TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHẠM ANH NGHĨA

PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP
NEWTON - KANTOROVICH
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYỂN

LUÂN VĂN THAC sĩ TOÁN HOC


TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM ANH NGHĨA

PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP
NEWTON - KANTOROVICH
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYỂN
Chuyền ngành: Toán Giải Tích
Mã sổ: 60 46 01 02

LUẬN VÃN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình
của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả rất nhiều trong

Như chúng ta đã biết khi giải số phương trình vi phân, phương trình tích phân thường dẫn đến giải hệ phương trình phi
tuyến; có nhiều vấn đề, nhiều bài toán trong khoa học tự nhiên, trong kỹ thuật, kinh tế cũng có thể dẫn đến việc nghiên cứu
nghiệm của hệ phương trình. Hệ phương trình thường có dạng tổng quát A.x = f (1), trong đó A là các toán tử đi từ không gian
định chuẩn Rn vào không gian định chuẩn Rn.
Trong thực tế người ta khó tìm được nghiệm chính xác của hệ phương trình . Vì vậy việc giải xấp xỉ hệ phương trình
(1) là một vấn đề được quan tâm nghiên cứu. Có nhiều phương pháp giải xấp xỉ phương trình đã được đề xuất và sử dụng như :
Phương pháp lặp,phương pháp Newton và các mở rộng, phương pháp biến phân ....Người ta xét đến những đặc thù của toán tử

Ađể chọn phương pháp xây dựng nghiệm xấp xỉ của phương trình. Phương pháp lặp dựa trên nguyên lí ánh xạ CO Banach là
phương pháp thường được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình và tìm nghiệm xấp xỉ thông qua phép
lặp đơn. Để sử dụng phương pháp này người ta phải đưa phương trình (1) về dạng X = Bx trên một hình cầu đóng nào đó hoặc
trên toàn không gian Mn , sao cho nghiệm của phương trình (1) là điểm bất động của ánh xạ B. Bước tiếp theo là tìm điểm bất
động của ánh xạ đó. Nguyên lí điểm bất động cũng chỉ ra cách tìm xấp xỉ điểm bất động. Phương pháp Newton và các mở rộng
của nó như Newton - Raphson, Newton - Kantorovich cho ta cách tìm nghiệm xấp xỉ của một phương trình phi tuyến thông
qua việc giải những phương trình tuyến tính. Phương pháp Newton và các mở rộng có ưu điểm là bậc hội tụ cao, tuy nhiên
phải biết thông tin về một hình cầu đủ nhỏ chứa nghiệm.


-7

Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về các phương pháp giải xấp xỉ
hệ phương trình (1), nên em đã chọn đề tài : “ Phương pháp lặp đơn và phương pháp
Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến” để thực hiện luận văn của
mình.

2. Mục đích nghiền cứu
Luận văn trình bày một số phương pháp giải hệ phương trình đó là phương pháp
lặp đơn, phương pháp Newton - Kantorovich, sự kết họp của hai phương pháp đó trong
giải phương trình trong tập số thực R và hệ phương trình phi tuyến trong không gian
Rn. ứng dụng giải một số phương trình và hệ phương trình cụ thể.


-8

1.1 Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co

l.l.l.

Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1. Xét một tập họp X ± (|) cùng với một ánh xạ d:XxX -»R thoả mãn
các tiên đề sau đây:

1) d(x,y) > 0,(Vx,y E X) , d(x,y) = 0 <=> X = y
2) d(x,y) = d(y,x),(Vx,y E X)

( tiên đề đồng nhất);
( tiên đề đối xứng);

3) d(x,y)< d(x,z) + d(z,y),(Vx,y,z e x)

( tiên đề tam giác). Khi

đó tập họp X cùng với ánh xạ d gọi là một không gian metric. Ảnh xạ d gọi là một
metric trên X, số d(x,y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x,y.
Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề metric.
Không gian metric được kí hiệu là X = (x, d) .
Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric x = (x,d). Một tập con bất kỳ x0*ộ của tập
họp X cùng với metric d trên X lập thành một không gian metric. Không gian metric
X0=(xo,d) gọi là không gian metric con của không gian metric đã cho.
Ví dụ 1.1.1. Với hai phần tử bất kỳx,y EM. ta đặt:

ii-tt-2̱«W,+zixb'2
J i=i j=i i=i j=i
f kVk>n
= 2 ix z>; -2 i>Ai
V j=! AH 2 V j=!

i=i j=i
V
2

Từ đó suy ra bất đẳng thức (1.1.3).
Với 3 véc tơ bất kỳ x = (x1,x2,...,xk),y = (y1,y2,...,yk),z = (z1,z2,...,zk)thuộc K1
ta có :
d(x’y) = È(xj-yj) = È[(xj-zj)+(zj-yj)]
j=i
j=i
=Z(XJ - ZJ )2+2Ề (XJ - zi )(zi - yj) ■+■ ằ(zi - yj )2
j=i

j=i

j=i

= d2 (x,z) + 2d(x,z)d(z,y) + d2 (z,y)
= [d(x,z) + d(z,y)]2
^>d(x,y)< d(x,z) +
d(z,y)


-

j £ 2 Ệ | x B | + 2£ | y n | < 2 ^ | x n | + 2 ^ | y n |
n=l
n=l
n=l
n=l
n-yj n = l
2

2

2

2

2

x

+|

2
)

Suy ra
» 2 » 2 « 2 Y l x - y l

2

00
+ Ẻl z n -yn|2
_ n=l

= d(x,z) + d(z,y)

Cho p ->■ 00 ta được
Do đó hệ thức (1.1.4)thoả mãn tiên đề 3) về metric.
Vì yậy hệ thức (1.1.4) xác định một metric trên ¿2. Không gian metric tương ứng vẫn
ký hiệu là i2 . Không gian metric i2 đôi khi còn gọi là không gian Euclide vô hạn chiều.
Ví dụ 1.1.4. Ta ký hiệu C[ b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định và liên tục
trên đoạn [a,b] , (-00 < a < b < +00) . Với hai hàm số bất kỳ x(t),y(t)eC[a b] ta đặt
d(x,y) = max|x(t)-y(t)|.
(1.1.5)
v 7 aátáb 1 v 7 v 7I
Vì các hàm x(t),y(t) liên tục trên đoạn[a,b], nên hàm số |x(t)-y(t)| cũng liên tục trên
đoạn [a,b] .Do đó hàm số này đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [a,b]. Suy ra hệ thức (1.1.5)
xác định một ánh xạ từ Cj b]xC( b] -> M.
Dễ dàng thấy ánh xạ (1.1.5) thoả mãn các tiên đề về metric.
Không gian metric tương ứng vẫn kí hiệu là b].
Ví dụ 1.1.5. Ta ký hiệu b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực và khả tích Lebesgue trên
đoạn [a,b] .Với hai hàm số bất kỳ x(t),y(t)e b j ta đặt
d(x,y) = J|x(t)-y(t)|dt
Hê thức (1.1.6) xác đinh môt ánh xa từ Lr X Lr -> M .
v J [a>b] [a>b]

(1.1.6)


Thật yậy, giả sử dãy điểm x (n) =(xỊ n) ,x ( 2 n) ,...,x ( k n) ),n = l,2,... hội tụ tới điểm x =
(xpx2,...,xk) trong M* . Theo định nghĩa , Vs>0,3n0 eN*,Vn>n0 , ta có:
d(x(n)’x)=^È(xỉn)-xj)2


0, với mỗi j = i,2,...,k ,
(n)
3nj e N*,Vn > nị}
j j
V => Ề (xín) - xj)2 < => JỀ (xín) - xj)2 <e5Vn>n0.
=> (xín) - xj)2 ^ ^->(j = 1>2>->k)
n
j=i
]Ị j=i
(n)
< I—,gian
J —
Do
điểm đã
cho khội

Các bất đẳng thức (1.1.8) chứng tỏ dãy hàm số liên tục (x„ (t)) hội tụ đều tới hàm số
x(t) trên đoạn [a,b].
Ngược lại, giả sử hàm số (x„ (t))c c[ab] hội tụ đều tới hàm số x(t) trên đoạn [a,b],
nghĩa là x(t) e c[a b] . Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm Ve > 0,3n0 e N*,
Vn > n0, V t e [a,b],|xn (t)- x(t)| < e Suy ra: max |xn (t) - X ( t ) | < s, Vn > n0 Hay:
d(xn,x)<E,Vn>n0
Do đó dãy số (x„(t)) hội tụ tới hàm số x(t) theo metric của không gian CM'
Ví dụ 1.1.9. Sự hội tụ của dãy điểm trong không gian metric rời rạc X = (X, d)
tương đương với sự hội tụ của dãy dừng.
Thật yậy, giả sử dãy điểm {x„}cX hội tụ đến điểm X trong không gian X. Theo định
nghĩa, Ve> 0,e<l,3n0 eN*,Vn>n0,d(xn,x)n0 =>xn =x,Vn>n0 .
Dãy điểm như thế gọi là dãy dừng.
Ngược lại, dãy điểm {xn}cX là dãy dừng, nghĩa là 3n0 GN ,Vn>n0, xn =xno , thì
hiển nhiên dãy đó hội tụ theo metric của không gian x .
Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian metric X = (x, d), a e X , r > 0,
Tập hợp S(a,r) = jxeX:d(x,a) 0,3n0 eN’,Vm,n>n0,d|x^,x^j
được:
|xn(t)-x(t)|<E,Vn>n0,Vte[a,b]

(1.1.11)

Các bất đẳng thức (1.1.11) chứng tỏ dãy hàm số (xn (t)) c C[ b] hội tụ đều tới hàm số
X(t) trên đoạn [a,b] nên x(t)eCj b] . Nhưng sự hội tụ trong không gian b] tương đương
với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn [a,b] , nên dãy cơ bản (xn (t)) đã cho
hội tụ tới x(t) trong không gian b]. Vậy C[ b] là không gian đầy.
Ví dụ 1.1.13. Không gian i 2 là không gian đầy.
Thật yậy, giả sử x (n) = (xỊ n) ,x ( 2 n) ,...,x ( k n) ),n = 1,2,... là dãy cơ bản tuỳ ý trong i2 , theo
định nghĩa dãy cơ bản :
Ve > 0,3n0 e N*,Vm,n > n0,d(x(n),x(m)Ị = ^|x(xkn) - xím)) < ESuy ra

k k
<8,Vm,n > n0,Vk = 1,2,...
A

A

jẺ(4n)-4m)) <£,Vm,n>n0,Vp-l,2,...
(1.1.12)
(1.1.13)

Các bất đẳng thức (1.1.13) chứng tỏ, với mỗi k cố định tuỳ ý dãy (x(kn)) là dãy số cơ
bản, nên phải tồn tại giới hạn:

lim(x(kn) ) = xk, k = 1,2,...
n—»00 V /



l

+ 2a2 5 với nj > n0


-

1.1.2.

Nguyên lý ánh xạ co

Định nghĩa 1.1.11. Cho không gian metric x = (X,d) .Ảnh xạ A:X-»X được gọi là
ánh xạ co nếu tồn tại số a, 0 n = 1,2,...
1-a
d(xn,x*)
Do0< a<l =>d(x\y*) = 0 =>x* =y\
Vậy X* là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A.
Ta có
dmd(Xn+p>Xn)^7^-d(X*>Xn)>
d(xn,x*)
X đều hội tụ.
( Trong định lý 1.2.1. nếu với metric d(x, y) = ||x - y|| , X là không gian đủ thì X
được gọi là không gian Banach).
Ví du 1.2.1.
Xét không gian véc tơ k chiều M* , với mỗi xelk , x = (x1,x2,...,xk)
Đặt ||x|| = ^^ịxiị2 ■ Khi đó Rk là không gian Banach.
Thật yậy, dễ dàng kiểm tra được Rk là không gian định chuẩn Lâý {xn} là dãy cơ bản
trong Rk, xn =(x1(n),x(2n),...,xkn))
Ta có lim ||x„ -xj| = 0:
nm
'
n,m—»co
Nghĩa là Vs>0, 3M e N* , Vm,n>M ||xn-xm||< 8
Suy ra với mỗi 1 < j < k cố định , Ve >
kj=l

0, 3M. = M E N*, Vm,n>Mj

Vậy với mỗi j cố định thì dãy Ịx^Ị là dãy cơ bản trong M nên nó hội tụ.


-24

Kíhiêu x. = limx(.n) , j = l,k , nghĩa làVe> 0, Vj = l,k, 3M e N* , Vn>M.:
J n->00 J
J

J

Đặt x = (xj),j = l,k . Ta sẽ chứng minh{xn} hội tụ đến X Đặt M0

Cho X, Y là các không gian định chuẩn, ta kí hiệu L(X, Y) là tập hợp các toán
tử tuyến tính liên tục từ X vào Y .


-25

Với AEL(X,Y), đặt||A|| = sup ||Ax||
1*1=1
Thì L(X,Y) là không gian định chuẩn.
Định lý 1.3.1. Neu không gian Y là không gian Banach thì không gian L(X,Y) cũng là
không gian Banach.
Chứng minh.
Giả sử dãy {A„} là dãy cơ bản trong không gian L(x, Y) .
Ta có
HAnX - AmXH = ||(An - Am ) x|| ^ ||An - Am II' 1*1, Vx E X. (1.3.1)
ChonênvớixeX cho trước, ||A„x-Amx|| ->0 (n,m -> co)
Vậy dãy { A n x } là dãy cơ bản trong Y

5

mà theo giả thiết Y là không gian Banach, nên

dãy đó phải dần đến một giới hạn.
Ta đặt Ax = limAnx và chứng minh AEL(X,Y).
Thật yậy, A là toán tử tuyến tính;
Mặt khác với e> 0 cho trước, ta có thể chọn N đủ lớn để
||AB - Am|| < E, Vn,m > N
Khi đó theo (1.3.1) ta CÓ ||A X-A x|| N,