Phần 1
HÌNH HỌA

1


Chương 1
Mở đầu
Cơ sở của biểu diễn

2


1.1 Giới thiệu môn học
Trong kỹ thuật, bản vẽ kỹ thuật( trên giấy) được sử dụng
trong sản xuất và trao đổi thông tin giữa các nhà thiết kế.
Bản vẽ kỹ thuật là một mặt phẳng 2 chiều còn hầu hết vật
thể đều là các vật thể 3 chiều.
Vậy làm sao để biểu diễn các đối tượng 3 chiều lên mặt
phẳng 2 chiều?

Gaspard Monge

Hình họa

Đối tượng môn học
- Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn các hình không gian trên một mặt
phẳng
- Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán không gian trên một mặt phẳng 3



П

S
C

S

B

A

C’

C
A

A’
E

F’

B

D

B’
F

D


điểm A bất kỳ trong không gian.
- Qua A kẻ đường thẳng a//s . A’ là giao
của đường thẳng a với mặt phẳng Π.
* Ta có các định nghĩa sau:
+ Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình
chiếu
+ Đường thẳng s gọi là phương chiếu
+ Điểm A’ gọi là hình chiếu song song
của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π
theo phương chiếu s
+ Đường thẳng a gọi là tia chiếu của
điểm A

a
s

A

A’
П
Hình 1.3 Xây dựng phép
chiếu xuyên tâm

6


b) Tính chất phép chiếu

C


- Nếu MN//QP thì: M' N' //P' Q'

M' N' MN
 P' Q' = PQ
- Nếu IK// Π thì:

s

B

M

M

Q

B’

K

I

s

P
N’

M’
П


A’B’=AB.cosφ
A’B’ ≤ AB
- Sau đây là những ứng dụng của phép
chiếu vuông góc mà ta gọi là phương
pháp hình chiếu thẳng góc

s

A

A’
П
B
s

A

φ
П

A’

B’

Hình 1.5a,b. Phép chiếu vuông góc
8


Chương 2
Biểu diễn liên thuộc

(x = П1∩П2 )
- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng
П1và П2 ta nhận được các hình chiếu A1 và A2

Π1
x

- Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng

A1 A
Ax

П2 quanh đường thẳng x theo chiều quay
A2

được chỉ ra trên Hình 1.1.a cho đến khi П2
trùng vớiП1. Ta nhận được đồ thức của điểm
A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.1.b)

Π2

Hình 2.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm
trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
10


a)
* Các định nghĩa và tính chất
- Mặt phẳng П1: mặt phẳng hình chiếu đứng


Ax
A2

Π2
Hình 2.1a,b. Xây dựng đồ thức của
một điểm trên hệ thống hai mặt
phẳng hình chiếu
11


* Độ cao của một điểm
- Ta có: AxA1 = A2A gọi là độ cao của
điểm A
- Quy ước:
+ Độ cao dương : khi điểm A nằm
phía trên П2

a)

Π1

A1
A

x

Ax
A2

Π2

- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:
+ Độ xa dương: A2 nằm phía dưới
trục x
+ Độ xa âm: A2 nằm phía trên trục x
*Chú ý: Với một điểm A trong không gian
có đồ thức là một cặp hình chiếu A1, A2.
Ngược lại cho đồ thức A1 A2 , ta có thể
xây dựng lại điểm A duy nhất trong
không gian. Như vậy đồ thức của một
điểm A có tính phản chuyển

a)

Π1

A1
A

x

Ax
A2

Π2

b)
A1
x

Ax

A

Ax

O

Ay

A 2 A2

Π2

y

Π3

b)
Π1

- Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng
П2 quanh đường thẳng x, quay mặt phẳng П3
quanh trục z theo chiều quay được chỉ ra trên
Hình 1.2.a cho đến khi П2 trùng với П1,П3 trùng
với П1. Ta nhận được đồ thức của điểm A
trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.2.b)

z

x


b) Các định nghĩa và tính chất
a)
Bổ xung thêm các định nghĩa
và tính chất sau:
- Mặt phẳng П3: mặt phẳng hình chiếu cạnh

Π1

x

- Đường thẳng x, y, z : trục hình chiếu
- A3: hình chiếu cạnh của điểm A
- Gọi

z

A1

A3

A

Ax

O

Ay

A2 A2



A1

Ax

z

A

A3

Π3

Az
O

Ay
y

Ay
A2

y

Hình 2.2a,b. Xây dựng đồ thức của một15
điểm
trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu


b) Các định nghĩa và tính chất (tiếp theo) a)


A2

Ay

y

Π3

b)

- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:
+ Độ xa cạnh dương: A3 nằm phía bên

Π1

phải trục z
+ Độ xa cạnh âm: A3 nằm phía bên trái

x

A1

Ax

z

A

A3

+ Phần không gian phía trước П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ tư. (IV)

Ví dụ: Tự cho đồ thức của các điểm A, B, C, D lần lượt thuộc các góc phần tư I, II, III, IV
Π1

( II ) Π1
(I)

( III )

Π2

A1

( IV )
Hình 2.3. Góc phần tư I, II, III, IV

A2
Π2

C2

B2

x
A2

B1

C1

x

C1 =C2
B2

Ax

Bx

A2

B1

Cx

Dx

(I)
Π2

A2
(Pg2)

Hình 2.5. Mặt phẳng phân giác I và II

( IV )

D1 =D2

Π2

B3

B2
x(+)

Ax

O

Bz

z(+)

c)
Δ

C2

Cy

By

Ay

x(+)

O

Cy


e)
y(+)

D1

E3

Dy
y(+)

Ez=Ey

Δ

O

y(+)

Δ
D3

D2

Δ’

y(+)
z(+)

x(+)


2.2.1 Biểu diễn đường thẳng
Vì một đường thẳng đươc xác định bởi
hai điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một
đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân biệt
thuộc đường thẳng đó.
Ví dụ: Cho đồ thức của đường thẳng l;

Π1

B1
l1
l

x
A

AB ∈ l , A ≠ B

l2

B2

A2

A(A1, A2)
B(B1, B2)

B1

- l1 đi qua A1B1 gọi là hình chiếu đứng

2.2.2- Điểm thuộc đường thẳng
a)- Trường hợp tổng quát
Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng không phải là đường cạnh
là hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng và hình chiếu
bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng.

A1 ∈ l1
A ∈ l
⇔

(l // ∏ 3 )
A 2 ∈ l 2
Π1

l1
A1

x

A1

l

l1

x

A
l2
A2

E3
α

p

O
E2

Π2

FA

p2
F2

α

E1

p3

Π3

p3

F1
x

F3


I1 ∈ P1Q1
Xét xem I có thuộc PQ hay không? (Hình 2.11)

I 2 ∈ P 2 Q 2
Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh. Nếu:

I3 ∈ P3Q3 ⇔ I ∈ PQ
I3 ∉ P3Q3 ⇔ I ∉ PQ
z
P3

P1

I3

I1

Q1
x

O

Q3

y

P2
I2
Q2
y


- Qua P1 kẻ đường thẳng t bất kỳ hợp với

Q1

P1Q1 một góc α tùy ý (nên lấy α