HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4
1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1
a. Công thức:
TH1. Đường cong C có PT tham số: x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b
2

2

2

2

 dx   dy 
 dx   dy 
C f (x, y)ds  a f (x, y)  dt    dt  dt trong đó: ds   dt    dt  dt
b

TH2: Đường cong C có PT: y = y(x); a ≤ x ≤ b
b

2
 f (x, y)ds   f (x, y(x)) 1  y ' (x)dx
C

a

Ví dụ 1:Tính  (2  x 2 y)ds , trong đó C là nửa trên đường tròn đơn vị x2 + y2 = 1
C

Phương trình tham số của C là: x = cost, y = sint, 0  t   (do lấy nửa trên đường tròn)
Áp dụng công thức, ta được:


Cn

Ví dụ 2: Tính  2xds trong đó C gồm cung C1 của parabol y = x2 từ (0,0) tới (1,1) và
C

cung C2 là đoạn thẳng nối (1,1) tới (1,2).
Ta có:  2xds   2xds   2xds
C

C1

C2

Phương trình tham số của C1: x = x, y = x2, x [0,1]
1

Do đó:

2
 2xds   2x 1  4x dx 

C1

0

5 5 1
6
2



Ví dụ 1: Tính  y sin zds trong đó C là đường: x  cos t, y  sin t, z  t,0  t  2
C
2

2

Lời giải:  y sin zds   sin t.sin t. sin t  cos t  1dt  2  sin 2 tdt  2
2

C

2

0

0

Ví dụ 2: Tính  ydx  zdy  xdz trong đó C gồm đoạn thẳng C1 từ (2,0,0) tới (3,4,5) và
C

đoạn thẳng C2 từ (3,4,5) tới (3,4,0).
Lời giải:
Phương trình tham số của C1: x  2  t, y  4t, z  5t,0  t  1
1

Do đó :  ydx  zdy  xdz   (4t)dt  (5t)4dt  (2  t)5dt  24,5
C

0


1

 xds, yG 
AB

với

là độ dài cung AB:

1

 yds, z G 
AB

1

 zds;
AB

  ds
AB

2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2.
a. Công thức:
TH1: Đường cong AB có PT: y = y(x); x: a → b
b

 P(x, y)dx  Q(x, y)dy    P(x, y(x))  Q(x, y(x))y '(x)  dx
AB

C1

0

0

5
6

(b) Phương trình của parabol là: x  4  y , y  y, 3  y  2
2

2

2

 y dx  xdy   y (2y)dy  (4  y )dy   (2y

Vậy dx = -2ydy nên

2

2

2

3

C2


= 2y,
y

Q(x, y) = x + 2xy + (y) 

Q
= 1 + 2y.
x

 Q P 
  dxdy =  dxdy =  (diện tích hình tròn).
y 
D  x
D

AD công thức Green ta có I =  
3. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1
a. Công thức:

Giả sử S = {(x, y, z): (x, y)  D, z = z(x, y)}.
2
2
 f (x, y, z)dS   f (x, y, z(x, y)) 1  z x ' (x, y)  z y ' (x, y)dxdy
S

D

Ví dụ. Tính I =  z 2 (x 2  y2 )dS với S là một phần tư mặt cầu
S


 z '2
= a a 2  x 2  y 2 (x2 + y2);
x
y

dxdy

dS  1  z'2
 z'2
dxdy 
x
y

a 2  x 2  y2

Trên S2 thì z = – a 2  x 2  y 2 , z2(x2 + y2) 1  z '2x  z '2y = a a 2  x 2  y 2 (x2 + y2);
dxdy

dS  1  z'2
 z'2
dxdy 
x
y

a  x 2  y2
2

Vậy I1 =  z 2 (x 2  y2 )dS =  z 2 (x 2  y2 )dS = I2.
S1


a = a .
2 15
15

b. Ứng dụng của tích phân mặt loại 1
a) Tính khối lượng của mặt cong
Nếu mặt S có khối lượng riêng tại M(x, y, z) là (x, y, z) thì khối lượng của mặt S là
m =  (x, y, z)dS .
S

Đặc biệt, diện tích của mặt S là  dS .
S

b) Trọng tâm của mặt
Các toạ độ trọng tâm G của mặt S có khối lượng riêng tại M là (M) được tính theo
công thức:
xG =

1
1
1
 x(M)dS , yG =  y(M)dS , zG =  z(M)dS , m =  (M)dS .
mS
mS
mS
S

Ví dụ 1. Tính diện tích phần của paraboloid z = x2 + y2 nằm phía dưới mặt phẳng z = 9.
Lời giải



( ) (

)

|

(

)

√

Ví dụ 2: Xác định tọa độ trọng tâm của mặt paraboloid
)
khối lượng riêng (
.

, biết

√

Lời giải:
Hình chiếu D:
Khối lượng:
∬

∬

√


 R(x, y, z)dxdy = –  R(x, y, f (x, y))dxdy nếu ( n , Oz) là góc tù.
S

S

Các tích phân  P( x, y,z )dydz và  Q( x, y,z )dzdx cũng được tính tương tự.
S

S

Chú ý:
Tích phân (1) là thông lượng của trường vectơ F  P(x, y, z)i  Q(x, y, z) j  R(x, y, z)k
qua mặt cong S.
Ví dụ 1: Tính I =  x dydz +  y dzdx +  z dxdy = Ix + Iy + Iz, với S là mặt phía ngoài
S

2

2

S

2

S

2

của mặt cầu x + y + z = R .

 R  x  y dxdy =  d  R  r rdr =

D

2
2
R3  I = 6 R3 = 4R3.
3
3


b. Công thức Ostrogradsky
Giả sử V là miền giới nội trong R3 với biên là mặt kín S trơn từng mảnh. Khi đó ta có công
thức Ostrogradsky, ở đây tích phân mặt lấy theo phía ngoài của S

 (
V

P Q R


)dxdydz   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy
x y z
S



Ví dụ. Tính thông lượng  của F  xyi  y 2  e xz

2

y

2

=

3 1 1x
11 2
184
2
3
.
dx
(2

z)
dz



 [(x 1)  8]dx 
2 1
2 1
35
0

x

z = 1 – x2