Chuyên đề khảo sát hàm số

ÔN TẬP TỐT NGHIỆP 2016
Chủ đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan.
Tiết 1: Hàm số bậc 3 ( khảo sát, vẽ đồ thị và biện luận nghiệm).
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN & VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1. Tập xác định của hàm số
2. Sự biến thiên
 Tìm giới hạn  tiệm cận (nếu có)
 Tính đạo hàm y’. Giải phương trình y’ = 0
 Lập bảng biến thiên
 Kết luận về đồng biến - nghịch biến và cực trị.
3. Đồ thị: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu dễ), tìm thêm vài điểm đặc
biệt rồi vẽ đồ thị
SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐƯỜNG
Cho hai đường cong (C1): y = f (x) và (C2): y = g (x) .
Ph.trình: f (x) = g (x) (*) gọi là ph.trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2).
Số nghiệm ph.trình (*) chính là số giao điểm của (C1 ) và (C2).
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PH.TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Dùng đồ thị ( C ) của hàm số y = f(x), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình F (x,m )
=0
B1)
Biến đổi ph.trình F(x,m ) = 0 Û f (x)=g(m) (*)
B2)
Pt (*) là ph.trình hoành độ giao điểm của (C): y = f (x) và đ.thẳng d: y = g
(m) Þ Số nghiệm ph.trình đã cho chính là số giao điểm của (C) và d.
B3)
Dựa vào đồ thị (C) để biện luận (Lưu ý các giá trị cực trị ( nếu có) của hàm
số).
Ví dụ1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) y = x 3 + 3x 2 – 4 .(C )

Bảng biến thiên:
Gv Phạm Minh Tứ

0968.469.299


Chuyên đề khảo sát hàm số

Hàm số đồng biến trên (- ¥ ; - 2); (0; + ¥ ), nghịch biến trên (- 2; 0)
Hàm số đạt cực đại tại x = - 2; yCD = 0 , đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = - 4
Điểm đặc biệt:
Điểm uốn: y '' = 6x + 6;

(

Þ I - 1; - 2

x
y

-3
-4

-2
0

y '' = 0 Û 6x + 6 = 0 Û x = - 1 Þ y = - 2

)
-1

biệt.
Giải:
a. Học sinh tự làm.
b. Xét phương trình : x3  6 x 2  9 x  m  0  m  2   x3  6 x 2  9 x  2 (1)
Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của đồ thị ( C) và đường thẳng (d) y = m +2
Để phương trình (1 ) có 3 nghiệm phân biệt  2  m  2  2  4  m  0 .
Tiết 2:

Hàm số bậc 4.

Hàm số trùng phương: y  ax 4  bx 2  c (a  0) :
 Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
I. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số y  x 4  2 x 2  3 .
a. Khảo sát và vẽ (C ).
b. Dựa vào (C ) biện luận theo m số nghiệm của pt:  x 4  2 x3  m  0 .
Giải:
Tập xác định:
D = ¡

y’ = 4x 3 - 4x ;

(

)

y’ = 0 Û 4x 3 - 4x = 0 Û x 4x 2 – 4 = 0 Û x = 0; x = 1; x = - 1

Giới hạn: lim y = + ¥ ; lim y = + ¥
x® + ¥

1
-4

-2
5

Nhận xét: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
b.Xét pt:  x4  2 x2  m  0  m  3  x 4  2 x 2  3 (1)
Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của đồ thị ( C) và đường thẳng (d) y = m -3.
Nếu m  3  4  m  1 (1)vô nghiệm.
 m  3  4

 m  1

Nếu 
pt(1) có 2 nghiệm.

 m  3  3
m  0
Nếu m  3  3  m  0 pt(1)có 3 nghiệm.
Nếu 4  m  3  3  1  m  0 pt (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2: Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 – 2.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình – x4 + 2x2 – m2 – 1 = 0 có 4 nghiệm phân
biệt.
Giải:
a. Học sinh tự làm.
b. Xét pt:  x4  2 x2  m2  1  0   x4  2 x 2  2  m2  1 (1) .
Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của đồ thị ( C) và đường thẳng (d) y = m 2  1 .
Dựa vào đồ thị ý a pt (1) có 4 nghiệm phân biệt  2  m2  1  1  1  m2  0 (vl).

Hàm số không có cực trị
Điểm đặc biệt
-3
-2
-1
-5/2
-4
||
Đồ thị:

-1

0
2

1
1/2

Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận I (- 1; - 1) làm tâm đối xứng.
b. Hoành độ giao điểm của (C ) và d là nghiệm của pt:
Gv Phạm Minh Tứ

0968.469.299


Chuyên đề khảo sát hàm số

x  2
 mx  2m  1
x 1

x- 1

a. Khảo sát và vẽ (C )
b. Tìm m để đường thẳng (d):

cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Lời giải

y = - x + m

2x - 1
= -x+m
x- 1
Điều kiện: x ¹ 1 . Khi đó: (1) Û 2x - 1 = (- x + m )(x - 1)

Phương trình hoành độ giao điểm:
Û

(1)

x 2 - (m - 1)x + m - 1 = 0

(2)
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt Û (1) có hai nghiệm phân biệt
2
ìï
ïï D = é- (m - 1)ù - 4 (m - 1) > 0
ê
ú
ë


(2)
(d) cắt (C m )tại hai điểm phân biệt A, B Û (1) có hai nghiệm phân biệt

Gv Phạm Minh Tứ

0968.469.299


Chuyờn kho sỏt hm s
2
ỡù
ùù D = ộ- (m - 3)ự + 8 > 0
ỳ
ởờ
ỷ
(2) cú hai nghim phõn bit khỏc - 2 ớ
ùù 8 + 2m - 6 - 1 ạ 0
ùợ
1
(*)
m ạ 2
t A (x 1;2x 1 - 1); B (x 2 ;2x 2 - 1) vi x 1, x 2 l hai nghim ca phng trỡnh (2).

ỡù
ùù x + x = m - 3
2
ù 1
2
ớ

2
ộ
ự
10 5 ờ(x 1 + x 2 ) - 4x 1x 2 ỳ= 10
ờở
ỳ
ỷ

[tha món (*)]

m = 3.

Tit 4. Phng trỡnh tip tuyn .
I. Kin thc c bn:
1. Tip tuyn ca hm s (C) y = f(x) ti im x0 (C).
B1: Vi x0 (C) f(x0)
B2: Tỡm h s gúc tip tuyn ca (C) ti x0 : f ' ( x0 )
B3: Phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti x0 cú dng : y f ' ( x0 )( x x0 ) f ( x0 )
2. Tip tuyn ca hm s (C) y = f(x) khi bit h s gúc k.
B1: Gi im M(x0; y0) (C) H s gúc tip tuyn ca (C) ti x0: f ' ( x0 )
B2: Vỡ tip tuyn cú h s gúc k f ' ( x0 ) = k, gii pt tỡm x0 f(x0)
B3: Phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti x0 cú dng : y f ' ( x0 )( x x0 ) f ( x0 )
Chỳ ý: + Nu tip tuyn song song ng thng: y = kx + m thỡ cú h s gúc f ' ( x0 ) =
k
+ Nu tip tuyn vuụng gúc ng thng: y = kx + m thỡ cú h s gúc f ' ( x0 ) .k = - 1
+ Nu tip tuyn to vi trc 0x mt gúc thỡ cú h s gúc f ' ( x0 ) = | tan | .
Gv Phm Minh T

0968.469.299



Khi đó: (1) Û - 2x + 3 = (x - 3)(x - 1) Û x 2 - 2x = 0 Û êê
êx = 2
ë

Suy ra tọa độ các giao điểm là A (0; - 3), B (2; - 1)
Ta có: y ' =

- 1
2

(x - 1)

Phương trình tiếp tuyến tại A là y = y '(0)(x - 0) - 3 Û y = - x - 3
Phương trình tiếp tuyến tại B là y = y '(2)(x - 2) - 1 Û y = - x + 1
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y = - x - 3 và y = - x + 1
Ví dụ 2: Cho hàm số y =

2x + 1
có đồ thị là (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) ,
x- 2

biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5 .
Lời giải
Gọi M (x 0 ; y 0 ) Î (C ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)
Ta có: y ' =

- 5
2


Lời giải
2

Ta có: y ' = 3x - 6x
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng (D ) nên hệ số góc của tiếp tuyến là
Gọi M (x 0 ; y 0 ) Î (C ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)
Hệ số góc của tiếp tuyến

k = 9

éx = - 1

k = 9

Û y '(x 0 ) = 9 Û 3x 02 - 6x 0 - 9 = 0 Û êê 0
êx 0 = 3

ë

Với x 0 = - 1 Þ y 0 = - 2 : M 1(- 1; - 2) Þ pttt: y = 9 x + 7
Þ y0 = 2

Với x 0 = 3

: M 2 (3;2)

Þ

pttt: (D ) (loại)



k = 1

2

(x 0 + 2)

= 4

éx + 2 = 2
éx = 0
Û êê 0
êëx 0 + 2 = - 2
êëx 0 = - 4
Þ y 0 = - 1 : M 1(0; - 1) Þ pttt: y = x + 1
0
Û ê
ê

Với x 0 = 0
Với x 0 = - 4 Þ y 0 = 3 : M 2 (- 4; 3) Þ pttt: y = x + 7
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y = x + 1 và y = x + 7

Ví dụ 5: Lập phương trình tiếp tuyến của (C): y = f (x ) = x 3 – 3x + 2 biết rằng tiếp tuyến
đi qua A (2; –4)
Lời giải
Gọi M (x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm .
Ta có y 0 = x 03 – 3x 0 + 2

Gv Phạm Minh Tứ


Kiến thức cơ bản:

1. Xác định tham số để hàm số đạt cực trị tại x = a.
+ Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = a  f / (a)  0 và chứng minh f // (a)  0
+ Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = a  f / (a)  0 và chứng minh f // (a)  0
 f / ( x0 )  0

+ Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0 , y0  

 f ( x0 )  y0

và chứng minh f // ( x0 )  0

2. Xác định tham số để hàm số có cực trị
 Với hàm số bậc ba đạo hàm là một tam thức bậc hai : f ’(x) = Ax2 + Bx + C, (A  0).

+ Hàm số f(x) đạt một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ khi phương trình f ’(x) = 0 có
hai
nghiệm phân biệt  A  0,   0
+ Hàm số f(x) không có cực trị khi và chỉ khi phương trình f ’(x) = 0 có nghiệm kép
hoặc vô
nghiệm    0
 Với hàm số trùng phương, ta có y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) ,

x  0
y/  0  
2
2ax  b  0 (1)


)

m để hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2 .

Lời giải
Tập xác định:

(

)

. Đạo hàm: y ' = x + 2 m 2 - m + 2 x + 3m 2 + 1
2

D = ¡

Điều kiện cần:
Hàm số đạt cực tiểu tại

y '(- 2) = 0 Û

x = - 2 Þ

ém = 1

- m 2 + 4m - 3 = 0 Û êê
êm = 3

ë



không thỏa.

éx = - 14
ta có: y ' = x 2 + 16x + 28 , y ' = 0 Û êê
êëx = - 2

Bảng biến thiên
x

- ¥

- 2

- 14

+¥

y'

+

0

-

0

+


D = ¡

Lời giải
. Đạo hàm: y ' = (m 2 - 1)x 2 + 2(m + 1)x + 3

2

y ' = 0 Û (m - 1)x 2 + 2(m + 1)x + 3 = 0

Hàm số có hai điểm cực trị Û y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt Û
ìï m 2 - 1 ¹ 0
ïï
í
ïï D ' = (m + 1)2 - 3(m 2 - 1) > 0
ïî
ìï m ¹ ± 1
ìï m ¹ ± 1
ìï m ¹ 1
ï
ï
Û ïí
Û í
Û í
2
ïï - 2m + 2m + 4 > 0
ïï - 1 < m < 2
ïï - 1 < m < 2
î
î
ïî

ïï
ïï ém < - 3
ém < - 3
ï
2
ê
Û í D ' = - 2m (m - 9) > 0 Û ïí ê
Û
ê0 < m < 3
ïï êê0 < m < 3
ïï
êë
ïï ë
ïï m 2 - 9 ¹ 0
ïî
ïïî m ¹ 3
ém < - 3
Vậy giá trị m cần tìm là êê
.
êë0 < m < 3

Tiết 6. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.
I. Kiến thức cơ bản.
Định lí : Cho hàm số y = f (x ) xác định trên khoảng K .
 f (x ) đồng biến trên K Û f '(x ) ³ 0, " x Î K .
 f (x ) nghịch biến trên K Û f ' (x ) £ 0, " x Î K .
(chỉ xét trường hợp f '(x ) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng

Gv Phạm Minh Tứ

0 Û x > -

3
, suy ra m = 1 không thỏa.
4

ìï m ¹ 0
Trường hợp 2: Xét m 2 - m ¹ 0 Û ïí
, khi đó:

ïï m ¹ 1
î
ìï D ' = m 2 + 3m £ 0
ìï D ' £ 0
ï
ï
y ' ³ 0 "x Î ¡ Û í
Û ïí 2
ïï a > 0
ïm - m > 0
î
ïîï
ìï - 3 £ m £ 0
Û ïí
Û - 3£ m < 0
ïï m < 0 Ú m > 1
î

0, "x Î

(3; + ¥ )



II.

Ví dụ1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

x
4 + x2

trên khoảng

(0;+ ¥ )
Lời giải
Tập xác định

D = ¡

. Đạo hàm: y ' =

4 - x2

éx = 2 (n )
.
y ' = 0 Û êê
2

(4 + x )
2

êëx = - 2 (l )


4

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

x+1

trên đoạn

2

x +1
[- 1;2] .

Lời giải.
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [- 1;2] .Ta có y ’ =

1- x
2

(x + 1)

.
3

y ' = 0 Û x = 1 Î [- 1;2]

3 5
5

f (- 1) = 0; f (1) =