Bài tập về hệ số công suất
Bài 1 : Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, cuộn dây thuần cảm. Biết L = CR 2.
Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều ổn định, mạch có cùng hệ số công suất với
hai giá trị của tần số góc
mạch bằng
A.

2
13

.

1
2

B.

ω1 = 50π (rad / s)

.

C.

1
2

cosϕ =

và

ω2 = 200π (rad / s)

)
ω1C
ω2 C
mà ω1 ≠ ω2 nên

ω1 L −

1
1
1 1
1
= −(ω2 L −
) ⇒ (ω1 + ω2 ) L = ( + )
ω1C
ω2 C
C ω2 ω 2

⇒ LC =

1
(1)
ω1ω2

Theo bài ra L = CR2 (2)

L=
C=

R
R

được. Ở tần số

, hệ số công suất đạt cực đại

A. 0,874.
Giải:

. Ở tần số

f 3 = 90 Hz

cos ϕ = 0, 707

nhận giá trị

f 2 = 120 Hz

cos ϕ = 1

. Ở tần số
B. 0,486

, hệ số công suất của mạch bằng
C. 0,625

D. 0,781

, hệ số công suất



R
tanϕ3 =
=
=
=
=
2
2
1
120 90 − 60
5
25
25 106
2
2
2
cos
ϕ
90 120 − 60
9
81
81
81
3
tanϕ3 =
= ----> (tanϕ3)2 =
----->
= 1 + (tanϕ3)2 = 1 +
=
Suy ra : cosϕ 3 = 0,874. Chọn đáp án A

U 2R
=
R 2 + (Z L − Z C ) 2

U2
(Z − Z C ) 2
R+ L
R

P = I2R=
Với R = Rx + r = Rx + 70 ≥ 70Ω
1
1
=
=
2πfC 314.63,8.10 −6
ZL = 2πfL = 100Ω; ZC =
50Ω
3500
R
P = Pmax khi mẫu số y = R +
có giá tri nhỏ nhất với R ≥ 70Ω
Xét sụ phụ thuộc của y vào R:
3500
R2
Lấy đạo hàm y’ theo R ta có y’ = 1 ; y’ = 0 -----> R = 50 Ω
Khi R < 50 Ω thì nếu R tăng y giảm. ( vì y’ < 0)
Khi R > 50 Ω thì nếu R tăng thì y tăng’



Gọi U là điện áp hiệu dụng đặt vào hai dầu mạch
P1 = I12R
Pmax = Imax2R
P1 = 0,8Pmax ---->I12 = 0,8Imax2
U2
0,8U 2
=
R 2 + ( Z L1 − Z C1 ) 2
R2
---->
----> 0,8(ZL1 – ZC1)2 = 0,2R2
2
2
0,8 (ZL1- 4ZL) = 7,2ZL1 = 0,2R2 -----> ZL1 = R/6 và ZC1 = 2R/3
Hệ số công suất của mạch khi f3 = 3f1
ZL3 = 3ZL1 = R/2
ZC3 = ZC1/3 = 2R/9
R
1
=
= 0,9635
R
2
R 2R 2
5
2
R +( −
)
1+ 2
R 2 + (Z L3 − Z C 3 ) 2

.
C.
và
.
D. . và
•B
R
L,r
A


M
•
Giải:
U 2R
=
( R + r ) 2 + Z L2

U2
r 2 + Z L2
R+
+ 2r
R

PR = I2R =
PR = PRmax khi mẫu số = min ----> R2 = r2 +ZL2 --------> r2 +ZL2 = 802 = 6400
r
r
=
2

=
40n
(r + R ) 2 + Z L2
120 4
cosϕ AB =
=
Chọn đáp án D.
Bài 6 : Cho đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM nt với MB. Biết đoạn AM gồm R nt với C và MB có
2
cuộn cảm có độ tự cảm L và điện trở r. Đặt vào AB một điện áp xoay chiều u = U
cosωt (v). Biết R =
L
3
C
r=
, điện áp hiệu dụng giữa hai đầu MB lớn gấp n =
điện áp hai đầu AM. Hệ số công suất của
đoạn mạch có giá trị là
A.0,887
B. 0,755
C.0,866
D. 0,975
UC
UL
Q UAM
ϕ F
O
UMB P
U
E

2
2
U AM
+ U MB
= 2U R2 + U L2 + U C2 = I 2 (2 R 2 + Z L2 + Z C2 )
OP2 + OQ2 =
(2)
Từ (1) và (2) ta thấy PQ2 = OP2 + OQ2 ------> tam giác OPQ vuông tại O
3
Từ UMB = nUAM =
UAM
U AM
1
=
U MB
3
tan(∠POE) =
------> ∠POE = 300. Tứ giác OPEQ là hình chữ nhật
∠OQE = 600 ------> ∠QOE = 300
Do đó góc lệch pha giữa u và i trong mạch: ϕ = 900 – 600 = 300
3
= 0,866
2
Vì vậy cosϕ = cos300 =
. Chọn đáp án C
Cách khác:
R
C
B
A

3ZL4 + 2R2ZL2 – R4 = 0 ---> ZL2 =

R2
3

( R + r ) 2 + (Z L − Z C ) 2
Tổng trở Z =

cosϕ =

R+r
Z

R
3

3
--> ZL =
4R

và ZC = R

(***)

3
=

2R
4R
3

------> 6,25ZC1ZL = R2 +ZL2
---> 6,25( ZL- R) ZL = R2 +ZL2 -----> 5,25ZL2 - 6,25RZL – R2 = 0
4R
3
--------> 21ZL2 - 25RZL – 4R2 = 0 ------> ZL =
16 R 2
R2 +
9
R 2 + Z L2
4R
25R
ZL
3
12
ZC2 =
=
=
------>
R
R
4 R 25R 2
R2 + (
−
)
Z2
3
12
cosϕ2 =
=
= 0,8. Chọn đáp án C

R


L,r
A
M
•
Giải:
U 2R
=
( R + r ) 2 + Z L2

U2
r 2 + Z L2
R+
+ 2r
R

PR = I2R =
PR = PRmax khi mẫu số = min ----> R2 = r2 +ZL2 --------> r2 +ZL2 = 802 = 6400
r
r
=
2
2
r + Z L 80
Ta có: cosϕMB =

r+R
(r + R ) 2 + Z L2

cosϕ AB =
=
1
3
8
4
Chọn đáp án D: cosϕ MB = ; cosϕ AB =
Bài 9: Đặt điện áp u = Uocosωt ( Uovà ω không đổi) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm có biến
3
3
trở R, tụ điện có dung kháng 80
Ω, cuộn cảm có điện trở thuần 30 Ω và cảm kháng 50
Ω. Khi điều
chỉnh trị số của biến trở R để công suất tiêu thụ trên biến trở cực đại thì hệ số công suất của đoạn mạch
bằng
1
2
3
3
2
7
7
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.

3
2

Hệ số công suất: cosϕ =
=
Chọn đáp án B
B
A
M
Bài 10: Cho mạch điện AB gồm hai đoạn mạch AM nối tiếp với MB, trong đó AM gồm điện trở R nối
tiếp với tụ điện có điện dung C, MB có cuộn cảm có độ tự cảm L. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện
2
áp xoay chiều u = U
cosωt. Biết uAM vuông pha với uMB với mọi tần số ω. Khi mạch có cộng hưởng
điện với tần số ω0 thì UAM = UMB . Khi ω = ω1 thì uAM trễ pha một góc α1 đối với uAB và UAM = U1 . Khi ω
π
3
2
4
= ω2 thì uAM trễ pha một góc α2 đối với uAB và UAM = U1’. Biết α1 + α2 =
và U1 = U’1 . Xác định hệ
số công suất của mạch ứng với ω1 và ω2
A. cosϕ = 0,75; cosϕ’ = 0,75.
B.cosϕ = 0,45; cosϕ’ = 0,75
C. cosϕ = 0,75; cosϕ’ = 0,45
D. cosϕ = 0,96; cosϕ’ = 0,96
Giải:

− ZC
R

2
U’1 = Ucosα2 = Usinα1 (**) ( do α1 + α2 =
)


U '1
U1

4
3

4
3

Từ (*) và (**) Suy ra: tanα1 =
= ------> UMB = UAM tanα1 = U1
Hai tam giác vuông EAM và FBM đồng dạng ( vì có ∠ MAE = ∠ MBF = ϕAM cùng phụ với ϕMB )
Từ đó suy ra:
ϕMB
Ur = UR F
A
UL
UC
UR
E
α2
B
M
U1
UC

25
12
------> U =

cosϕ =

2U R
U

+

=2

+

+

=

UR
24
25
=
= 0,96

Tương tự ta có kết quả đối với trường hợp ω2

U1 = Ucosα1 = Usinα2
U’1 = Ucosα2 = (**)


4
4
=
=
=
= -------> UC = UR (1); UL = UR (2)
625
25
2
2
2
2
2
2
2
U
U AB
U ' AM U ' MB
UR UL
C
144 U R
12
= U2 =
+
=2
+
+
=
------> U =
UR

UC2 = Ucmax -------> ZC2 =
------> 6,25ZC1ZL = R2 +ZL2
2
2
---> 6,25( ZL- R) ZL = R +ZL -----> 5,25ZL2 - 6,25RZL – R2 = 0
4R
3
--------> 21ZL2 - 25RZL – 4R2 = 0 ------> ZL =
16 R 2
R2 +
9
R 2 + Z L2
4R
25R
ZL
3
12
ZC2 =
=
=
------>
R
R
4 R 25R 2
R2 + (
−
)
Z2
3
12


cosϕ 2

1
2
, cosϕ 2 =
3
5

B.

1
2
, cosϕ 2 =
5
5

C.
.
Giải:
R
C
Gọi U là điện áp hiêu dung đặt vào
hai đầu đoạn mạch

và

cosϕ 2

1


;
. Biết


U 2 = U R21 + U C21 = U R2 2 + U C2 2

Ta có:

1
U R21 + U C21 = U R2 2 + U C2 2 = 4U R21 + U C21
4

Suy ra

U
Z
3
3U R21 = U C21 ⇒ U R1 = C1 ⇒ R1 = C
4
2
2

R1
=
Z1

R1
R12 + Z c2


R2
R22 + Z c2

=

2Z C
4Z C2 + Z C2

=

2
5

cosϕ2 =
Chọn đáp án C
Ta có thể tính cosϕ 2 = 2cosϕ 1 dự theo công thức
U R1
U R2
U
U
cosϕ1 =
và cosϕ2 =
. mà UR2 = 2UR1 ----->cosϕ2 = 2cosϕ1 .
Bài 13. Mạch R-L-C nối tiếp gồm điện trở R,Cuộn cảm (L,r) và tụC.Khi hiệu điên thế 2 đầu đoạn mạch
là u = 65can2(wt) thì các điện áp hiệu dụng trên điện trở và cuộn dây đều bằng 13V.còn điện áp trên tụ
là 65V,công suất tiêu thụ trên toàn mạch là 25W.Hệ sốcông suất của mạch là
A.3/13
B.5/13
C.10/13
D.12/13

ω 22
Khi f = f2 = 60Hz trong mạch có cộng hưởng :------> LC =
R
1
1
2
2
R + ( Z L1 − Z C1 )
ω1C
2
2
2
cosϕ1 =
= .-----> 4R = R + (ω1L )2
ω12
(
− 1) 2
(ω12 LC − 1) 2
(ω12 − ω 22 ) 2
ω 22
1
ω1C
ω12 C 2
ω12 C 2
ω12ω 24 C 2
-------> (ω1L )2 = 3R2 ----->
=
=
= 3R2
3ω12ω 24 C 2

R2
R2
Xét biểu thức: A =
=
=
=
Thay (*) ta có
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 4 2
2
2
2
2 2
(ω 3 − ω 2 ) 3ω1 ω 2 C
ω1 (ω 3 − ω 2 )
f1 ( f 3 − f 2 )
30 2 (90 − 60 )
2
2 2
ω 24ω 32 C 2 (ω12 − ω 22 ) 2
ω 32 (ω12 − ω 22 ) 2
f 32 ( f 12 − f 22 ) 2
90 2 (30 − 60 )
A=
=3


U R1
U R2
=

là:

3
4

biết rằng sự liên hệ:

A. 1

------> UR2 =

16
9

B.

UR1 (*)

3
2
C. 0,49

U C1
và


U R21

U C21

U R21

U C21

U2 =
+
16
2
2
9 U R1 U R1
( )2
-

U2 =

cosϕ1 =

+
U R1
U

=

9
16


16
2
U
9
9
R1
= [(1 + ( )2]
--------> U =
UR1
9
9 2 + 16 2

= 0,49026 = 0,49. Chọn đáp án C