HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

HTTP://THAYHUY.NET

Giáo viên : LÊ ANH

1


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II, MÔN TOÁN LỚP 11
A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN
1/ Chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0.
Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un| ≤ vn, n và lim vn = 0 thì limun = 0
Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0: lim

-

1
n

 0 , lim

1

L0





L0
L>0
L
x x0

1
f  x

0

lim f ( x) lim g ( x) Dấu của
x x 0
g(x)

lim f ( x).g ( x)

x x 0

x x0

+∞
-∞
-∞

L>0
L0
0
L

x  x0

2. Nếu h/s f(x) x/đ tại điểm x0 thì lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0

1
3. lim n  0
x  x0 x

(với n > 0)

- Khử dạng vô định

0 
; ;  ; 0 x ∞
0 

Ghi chú:
2


HTTP://THAYHUY.NET
* Nếu PT f(x) = 0 có nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)
* Liên hợp của biểu thức:
1. a  b là a  b
2. a  b là
3

2


2

a  3 a .b  b 2

 3n  4 n  1 
4/ lim 
n
n 
 2.4  2 



Giải:
1/ lim 3

8n 2  3n
3
 lim 3 8   3 8  2
2
n
n





2n

3/ lim n  1  n 2  1  lim

4
4
4/ lim 
=lim  

n
n 
n
2
 2.4  2 
1
2 
 2

3 1
2  2
2n 2  3n  1
n n  2  2
2/ lim
 lim
2
n 2  2
1
1  2
n

3/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp giải: Sử dụng công thức: S 

u1

Bài 1: Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0:
a ) un 
e ) un 

 1

n

2

2n  1

 1

b) un 

n

n 1

sin 2n
n 1
n

f ) un 

2
3 1

g ) un 

3) lim



d ) un 

1
5n1

n n 1

h) un  n  1  n

n 3  2n
1  3n 2

4) lim

n 2  3n 3
2n 3  5n  2

2n 3  4n 2  3n  3
n 3  5n  7
n
4  5n
10) lim n
2  3.5n

6) lim ( n  1  n )


3n  2.5n
3n  4n  1
g
)
lim
3.5n  4n
2.4n  2n
1
1
1
1
i) lim un với un 


 ... 
1.2 2.3 3.4
n  n  1
4n 2  n  1
1  2n

e) lim

f ) lim

ĐS: a) -3 b) + c) 0 d) -3/25

e) -1

f) -2/3 g) -1/2







b) lim(2n4  n2  n  3)

c) lim 3n 2  n sin 2n d ) lim 3n2  n  1

f ) lim 3n 2  1  2n

 n  n  n
l ) lim  n  3n  n  m) lim  n  n  n 

k ) lim n
d) +



n 1  n

e) - 

g ) lim n 2  1  n



2

f) - 

,  , ,...,
3 9 27
3n

2/ S = 1 

2
2
2

 ... 
 ...
2
100 100
100 n

n 1

,...

Bài 6: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:
n1

1 1 1
 1
a) 1,  , ,  ,...,    ,...
2 4 8
 2
ĐS: a) 2/3
b) 3/2


1 1

10, lim 
 1
x0 x  x  1

x3
12, lim x 2  x  x 2  1
13, lim 2
x 1 x  2 x  3
x 
3
( x  3)  27
x22
15, lim
16, lim
x 2
x 0
x
x  7 3

Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ):

3
3
 x  5x  1
3 x  2
a) lim 3
b) lim

1 x
( x  4)2
2 x3  3 x  4
8, lim
x   x 3  x 2  1

2x 1
x3
2 x

x 2

4, lim
x 4

x7 3

11, lim ( 4 x 2  x  2 x )
x 

2 x3  5 x 2  2 x  3
x 3 4 x 3  13 x 2  4 x  3
2 x 3
17, lim 2
x 7
x  49

14, lim

5x 3  x 2  1


x 2  3x  2

d) lim

x 

e) lim

x



3x 2  x  2 x



f) lim

x



ĐS: a) + b) -  c) +  d) + e) -  f) + 
Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):
2 x x
x 1
1 x
2x 1
2 x  1

x 9
x  3x  2
x3
x3  1
x2  2x  3
a/ lim
b/ lim
c) lim 2
d) lim 2
e) lim 2
x3 x  3
x 1
x 1 x  1
x 1 2 x  x  1
x 3 x  2 x  3
x 1
2
2 x
x 9
2x 1  3
x  2 1
x 2  3x  2
f) lim
g) lim
h) lim
i) lim
k) lim
x 2
x3
x 4






x
2  x2

Bài 13: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng  - ):
a) lim

x



x2  1  x

d) lim

x

ĐS: a) 0



b) 1



b) lim

sin x sin 2 x
1  cos 2 x
b) lim
c)
lim
x 0
x 0
x 0
x
3x 2
x sin x
ĐS: a) 3 b) 2/3
c) 1
d) n!
a) lim

4/ Xét tính liên tục của hàm số
* Xét tính liên tục của hàm số tại điểm:
khi x  x0
 f ( x)
– Dạng I: Cho h/s f ( x)   1
khi x  x0
 f 2 ( x)

sin x
1)
x
sin x.sin 2 x....sin nx
d) lim
x 0

* Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT có k nghiệm trên  a; b  :
B1: Tính f(a), f(b)  f(a).f(b) < 0
B2: Kết luận về số nghiệm của PT trên  a; b 
Ví dụ:CMR phương trình x 7  3x5  2  0 có ít nhất một nghiệm
Xét hàm số f  x   x 7  3 x5  2 liên tục trên R nên f(x) liên tục trên [0;1]

f  0   2  0 
  f  0  . f 1  0
f 1  2  0 
Nên phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm x0   0;1 , vậy bài toán được chứng
Và

minh.

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
 x2  4
voi x  2

1, f ( x)   x  2
tại x = -2
4
voi x  2

2
voi x  0
x
3, f ( x)  
1 x voi x  0


3, f ( x)  



1 x , x  0
x
1
,x  0
2

2 x
Bài 3: Tìm số thực a sao cho các hàm số liên tục trên R:
2

x
1, f ( x)  
2ax  3

voi x  1
voi x  1

voi

x2

6, f  x   x  3  1

 x2  4 x  3



a) f (x)   x  2
tại x0 = -2
 4
khi x  -2


 2 x  3x  5

c) f ( x)  
x 1

7


voi

 x2  x  2
khi x > 2

4, f  x    x  2
 5 x
khi x  2


1

5, f  x  

tại x = 3

e/ f ( x)   x  2
tại x0 = 2
f) f ( x)   x  1  1
2 2
 3x  4
khi x  2
khi x  2


ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục

Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
 1 x
 x 2  3x  2
khi x  2
2


a) f ( x)   x  2
b) f ( x)    x  2 

 3
1
khi x  2


khi x  2
khi x  2

ĐS: a) hsliên tục trên R ;

 x2  x  2
 x2
khi x  1
khi x  1

a) f  x    x  1
với x0 = -1
b) f (x)  
với x0 = 1
2ax  3 khi x  1


a
khi x  1

 x7 3
3x2 1 khi x  1

khi x  2
c) f ( x)   x  2
với x0 = 2
d) f (x)  
với x0 = 1
2a 1 khi x  1

 a 1
khi x  2

ĐS: a) a = -3 b) a = 2
c) a = 7/6


4

7


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
1/ Các công thức tính đạo hàm:
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản



C  =0

(C lµ h»ng sè)
(kx)’=k (k lµ h»ng
sè )

x  =1

x  =n.x
n

n-1




n-1

.U 

(U  0)

 U   2UU

(x>0)

(U  0)

sin U /  cosU .U /
cosU /   sin U .U /

  sin x

1
 1  tg 2 x
2
cos x
cot gx /   12   1  cot g 2 x
sin x

tgx /

Đạo hàm của hàm số hợp

1

 UV 

(k.U)  k.U

 U V  UV

(k là hằng số)


1
1
 V    V2
 

- Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] , g ' x = f ' u . U x
- Đạo hàm cấp cao của hàm số
Đạo hàm cấp 2 :
f "(x) =  f(x)' '
Đạo hàm cấp n : f n (x) =  f(x)n-1  '
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng:
y = f’(x0) (x – x 0) + f(x0)
3/ Vi phân
- Vi phân của hàm số tại nột điểm: df ( x0 )  f '( x0 ).x
- Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: f ( x0  x)  f ( x0 )  f '( x0 )x
- Vi phân của hàm số: df ( x)  f '( x)dx hay dy  y ' dx

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau:
a) y  x 3

Thầy: Lê Anh

e) y = x3 - x + 2; x0 = -1

f) y =

2x 1
; x0 = 3
x 1

h) y = 4cos2x + 5 sin3x; x0 =

π
3

i) Cho f ( x)  3 x  1 , tính f ’’(1)

g) y = x.sinx; x0 =

π
3

k) Cho y = x cos2x . Tính f”(x)

 

 ;f ''  0 f ''  
 2
 18 


7. y  ( x 2  1)(5  3 x 2 )

10. y 

13. y  x 2  6 x  7
17. y 

2x
2
x 1

11. y 

3x  2
x x2

18) y =

2 3
3 2

21) y  (a  b )

22) y  x 2 3 x 2

24) y  (x 7  x)2

25) y  x 2  3x  2

26) y 

19) y  a  b
3
3

2

20) y  3 a  bx 3

28/ y= x 1  x 2

8. y  x (2 x  1)(3 x  2)

14. y  x  1  x  2

3x 2  2 x  1
2x  3
2
3

4. y  ( x 3  2)( x  1)

3. y  10 x 4 

1
x x
x (x2- x +1)

32/ y= (x2+3x-2)20
Bài 4: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) y  3 sin 2 x. sin 3 x


17) y= sin(sinx)

19) y  x sin x

20) y  sin x  x

1  tan x

y  1  2 tan x
Bài 5: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
ax  b
ax 2  bx  c
y
y
cx  d
dx  e

Áp dung:

y

1  sin x
x
5) y  sin 4
2  sin x
2
cos x 4
9) y  
 cot x

b) 1  2  x  1  2
x  2

sin x

21) y  tan

y

x 2  3x  4
2x 2  x  3

1
cos 4 x Chứng minh rằng: f '(x)  g '(x)
4
b) y’ < 3

(x ) .


HTTP://THAYHUY.NET
Thầy: Lê Anh
Bài 8: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x + sin x + x.
b) f(x) = 3 sin x  cos x  x
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x
d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1
Bài 9: Cho hàm số f(x)  1  x. Tính : f(3)  (x  3)f '(3)
Bài 10:
a) y 

Bài 14: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y  x3  5 x 2  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
a) Tại M (0;2).
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.
1
c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x – 4.
7
Bài 15: Cho đường cong (C): y 

x2
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
x2

a) Tại điểm có hoành độ bằng 1
b) Tại điểm có tung độ bằng

1
3

c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là 4
Bài 16: Tính vi phân các hàm số sau:
x
a) y  x 3  2 x  1
b) y  sin 4
2

c) y  x 2  6 x  7

Bài 17: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
x 1
2x 1

6

 x  2

3

2) y '' 

5) y ''   2  x 2  sin x  4 x cos x

7) y = x.cos2x

4 x3  10 x 2  30 x  14

x

2

 x2



3

3) y '' 

6) y ''  4 x sin x  ( x 2  3) cos x

8) y = sin5x.cos2x


7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x

8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x
Bài 18: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

a) y 

1
x 1

ĐS: a) y  n    1

11

n

b) y = sinx

n!

 x  1

n 1



n
b) y    sin  x  n 
2


 Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là 
+) Nếu d  (P) thì  = 900.
+) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)
- Khi đó:  = (d,d’)
 Dạng 6: Tính góc  giữa hai mp (P) và (Q).
 Phương pháp 1:
- Xác định a  (P), b  (Q).
- Tính góc  = (a,b)
 Phương pháp 2: Nếu (P)  (Q) = d
- Tìm (R)  d
- Xác định a = (R)  (P)
- Xác định b = (R)  (Q)
- Tính góc  = (a,b).
 Dạng 7: Tính khoảng cách.
 Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:
Phương pháp: d ( M , a )  MH (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).
 Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):
Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).
- d(M, (P)) = AH
 Tính khoảng giữa đt  và mp (P) song song với nó: d(, (P)) = d(M, (P)) (M là điểm thuộc ).
 Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b:
+) Phương pháp 1: Nếu a  b :
12


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

- Dựng (P)  a và (P)  b

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: BC  AD.
b) Gọi AH là đường cao của ADI. Chứng minh: AH  (BCD).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = a 2 .
a) Chứng minh SO  (ABCD).
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IKSD
c) Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD).
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB  CD, BC  AD. Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD). Chứng minh:
a) H là trực tâm BCD.
b) AC  BD.
Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau
từng đôi một.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a 3 , SA 
(ABCD).
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO (ABCD).
c) Tính góc giữa SC và (ABCD).

13


HTTP://THAYHUY.NET
Thầy: Lê Anh
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA  (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình
chiếu vuông góc của A lên SB, SD.
a) Chứng minh BC  (SAB), BD  (SAC).
b) Chứng minh SC  (AHK).
c) Chứng minh HK  (SAC).
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC = a, SA  (ABC).
Gọi I là trung điểm BC.

4. Tính tang của góc  giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).
ĐS: tan   2
5. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD).
ĐS: a 6 / 3
6. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng ấy.
ĐS: a / 2
7. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, C, D và tính SI.
ĐS: SI  a
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, SA  SB  SD  a 3 / 2
  60 0 . Gọi H là hình chiếu của S trên AC.
và BAD
1. CMR: BD  (SAC) và SH  (ABCD) .
2. CMR: AD  SB .
3. CMR: (SAC)  (SBD).
4. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) và SC.
ĐS: SH  a 15 / 6 và SC = a 7 / 2
5. Tính sin của góc  giữa SD và (SAC), côsin của góc  giữa SC và (SBD).
ĐS: sin   3 / 3 và cos   3 / 14 .
6. Tính khoảng cách từ H đến (SBD).

ĐS: a 10 / 12

7. Tính góc giữa (SAD) và (ABCD).

ĐS: tan   5
14


HTTP://THAYHUY.NET

2. CMR: A 'C  AB' .
3. CMR: (BDC’)  (ACC’A’) và (MNC’)  (ACC’A’).
4. Tính khoảng cách từ C đến mp(BDC’).
ĐS: a/ 3
5. Tính khoảng cách từ C đến mp(MNC’).

ĐS: 3a/ 17

6. Tính tang của góc giữa AC và (MNC’).
7. Tính tang của góc giữa mp(BDC’) và mp(ABCD).

ĐS: tan   2 2 / 3
ĐS: tan   2

8. Tính côsin của góc giữa (MNC’) và (BDC’).

ĐS: cos   7 / 51

9. Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’.

ĐS: a 3 / 3

15


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

20 ĐỀ THAM KHẢO THI HỌC KÌ II


x 3

x 1  2
9  x2

Bài 2.
1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
 x 2  5x  6

f ( x)   x  3
2 x  1

khi x  3
khi x  3

2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2 x 3  5 x 2  x  1  0 .
Bài 3.
1) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) y  x x 2  1
2) Cho hàm số y 

b) y 

3
(2 x  5)2

x 1
.
x 1

Bài 5b. Tính lim

x  2x 1

x 1 x 2

.

 12 x  11
2
x  3x  3
Bài 6b. Cho y 
. Giải bất phương trình y /  0 .
x 1

--------------------Hết------------------16


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

ĐỀ THI HỌC KÌ 2
Môn TOÁN
Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 2


1) Cho hàm số f(x) = f ( x )   x  1 khi x  1 . Xác định m để hàm số liên tục trên R..
2m  1 khi x  1

2) Chứng minh rằng phương trình: (1  m2 ) x 5  3x  1  0 luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 3.
1) Tìm đạo hàm của các hàm số:
a) y 

2  2x  x2

b) y  1  2 tan x .

x2  1

2) Cho hàm số y  x 4  x 2  3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại điểm có tung độ bằng 3 .
b) Vuông góc với d: x  2 y  3  0 .
Bài 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a, I là trung
điểm BC 1) Chứng minh rằng: (OAI)  (ABC).
2) Chứng minh rằng: BC  (AOI).
3) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI).
4) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB .
II . Phần riêng:
1 . Theo chương trình chuẩn .
Bài 5a. Tính lim(

1
2




17


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

ĐỀ THI HỌC KÌ 2
Môn TOÁN
Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 3

I. Phần chung :
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
a) lim

2 n3  2 n  3

b) lim

1  4 n3

x 1

x 3 2
x2  1

c) Chứng minh phương trình f ( x )  0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (–1; 1).
2. Theo chương trình Nâng cao

sin 3x
cos3x 
 cos x  3  sin x 
.
3

3 
Giải phương trình f '( x )  0 .

Bài 5b: Cho f ( x ) 

Bài 6b: Cho hàm số f ( x )  2 x 3  2 x  3 (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:
y  22 x  2011

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng :
1
y   x  2011
4

--------------------Hết-------------------

18


HTTP://THAYHUY.NET



x 2

x 2 x  7  3

khi x  2

d)

lim
x 

x 2  2  3x
2x  1

.

khi x  2

a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3
b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ?
Câu 3: Chứng minh rằng phương trình x 5  3x 4  5 x  2  0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong
khoảng (–2; 5)
Câu 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2

3

b) y  ( x  1)( x  2)


a) Chứng minh rằng (SAC)  (SBD), (SBD)  (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC).
c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và
SC.
--------------------Hết-------------------

19


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

ĐỀ THI HỌC KÌ 2
Môn TOÁN
Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 5

I. Phần chung :
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim

x 



x2  5  x

b) y  1  cos2

x
2

Câu 5 (2,5 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, 
BAD  600 ,
đường cao SO = a.
a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC. Chứng minh rằng: BC  (SOK)
b) Tính góc giữa SK và mp(ABCD).
c) Tính khoảng cách giữa AD và SB.
II. Phần riêng
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 6a (1,5 điểm): Cho hàm số: y  2 x 3  7 x  1 (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k = –1.
Câu 7a (1,5 điểm): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA  (ABC),
SA= a. M là một điểm trên cạnh AB, 
ACM   , hạ SH  CM.
a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên đoạn AB.
b) Hạ AK  SH. Tính SK và AH theo a và  .
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 6b (1,5 điểm): Cho các đồ thị (P): y  1  x 

x2
x2 x 3
và (C): y  1  x   .
2
2
6

1) Tìm các giới hạn sau:
1
 x 5  7 x 3  11
x 1  2
a) lim 3
b) lim
x 5
x  3 5
x 5
x  x4  2
4
x4 5
2) Cho hàm số : f ( x )   x 3  2 x  1 . Tính f (1) .
2 3

c) lim

4  x2

x 2 2( x 2

 5 x  6)

Bài 2:
 2
1) Cho hàm số f ( x )   x  x
ax  1

2) Cho hàm số f ( x ) 



x


x 2  5x  6

Bài 5a:
1) Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 6 x 3  3x 2  6 x  2  0 .
2) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên bằng a. Tính chiều cao hình chóp.
B. Theo chương trình nâng cao
Bài 4b: Tính giới hạn:

lim

x 



x 1  x 

Bài 5b:
1) Chứng minh phương trình sau luôn luôn có nghiệm:
(m2  2m  2) x 3  3 x  3  0
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA
= a 3 . Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD). Thiết diên cắt bởi (P) và hình
chóp là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó.

--------------------Hết------------------21



x 2

x2  5  3
x 2

Câu 2:
a) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2 x 3  10 x  7  0
x 3


, x  1

2

, x  1

b) Xét tính liên tục của hàm số f ( x )   x  1

trên tập xác định .

Câu 3:
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi hàm số y  x 3 tại điểm có hoành độ x0  1 .
b) Tính đạo hàm của các hàm số sau: y  x 1  x 2
 y  (2  x 2 ) cos x  2 x sin x
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD) và ABCD là hình thang vuông tại A, B . AB =
BC = a, 
ADC  450 , SA  a 2 .
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD).
c) Tính khoảng cách giữa AD và SC.


4,04

b) Tính vi phân của hàm số y  x.cot 2 x
Câu 6b: Tính

lim

x 3

x 2  3x  1
x 3

Câu 7b 3: Cho tứ diện đều cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện .

--------------------Hết-------------------

22


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 8

ĐỀ THI HỌC KÌ 2
Môn TOÁN
Lớp 11

a) y    3x   x  1
b) y  x  sin x
c) y 
x 1
x

2) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y  tan x
3) Tính vi phân của ham số y = sinx.cosx
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  ( ABCD ) và SA  a 6 .
1) Chứng minh : BD  SC , (SBD )  (SAC ) .
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
3) Tính góc giữa SC và (ABCD)
II. Phần riêng
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 4a: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 

1
x

tại giao điểm của nó với trục

hoành .
60 64

 5 . Giải phương trình f ( x )  0 .
x x3
 
Câu 6a: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Tính AB.EG .

Câu 5a: Cho hàm số f ( x )  3 x 


I. Phần chung : (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a) lim

x 2

x 2  3x  2

b) lim

3

x 

x  2x  4



x2  2x  1  x



Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0  1 :
 2 x 2  3x  1

f ( x)   2 x  2
2

khi x  1

24


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

ĐỀ THI HỌC KÌ 2
Môn TOÁN
Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 10

I. Phần chung :(7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
( x  2)3  8
x 0
x

a) lim

b) lim

x 



x 1  x 

1; 1.
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số y 

x 3
. Tính y .
x4

b) Cho hàm số y  x 3  3 x 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm I(1; –
2).
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình: x 3  3 x  1  0 có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số y  x. cos x . Chứng minh rằng:

2(cos x  y )  x ( y  y )  0 .

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y  f ( x )  2 x 3  3x  1 tại giao điểm
của (C) với trục tung.
--------------------Hết------------------25