xuất được một số biện pháp sư phạm phù hợp, thông qua hệ thống
bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài tập HH bằng PPVT với nội dung phong phú đã
đề cập được tới hầu hết các tình huống điển hình mà học sinh hay gặp khi giải toán HH
bằng PPVT. Đáp ứng nhu cầu tự học, tự nghiên cứu của học sinh, đều có tác dụng rèn
luyện năng lực giải toán cho học sinh THPT.
Kết quả thu đươc qua thử nghiệm đã chứng tỏ tính khả thi và hiệu quả của các biện
pháp mà sáng kiến đề cập tới. Sáng kiến đã góp phần nào trong việc nâng cao chất lượng
dạy và học ở trường THCS & THPT Hà Trung.
Với những ý kiến được trình bày trên đây hi vọng rằng sáng kiến sẽ là tài liệu tham
khảo cho quý Thầy cô giáo, cho các em học sinh góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy
nói chung và bộ môn toán nói riêng. Với kinh nghiệm còn ít ỏi của mình chắc chắn sáng
kiến này còn thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến độc giả để bản sáng kiến được
đầy đủ và có ý nghĩa thiết thực hơn. Đồng thời đây cũng là vấn đề mở cần được tiếp tục
nghiên cứu mở rộng thêm.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

15