Tổng hợp công thức lượng giác & phương trình lượng giác cơ bản

GV: Lê Nam

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC TỔNG HỢP & CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CƠ BẢN
I.

Các công thức biến đổi.

1) Công thức cộng:
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
tan(a - b) =
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb
tan(a + b) =
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

2) Công thức nhân đôi :

 sin2x = 2sinxcosx
 cos2x = cos2x – sin2x
= 2cos2x - 1
= 1 – 2sin2x

 tan2x =
 cot2x =

2tanx
1 − tan 2 x


 x− y
2sin 
÷cos 
÷
 2 
 2 




sinx + siny =

sinx – siny =

 cosxcosy=
1
[ cos( x + y) + cos( x − y)]
2



cosx + cosy =

 sinxcosy=
1
[ Sin( x + y) + Sin ( x − y)]
2

 sinxsiny=
1

2 cos 
÷cos 
÷
 2 
 2 
 x+ y  x− y
−2sin 
÷sin 
÷
 2   2 
sin( x + y)
cos xcosy
sin( x − y )
cos xcosy
sin( x + y)
sin xsiny
sin( y − x)
sin xsiny

Biên soạn: Gv Lê Văn Nam – Lớp học BDVH Ngọc Nam tại Thái Nguyên– 0981.929.363Page 1


II.

Giá trị lượng giác của các góc(hay cung) có liên quan đặc biệt.

1) Cung đối nhau:




− x)
2

π
− x)
2
π
− x)
2

= cosx  cosx = sin (900 – x )
0

= sinx  sinx = cos (90 – x )
0

= cotx  cotx = tan (90 – x )

 cot



π
sin( + x) = cosx
2

 cos
 tan
(


(

t anx=

2

 cos

(

Công thức lượng giác cơ bản.

1

(π + x) = −
(π + x) = −
(π + x) =
(π + x) =

sinx
cosx

tanx
cotx

5) Cung hơn kém.

III.

c otx=

 cot

π
+ x)
2

π
+ x)
2
π
+ x)
2

=

=

=

 cosx = sin (900 + x )

− sinx

−cotx
−tanx

 - sinx = cos (900 + x )
 - cotx = tan (900 + x )
 - tanx = cotx (900 + x )





IV.

Kiến thức cơ bản

y = sinx

y = cosx

y = tanx
π
2

y = cotx

Tập xác
định

D=R

D=R

Tập giá
trị
Chu Kỳ
Tính
chẵn lẻ


 2


Đồng biến trên:
( −π + k2π ; k2π )

Đồng biến trên mỗi
khoảng:
 π

π
 − + kπ ; + kπ ÷
2
 2


Nghòch biến trên mỗi
( kπ ; π + kπ )
khoảng:

Sự biến
thiên

Nghòch biến trên:
π

3π
+ k2π ÷
 + k2π ;
2

+∞

y = sinx

0

y = tanx
–1

Bảng biến thiên
x

–π

y =cosx

–∞
x

π

y = cotx
–1

a

0
+∞

–∞

 x = π − α + k 2π


⇔ x=

* cosx = cos

α



( k ∈ Z)

α

+kπ ;

* cotx =cot

 x = α + k 2π ; k ∈ Z
 x = −α + k 2π


α

⇔ x=

α

( k ∈ Z)

*cosx =1

⇔ x = k 2π

*cosx =-1

với k

∈Z

⇔ x = π + k 2π

 x = arcsin a+k 2π
sin x = a ⇔ 
, k∈∈Z¢
x
=
π
−
arc
sin
a
+
k
2
π

k
 x = arc cosa +k 2π
cosx = a ⇔ 

π
cotx =1 ⇔x = +kπ, k ∈¢
4

cotx =0

⇔
x =

2


π

+ k π , k ∈¢ ∈ Z
k
4
tanx = 0 ⇔ x = kπ , k ∈k¢∈ Z
tanx = −1 ⇔ x = −

tanx =1 ⇔ x =


π
4

+ kπ , k ∈¢∈ Z
k

k

-45o

-30o

0

-

-

0

1

1

0

-

-

-

-1

30o

45o


||

-

-1

-

0

1

||

-

-1

-

0

cot

||

0

-



o

 180 
x(rad ) = 
.x ÷
 π 

o

π = 180

0

;

 Một số phương trình lượng giác thường gặp
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công
thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng
a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương
trình này ta đặt t bằng hàm số LG..(Chú ý điều kiện của t khi đặt t=sinx hoặc t=cosx)

2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là

a 2 + b2 ≥ c2

a

c
2

a 2 + b2

.

sin ( x + β ) =

2

hay

c
a + b2
2

= sin ϕ

3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).

.

cos x =

c
a 2 + b2



≤ 2

.