ĐỀ SỐ 1
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
LỚP 9 - Năm học 2015-2016
MÔN :TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
(Đề thi gồm 5 câu, 1 trang)

Câu 1. (2,0 điểm)


Cho biểu thức P =  1 +



x   1
2 x
: 
−
÷
÷− 1 với x ≥ 0, x ≠ 1
÷
x +1   x −1 x x + x − x −1 ÷


a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức M = P − x nhận giá trị nguyên.
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2015x + 1 = 0
x3, x4 là nghiệm của phương trình x2 + 2016x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4)
b) Tìm các số x, y, z biết x + y + z − 2( x + 2 y − 1 + 3 z − 2) + 11 = 0 .

a) Hỏi người thứ nhất hay người thứ hai thắng và chiến thuật chơi thế nào để thắng?
b) Cũng hỏi như câu trên, khi đề bài thay 311 viên bi bằng n viên bi, với n là số nguyên
dương?
------------Hết----------

1


BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1)

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ (ĐỀ SỐ 1)
Lớp 9 - Năm học 2015 - 2016
MÔN: Toán
(Hướng dẫn chấm gồm 4 trang)
Chú ý:
Câu

Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa.
Điểm bài thi được tính theo thang điểm 10 .
Đáp án
a.( 1 điểm)


x   1
2 x
P= 1 +
:
−
÷



x + x +1 x +1− 2 x
=
:
−1
x +1
( x + 1)( x − 1)

1
(2điểm)

0,25

x + x + 1 ( x + 1)( x − 1)
=
.
−1
x +1
( x − 1) 2
x + x +1
x + x +1− x +1
−1 =
x −1
x −1
x+2
=
x −1
x+2
Vậy P =
với x ≥ 0, x ≠ 1

hoặc là số nguyên (nếu x là số chính phương) hoặc là số vô tỉ (nếu x
không là số chính phương)
3
là số nguyên thì x không thể là số vô tỉ, do đó
x −1
số nguyên, suy ra x - 1 là ước của 3

Để

Trang 2

x phải là

0,25


BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1)

Ta xét các trường hợp:
+) x - 1 = 3 ⇒ x = 4 ⇒ x = 16 ∈ Z và thoả mãn ĐKXĐ
+) x - 1 = -3 ⇒ x = - 2 < 0 (loại)
+) x - 1 = 1 ⇒ x = 2 ⇒ x = 4 ∈ Z và thoả mãn ĐKXĐ
+) x - 1 = -1 ⇒ x = 0 ⇒ x = 0 ∈ Z và thoả mãn ĐKXĐ
Vậy với x = 16; x = 4 hoặc x = 0 thì biểu thức M = P nguyên.

x nhận giá trị

a.(1 điểm )
Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm.
Có: x1x2 = 1 ; x3x4 = 1 ; x1+x2 = -2015 ; x3 + x4 = -2016

(2) ⇔ x − 2 x + y − 4 y − 1 + z − 6 z − 2 + 11 = 0
⇔ x − 2 x + 1+ y −1− 4 y −1 + 4 + z − 2 − 6 z − 2 + 9 = 0

0,25

⇔ ( x − 1) + ( y − 1 − 2) + ( z − 2 − 3) = 0
2

2

2

( x − 1) 2 = 0
 x −1 = 0
 x =1




⇒ ( y − 1 − 2) 2 = 0 ⇔  y − 1 − 2 = 0 ⇔  y − 1 = 2



2
( z − 2 − 3) = 0
 z − 2 − 3 = 0
 z − 2 = 3
 x = 1 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)

⇒  y = 5 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)

= (n2 + 4k + 4k + 2.n.2k )(n2 + 4k + 4k - 2.n.2k )

= (n2 + 2.n.2k + 22k + 22k )(n2 – 2.n.2k + 22k + 22k)
= [( n+2k)2 + 22k ][(n – 2k)2 + 22k ].
Với n là số tự nhiên lớn hơn 1 và k là một số tự nhiên lớn hơn 0.
Thì mỗi thừa số [( n +2k)2 + 22k ] và [(n – 2k)2 + 22k ]đều lớn hơn hoặc
bằng 2.
Do đó trong trường hợp n = 2k+1 thì n 4 + 4 n cũng là hợp số
Vậy với n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì n 4 + 4 n là hợp số.
b.(1điểm )

0,25

0,25

Đặt x=1+c, y=1+b, z=1+a do 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1 = >1 ≤ z ≤ y ≤ x ≤ 2
1
x

1
y

1
z

x x y y z z
+ + + + +
y z x z x y
 x  y 
x y x. y

=
+ =
+
z x
t
t
2t
2
2t
2
(2t − 1)(t − 2)
x z 5
≤0 ⇒ + ≤
Do 1 ≤ t ≤ 2 ⇒
2t
z x 2
5
⇒ A ≤ 3 + 2. + 2 = 10
2

Khi đó A= (x+y+z)( + + )=3+ 3 +

0,25

0,25

0,25

Ta thấy khi a=b=0 và c=1 thì A=10 nên giá trị lớn nhất của A là 10
0,25

c.(1,25điểm)
+ Ta có: MN và MP là 2 tiếp tuyến của (O), nên MNOP là tứ giác nội
tiếp đường tròn đường kính OM. Tâm là trung điểm H của OM. Suy ra
tam giác cân MPQ nội tiếp trong đường tròn đường kính OM, tâm là H.
+ Kẻ OE ⊥ AB , thì E là trung điểm của AB (cố định). Kẻ HL ⊥ (d ) thì
HL // OE,
1
2

nên HL là đường trung bình của tam giác OEM, suy ra: HL = OE
(không đổi).
+ Do đó, khi M đi động trên (d) thì H luôn cách dều (d) một đoạn không
đổi, nên H chạy trên đường thẳng (d') // (d) và (d') đi qua trung điểm của
đoạn OE.
a. .(0,5 điểm)
* Người thứ nhất lấy 3 viên bi còn 308 viên bi là bội số của 4
* Người thứ hai lấy 1, 2 hoặc 3 viên bi
5
* Nười thứ nhất lấy 3, 2 hoặc 1 viên số còn lại là bội của 4
(1điểm) * Cứ tiếp tục như vậy thì người lấy cuối cùng phải là người thứ nhất
b.(0,5 điểm)
Trang 5

0,25

0,25
0,25
0,25

0,5

2
:
2 10 − 2 2
3 −1

b) Tính giá trị của biểu thức M = x3 – 6x với x = 3 20 + 14 2 + 3 20 - 14 2
Bài 2 : (2,0 điểm)
a) Cho phương trình: x 2 − 6x − m = 0 (Với m là tham số). Tìm m để phương trình đã
cho có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn x12 − x2 2 = 12 .
1
1
9

x + y + x + y = 2

b) Giải hệ phương trình: 
 xy + 1 = 5

xy
2

Bài 3 : (2,0 điểm)
a) Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn .

x 2 − yz y 2 − zx z 2 − xy
=
=
a
b
c

c) Gọi (O1) và (O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp ∆ MPK và ∆ MQH. Gọi D là trung
điểm của BC; N là giao điểm thứ hai của (O1),(O2 ) Chứng minh rằng M,N,D thẳng
hàng.
Bài 5 ( 1,0 điểm)
Cho 100 số tự nhiên a1 , a2 ,..., a100 thỏa mãn điều kiện:
1
1
1
+
+ ... +
= 19
a1
a2
a100

Chứng minh rằng trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau.
----------------- HẾT-----------------

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 2)

Bài

Lớp 9 - Năm học 2015 - 2016
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Bài giải

Câu
a
1điểm

2
2

Đặt u = 3 20 + 14 2 ; v = 3 20 − 14 2
Ta có x = u + v và u 3 + v3 = 40
u.v = 3 (20 + 14 2)(20 − 14 2) = 2
Trang 7

0,5đ
0,5đ

0,25đ
0,25đ


BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1)

x = u + v ⇒ x3 = u 3 + v 3 + 3uv(u + v) = 40 + 6x
hay x3 − 6 x = 40 . Vậy M = 40

0,25đ
0,25đ

1
2điểm
a
1điểm

Để phương trình có nghiệm ∆/ ≥ 0 ⇔ m ≥ −9 (*)



Giải (2) ta được:
2
2điểm

 x1 + x2 = 6
 x1 + x2 = 6


 x1.x2 = − m ⇔  x1.x2 = − m ⇔
 2

2
 x1 − x2 = 12
 x1 − x2 = 2

 xy=2 (3)

 xy= 1 (4)

2

0,2đ
0,5®

0,2đ

0,25đ

0.25®

2
⇔
Từ (6)và(4) ta được: 
(thoả mãn ĐK)
1

 xy = 1
 x =

2

2
 y = 1


Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là:
 1 1 
( x; y ) = (1; 2), (2; 1), 1; ÷,  ;1 ÷
 2 2 

Trang 8

0,25đ

0,25đ


BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1)

a

0,5đ

b2
ac
= 2 2 3
=
4
2
2 2
y − 2 y xz + x z x z − x y − yz 3 + xy 2 z

b 2 − ac
(2)
y ( x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz )
Tuongtu :

c2
ab
= 2 2 3
=
4
2
2 2
Z − 2 xyz + x y x y − x z − y 3 z + xyz 2

c 2 − ab
(3)
z ( x3 + y 3 + z 3 − 3xyz )

0,25đ

)
z 2 82
z
x 2 82
x
1
9 9 9 1
81
S≥
(x + y + z + + + ) ≥
(x + y + z +
)
x y z
x+ y+ z
82
82

0,25đ
0,25đ
0,25đ

TT : y 2 +

=

1 
1
80 
(
x


E'

B

I

D

Trang 9
O

0,25đ

C


BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1)

H×nh vÏ
0,25
·
a) Chứng minh tia đối của tia MI là phân giác của HMK
Vì ∆ ABC cân tại A nên ·ABC = ·ACB
Gọi tia đối của tia MI là tia Mx
Ta có tứ giác BIMK và tứ giác CIMH nội tiếp

a
0,75điểm


= HCM
·
·
·
·
·
⇒ PIQ
= KIM
+ HIM
= KBM
+ HCM

4
3điểm
b
1,0iểm

1 ¼
·
·
Mà KBM
( cùng bằng sd BM
)
= ICM

2
1 ¼
·
·
( cùng bằng sdCM

( cùng bằng sd PM
)
⇒ MQP
= MIK
2
·
·
·
Mà MIK
( vì cùng bằng KBM
)
= MCI
·
·
⇒ PQ// BC
⇒ MQP
= MCI
S S

c Gọi E; E’lần lượt là giao điểm của NM với PQ và BC
Ta có PE2 = EM .EN ( vì ∆ PEM ∆ NEP )
QE2 = EM .EN ( vì ∆ QEM ∆ NEQ )
⇒ PE2 = QE2 ( vì PE;QE >0)
⇒ PE = QE
Xét ∆ MBC có PQ // BC ( c/m b) nên:
c
1,0điểm

EP
EQ

3
n
1
2
1
=


+
. Xét biểu thức P =
2
a + x − a − x 3b
b +1
a. Chứng minh P xác định. Rút gọn P.
b. Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Câu 2 (2 điểm)

Cho các số dương: a; b và x =

a. Giải phương trình

x
3x
−
− 2 = 0.
x2 − x − 2 x2 − 5x − 2

2
2
2 2
 x + y = 2 x y
b. Giải hệ phương trình 
2 2
( x + y )(1 + xy ) = 4 x y

Câu 3 (2 điểm)
Trang 11


+
.
nhất của biểu thức P =
a(2b + c) b(2a + c) c(a + b)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 2 

------------Hết----------

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 3)
Lớp 9 - Năm học 2015 - 2016
MÔN:TOÁN HỌC
(Hướng dẫn chấm gồm 2 trang)
* Mọi cách làm khác nếu đúng vẫn cho đủ số điểm theo biểu điểm ./.
Câu
1

Đáp án

Điể
m

a. (1 điểm)
a (b − 1)
Ta có: a; b; x > 0 ⇒ a + x > 0 (1) Xét a – x = 2
≥ 0 (2)
b +1
Ta có a + x > a – x ≥ 0 ⇒ a + x − a − x ≠ 0 (3)
Từ (1); (2); (3) ⇒ P xác định
2


a
(b + 1) 2
+ b −1 2
b +1
b +1 + 1 = b +1+ b −1 + 1
⇒ P=
3b b + 1 − b − 1 3b
a
a
(b + 1) 2
− b −1 2 +1
b +1
b
2
1
4
1 3b 2 + 1
⇒
⇒
+
=
Nếu 0 < b < 1
P=
Nếu b ≥ 1
P= b+
=
2b 3b 3b
3b
3b
b. (1 điểm)

 x ≠ 5 ± 33

2
Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình.
Khi x ≠ 0 thì
1
3
⇔
−
− 2 = 0.
2
2
Phương trình đã cho
x −1 −
x −5−
x
x
2
Đặt t = x − ,
x
1
3
−
=2
ta được phương trình biểu thị theo t là
t −1 t − 5
⇔ t 2 − 5t + 6 = 0 ⇔ t = 2; t = 3

Ta có: a + x = a +


2
3 ± 17
Với t = 3 ⇒ x − = 3 ⇔ x 2 − 3 x − 2 = 0 ⇔ x =
(thỏa mãn) Vậy
x
2
3 ± 17 

phương trình đã cho có tập nghiệm là S = 1 ± 3;
.
2 

b. (1 điểm)
Với x = y = 0 là nghiệm của hệ phương trình
Nhận thấy nếu x ≠ 0 thì y ≠ 0 và ngược lại
Xét x ≠ 0 ; y ≠ 0 hệ phương trình tương đương với
Với t = 2 ⇒ x −

1
1
1
1
(1)
 x2 + y2 = 2
 x2 + y2 = 2


⇔

( 1 + 1 )(1 + 1 ) = 4


0,25
0,25

(1)

( x + 2 y )M5 . Đặt x + 2 y = 5t (2) (t ∈ Z )

0,25

thì(1) trở thành x 2 + xy + y 2 = 7t (3).
Từ (2) ⇒ x = 5t − 2 y thay vào (3) ta được 3 y 2 − 15ty + 25t 2 − 7t = 0 (*),
coi đây là PT bậc hai đối với y có: ∆ = 84t − 75t 2
Để (*) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ 84t − 75t 2 ≥ 0

⇔0≤t≤

28
25

0,25

0,25

Vì t ∈ Z ⇒ t = 0 hoặc t = 1 . Thay vào (*) :
+ Với t = 0 ⇒ y1 = 0 ⇒ x1 = 0
 y2 = 3 ⇒ x2 = −1
+ Với t = 1 ⇒ 
 y3 = 2 ⇒ x3 = 1


chia hết cho q.
Gọi r là một ước chung của m 2 + 1 và m + 1 ⇒

0,25

[ (m + 1)(m − 1)] Mr ⇒ (m 2 − 1)Mr

⇒  (m 2 + 1) − (m 2 − 1)  Mr ⇒ 2Mr ⇒ r = 1 hoặc r = 2 .
+ ) r = 1 suy ra p + q = m + 1, pq = m 2 + 1 ⇒ p, q là hai nghiệm của
phương trình x 2 − (m + 1) x + m 2 + 1 = 0 vô nghiệm do

∆ = −3m 2 + 2m − 3 = −( m − 1) 2 − (2m 2 + 2) < 0
+ ) r = 2 suy ra 2 pq = m 2 + 1 và 2( p + q) = m + 1 ⇒ p, q là hai
nghiệm của phương trình 2 x 2 − ( m + 1) x + m 2 + 1 = 0 vô nghiệm do Vậy

0,25

0,25

bộ các số nguyên tố (p; q) cần tìm là ( p; q ) = (2;2); ( p; q) = (5;5).
M

A

O

P

D


AB AN
=
AN AC

⇒ AB . AC = AN2
Trang 15

0,25
0,5
0,25

0,25


BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1)

4
(3
điểm)

∆ANO vuông tại N đường cao NH nên AH . AO = AN 2
⇒ AB . AC = AH . AO
∆AHK đồng dạng với ∆AIO (g-g)

AH AK
=
⇒ AI ×AK = AH ×AO
AI AO
⇒ AI ×AK = AB.AC
AB ×AC


0,25

∆MHE

5
(1
điểm)

0,25

∆QDM

(g-g) ⇒

0,25
0,25

⇒ ME = 2 MP ⇒ P là trung điểm ME

0,25

c (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) 2(a 2 + b 2 )
a b  a b 
+
Từ: 2  + ÷+ c  2 + 2 ÷ = 6 ⇒ 6 =
a 
a 2b 2
ab
b a b

=
+
≥
a (2b + c ) b(2a + c) abc (2b + c ) abc (2a + c) 2abc (a + b + c )

=

( c(a + b) )

2

2abc(a + b + c)

và abc(a + b + c) = ab.bc + bc.ca + ab.ca ≤

(ab + bc + ca ) 2
3
2

 c ( a + b) 
2
÷
bc
ac
3  c (a + b) 
3
ab
⇒
+
≥ 

+
Có

2(1 + t ) 2 t  2(1 + t ) 2 t 3  3
6t (1 + t ) 2
3
2
(t − 2)(−7t − 22t − 12) 8
=
+
6t (1 + t ) 2
3

0,25

Mà
(t − 2)(−7t 2 − 22t − 12)
≥ 0 ∀t ∈ (0; 2]
6t (1 + t ) 2
⇒

(t − 2)(−7t 2 − 22t − 12) 8 8
1
+ ≥ ∀t ∈ (0; 2]
2
6t (1 + t )
3 3
2

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi t = 2 hay a = b = c.

= 28 − 4 x − 2 − y − 1
b) Giải phương trình :
x−2
y −1

Bài 2: ( 2,0 điểm)
a) Cho các phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 và px2 + qx + r = 0 có ít nhất một
nghiệm chung. Chứng minh rằng ta có hệ thức: ( pc - ar)2 = (pb - aq)(cq - rb)
x + y + z = 1

b) Giải hệ phương trình 

4
4
4
 x + y + z = xyz

Bài 3: (2,0 điểm)
a) Cho hai số nguyên dương a và b (a ≥ b) đều không chia hết cho 5. Chứng minh rằng
4
4
a - b chia hết cho 5.
b) Cho a, b ≥ 0 thỏa mãn :

a + b = 1 . Chứng minh rằng: ab(a + b)2 ≤

Dấu bằng xảy ra khi nào?
Bài 4: (3,0 điểm)

Trang 18

Cho dóy s 1,2,3,4,, 1997,1998. Hóy in vo trc mi s du + hoc - cho cú c
mt dóy tớnh cú kt qu l s t nhiờn bộ nht.
------------------------ Hết -------------------------

P N THI CHN HC SINH GII THNH PH( S 3)
Lp 9 - Nm hc 2015 - 2016
MễN: TON
(Hng dn chm gm 1 trang)
Chỳ ý:
- Thớ sinh lm theo cỏch khỏc nu ỳng thỡ cho im
-

im bi thi.10

Chỳ ý:
- Hng dn chm ny ch trỡnh by s lc mt cỏch gii, nu hc sinh lm cỏch khỏc m
ỳng thỡ vn cho im ti a.
- T chm trao i v thng nht im chi tit nhng khụng c vt quỏ s im dnh cho
cõu hoc phn ú
- im ton bi l tng s im cỏc phn ó chm v khụng lm trũn
ỏp ỏn

im

x + x +1

a) Với x > 0, x 1, rút gọn đợc:

x+ x



.

x +1

Trang 19

0,25 im


BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1)

b) Phương trình

36
x−2

+

4
y −1

= 28 − 4 x − 2 −

y − 1 (1)

có ĐKXĐ là : x > 2, y > 1
• Với điều kiện : x > 2, y > 1 ta có :
+ Phương trình (1) ⇔



(2)
(6 − 2 x − 2 ) 2 ≥ 0

2
(2 − y − 1) ≥ 0
+ Với x > 2, y > 1 ⇒ 
 x−2 > 0

 y −1 > 0
(6 − 2 x − 2 ) 2 = 0
Từ (2) và (3) ⇒ 
(2 − y − 1) 2 = 0
 x = 11
⇔
y = 5

0,25 điểm
(3)

Thử lại ta thấy x = 11và y = 5 là nghiệm của phương trình

0,25 điểm

Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (11, 5)
a) Giả sử xo là nghiệm chung của hai phương trình

0,25 điểm

=> ax2o + bxo + c = 0 (1) và px2o + qxo + r = 0 (2)

0,25 điểm
Trang 20


B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 1)

=> 2(x2y2 + y2z2 + x2z2) 2xyz(x+y+z) = 2xyz
=> x4 + y4 +z4 x2y2 + y2z2 + x2z2 xyz

0,25 im

Du ng thc xy ra x = y = z m x + y + z = 1 nờn x = y = z =
Bi 3:
(2,0
im)

1
3

0,25 im

a) Mt s nguyờn dng khụng chia ht cho 5 thỡ cú mt trong cỏc
0,25 im

dng:
x = 5q + 1; 5q + 2; 5q + 3; 5q + 4

0,25 im

=> x2 cú mt trong cỏc dng 5k + 1 hoc 5k + 4

4

2

Dấu = có a+b = 2 ab a = b = 1/4.
Hỡnh v
B

0,25 im

F
A

O

D

E
I
C

Bi 4:
(3,0
im)

a) p dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông vào tam giác OBA
vuông tại B và BE vuụng gúc OA, ta có;
OB2 =OE.OA
OE=


AB = OA − OB = 4 R − R = 3R
2

⇒ AB = R 3

2

2

2

2

2

Trong tam giác vuông BEO, ta có:
2

3R 2
R
EB = OB − OE = R −   =
4
2
R
⇒ EB =
3
2
Từ đó: BC=AB=AC= R 3
2


) nội tiếp trong tam giác BCD
2

Nhận xét : 1+2+3+4+…+1997+1998 = 1999.499 là một số lẻ do đó
không tồn tại cách đặt dấu cộng hoặc trừ để cho tổng của dãy tính
bằng 0. Thật vậy giả sử tồn tại một cách đặt sao cho kết quả là 0.
Gọi S(+) là tổng của các số trong dãy được điền dấu +
S(-) là tổng của các số trong dãy được điền dấu Ta có S(+) + S(-) = 0 => S(+) - S(-) + 2S(-) = 0
(1+2+3+4+…+1997+1998) +2S(-) = 0
=> 1999.499 +2S(-) = 0 vô lí vì 2S(-) là số chẵn
Gọi A là kết quả của dãy tính => A ≥ 1và do đó minA = 1
Ta có cách đặt dấu là 1 = (+1-2+3-4+…+997-998) -999+10001001+1002+...-1997+1998
1 = -499 + 500

Trang 22

0,25 điểm

0,25 điểm
0,25 điểm

0,25 điểm
0,25 điểm


BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1)

ĐỀ SỐ 5
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
LỚP 9 - Năm học 2015-2016

ïï x + xy + y = 3 + 4 2
î
Trang 23

x1 x2 18
+ = .
x2 x1 7


B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 1)

Cõu 3(2,0 im)

2016
+ b 2016 + c 2016 ) ( a 2012 + b 2012 + c 2012 ) , vi a, b, c l cỏc s nguyờn
a) Cho biu thc A = ( a
dng. Chng minh rng A chia ht cho 30.

b) Cho a,b,c l ba s dng . Chng minh rng :

1 1 1
1
1
1
+ + 3
+
+

a b c
a + 2b b + 2c c + 2a

Chú ý:
- Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa.
- Điểm bài thi là tổng điểm các phần không làm tròn.
Câu
1

Đáp án

Điểm

a. (1,0 điểm)
5 − 3 − 29 − 12 5 =

(

5 − 3−

2 5 −3

=

5 − 6−2 5

=

5−

=1

(