BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
------  -------

TRẦN THANH HÀ

DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM Ở LỚP 11
THEO QUAN ĐIỂM TÍCH HỢP

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

CẦN THƠ, 2015


LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu do tự bản thân thực hiện với sự hướng
dẫn của PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, không sao chép các công trình nghiên cứu của
người khác để làm sản phẩm của riêng mình.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực. Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm
về tính xác thực và nguyên bản của luận văn.

Tác giả luận văn

Trần Thanh Hà

1.2. Tổng quan các công trình nghiên cứu về dạy học khái niệm đạo hàm….3
1.3. Hướng nghiên cứu đặt ra – Mục tiêu nghiên cứu……………………….7
2. Khung lí thuyết tham chiếu……………………………………………………….8
3. Câu hỏi nghiên cứu……………………………………………………………….8
4. Phương pháp nghiên cứu………………………………………………………….8
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN………………………………………………….11
1.1. Thuyết nhân học trong Didactic Toán…………………………………………11
1.1.1. Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân……………………………………11
1.1.2. Tổ chức toán học……………………………………………………..12
1.2. Lí thuyết về dạy học tích hợp………………………………………………….13
1.2.1. Dạy học tích hợp là gì………………………………………………..13
1.2.2. Vì sao phải tích hợp trong dạy học…………………………………..13
1.2.3. Các phương thức tích hợp……………………………………………15
1.2.4. Tích hợp trong dạy học toán…………………………………………15
1.2.5. Mô hình hóa toán học………………………………………………...16
1.3. Lí thuyết tình huống – Biến dạy học…………………………………………..18
CHƯƠNG 2. TÌM HIỂU CÁC NGHĨA KHÁC NHAU CỦA KHÁI NIỆM
ĐẠO HÀM………………………………………………………………………...19
2.1. Mục đích nghiên cứu của chương……………………………………………..19
2.2. Tổng hợp các nghiên cứu đã có về nguồn gốc hình thành, quá trình tiến triển và
nghĩa của khái niệm đạo hàm………………………………………………………19
2.2.1. Nguồn gốc toán học của khái niệm đạo hàm………………………...20


2.2.2. Nguồn gốc vật lí của khái niệm đạo hàm…………………………….24
2.3. Ứng dụng của khái niệm đạo hàm trong thực tiễn và các khoa học khác……..27
2.4. Kết luận chương 2……………………………………………………………..29
CHƯƠNG 3. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ VẤN ĐỀ TÍCH HỢP TRONG
SÁCH GIÁO KHOA TOÁN LỚP 11……………………………………………30
3.1. Mục đích nghiên cứu của chương……………………………………………..30

phổ thông là trang bị cho người học khả năng sử dụng kiến thức toán học vào thực
tiễn cuộc sống và các môn khoa học khác. Quan điểm này được thể hiện rõ qua
chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA (Programme for International Student
Assessment) do tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế OECD (Organization for
Economic Cooperation and Development) khởi xướng và chỉ đạo. Đây là một chương
trình được tổ chức định kì ba năm một lần, nhằm tìm kiếm các chỉ số đánh giá tính
hiệu quả, chất lượng giáo dục của mỗi nước tham gia. Ba lĩnh vực được đánh giá là
năng lực đọc hiểu, toán học và khoa học của học sinh độ tuổi 15. Mục đích của chương
trình là qua kết quả đánh giá mà rút ra chiến lược giáo dục cho bậc phổ thông. Đối
với lĩnh vực toán học, chương trình này quan tâm đến năng lực toán học phổ thông
(Mathematical literacy).
“Năng lực toán học phổ thông là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến
thức toán học trong cuộc sống; vận dụng và phát triển tư duy toán học để giải
quyết các vấn đề của thực tiễn, đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai
một cách linh hoạt” (Tài liệu tập huấn PISA 2015, tr.15).

Định nghĩa này của PISA cho thấy năng lực vận dụng kiến thức học được ở
nhà trường vào thực tiễn cuộc sống được coi trọng như thế nào. Điều đó cũng phù
hợp với lịch sử toán học: nguyên nhân và động lực làm nảy sinh và phát triển các tri
thức toán học là các vấn đề của thực tiễn và của các khoa học khác. Do đó, dạy học
toán theo kiểu tách biệt với thực tiễn, tách biệt với các môn khoa học khác sẽ khiến
người học họ không hiểu lợi ích của việc học tri thức đó đối với cuộc sống của họ.
Đó chính là lý do khiến mục tiêu dạy học toán được nói tới ở Việt Nam trong
mấy năm gần đây là trang bị cho người học khả năng sử dụng kiến thức toán học vào


2

thực tiễn cuộc sống và các môn khoa học khác. Quan điểm dạy học tích hợp mà chúng
tôi đề cập đến cũng theo xu hướng dạy học này.


3

… Những hàm số này lại được cho sẵn, chẳng gắn với một vấn đề thực tiễn nào. Nói
chung là học sinh chỉ được yêu cầu giải những bài toán toán học thuần túy. Điều này
thể hiện rõ qua nội dung của các kì thi ở mọi cấp – trường, tỉnh, quốc gia. Đành rằng
những bài toán thuần túy toán học kiểu như vậy có thể được sử dụng để rèn luyện và
phát triển tư duy cho người học, đồng thời giúp họ biết dùng kiến thức đã biết vào
việc giải quyết những vấn đề cụ thể của toán học. Nhưng chúng không đủ để người
học nhận ra sự cần thiết của tri thức được học đối với cuộc sống.
Từ những ghi nhận ban đầu về xu hướng và tầm quan trọng của quan điểm
tích hợp trong dạy học, về mục tiêu của giáo dục hiện nay, về tiêu chuẩn đánh giá
quốc tế PISA và về thực trạng với thực tiễn về dạy học khái niệm đạo hàm, hàng loạt
câu hỏi đặt ra cho chúng tôi: khái niệm đạo hàm có những nghĩa nào? Nó cho phép
giải quyết những loại vấn đề nào của thực tiễn ? Làm thế nào để xây dựng những tình
huống dạy học có tích hợp với các môn khoa học khác và gắn với thực tiễn nhằm
nâng cao năng lực toán học phổ thông cho học sinh?
1.2. Tổng quan các công trình nghiên cứu về dạy học khái niệm đạo hàm
Bàn về dạy học khái niệm đạo hàm, đã có khá nhiều công trình nghiên cứu
trong và ngoài nước. Dưới đây, chúng tôi sẽ tóm lược những kết quả chính từ những
tài liệu trong nước mà chúng tôi có được.
1.2.1. Đạo hàm và mối quan hệ với tiếp tuyến
Đây là một vấn đề được nghiên cứu trong công trình của Bùi Thị Thu Hiền
(2007), Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, một nghiên cứu khoa học luận và sư
phạm, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học sư phạm TPHCM.
Về phương diện khoa học luận, kết quả nghiên cứu của luận văn cho thấy trong
lịch sử toán học, đạo hàm được hình thành và phát triển từ việc tìm lời giải cho hai
bài toán, một là bài toán xác định tiếp tuyến của một đường cong và hai là bài toán
tìm vận tốc tức thời của một chuyển động. Tuy nhiên, tác giả chỉ quan tâm khai thác
và làm rõ nghĩa của đạo hàm ở khía cạnh đạo hàm là công cụ tìm lời giải cho bài toán

+ Định nghĩa đạo hàm có vai trò rất mờ nhạt đối với học sinh


5

+ Khi tính đạo hàm của hàm số y  f  x  tại x  x0 bằng định nghĩa thì việc
tính f '  x0  bằng lim
x  x0

f  x   f  x0 
y
chiếm ưu thế hơn so với việc tính bằng lim

x

0
x
x  x0

Vấn đề là tại sao “định nghĩa đạo hàm có vai trò rất mờ nhạt đối với học sinh”, tại
sao định nghĩa đạo hàm mà SGK trình bày là " f '  x0   lim
x  x0

f  x   f  x0 
" nhưng khi
x  x0

y
" . Ý đồ của SGK là gì
x  0 x

“Dạy học khái niệm đạo hàm ở lớp 11 theo quan điểm tích hợp”


8

2. KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU
Để đạt được mục tiêu, chúng tôi sẽ vận dụng các yếu tố công cụ của lý thuyết
Didactic toán (thuyết nhân học), lý thuyết tình huống và lý thuyết về dạy học tích hợp
làm cơ sở cho việc xác định phương pháp luận nghiên cứu để trả lời các câu hỏi đã
nêu.
3. CÂU HỎI NGHIÊN CỨU
Trong phạm vi lý thuyết nêu trên, chúng tôi trình bày lại các câu hỏi nghiên
cứu của mình như sau:
CH1. Khái niệm đạo hàm có những nghĩa nào? Vai trò và chức năng của các
nghĩa đó như thế nào đối với thực tiễn cuộc sống và các khoa học khác.
CH2. Trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông, khái niệm đạo hàm được
trình bày như thế nào? Những nghĩa nào được hình thành? Những tổ chức toán học
gắn liền với các nghĩa này là gì? Vấn đề tích hợp được thể hiện ra sao?
CH3. Cần xây dựng các tình huống dạy học khái niệm đạo hàm theo quan
điểm tích hợp như thế nào nhằm bổ sung đầy đủ nghĩa của tri thức cho việc học tập
các môn khoa học khác đồng thời nâng cao năng lực toán học phổ thông cho học sinh.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để đạt được mục tiêu nghiên cứu hay nói khác đi là tìm được câu trả lời cho
các câu hỏi nghiên cứu đã đề ra trong phạm vi khung lý thuyết tham chiếu vừa nêu,
chúng tôi xác định các nhiệm vụ, phương pháp và nội dung nghiên cứu của mình là:
+ Phân tích, tổng hợp những yếu tố lí thuyết chủ yếu về Thuyết nhân học của
Didactic Toán; Lí thuyết tình huống; Lí thuyết về dạy học tích hợp nhằm hình thành
cơ sở lí luận cho luận văn. Nội dung này được trình bày trong chương 1.
+ Phân tích, tổng hợp một số công trình đã có về nghiên cứu tri thức luận của
khái niệm đạo hàm, qua đó làm rõ nguồn gốc nảy sinh khái niệm, các nghĩa khác

Có thể tóm tắt ngắn gọn phương pháp nghiên cứu của chúng tôi bằng sơ đồ sau
Cơ sở lí luận

Tổng hợp các nghiên cứu
tri thức luận về khái niệm
đạo hàm

Nghiên cứu thể chế dạy
học khái niệm đạo hàm
trên quan điểm so sánh

Làm rõ nghĩa
và ứng dụng
của khái
niệm đạo
hàm trong
thực tiễn và
các khoa học
khác

khác
Xây dựng các tình huống dạy học.
Thực nghiệm


11

CHƯƠNG 1.
CƠ SỞ LÍ LUẬN
Trong chương này, chúng tôi trình bày những yếu tố cơ bản nhất làm nền tảng

là tìm hiểu quan hệ cá nhân R(X, O), chúng ta cần tìm hiểu thể chế I mà đối tượng tri
thức O đang tồn tại trong đó, hay nói khác đi là tìm hiểu những ảnh hưởng của thể
chế lên đối tượng tri thức O, nói theo thuyết nhân học là tìm hiểu quan hệ thể chế R(I,
O). Câu hỏi đặt ra là quan hệ thể chế R(I,O) được thể hiện dưới hình thức nào, dựa
vào đâu để có thể mô tả được mối quan hệ thể chế với một tri thức? Việc giải đáp cho
câu hỏi này sẽ cung cấp cho chúng ta một phương pháp luận phân tích mối quan hệ
thể chế với đối tượng tri thức được nghiên cứu. Phương pháp này gắn liền với một
khái niệm cơ bản trong Thuyết nhân học, khái niệm mà chúng tôi muốn nhắc đến là
khái niệm “Tổ chức toán học” trong Didactic Toán.
1.1.2. Tổ chức toán học
Trong quan hệ thể chế R(I, O) luôn có các hoạt động để đối tượng tri thức O
tồn tại, các hoạt động đó vận hành như một tổ chức gồm 4 thành phần T , , , 
trong đó T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật giải quyết T ,  là công nghệ giải
thích kỹ thuật  ,  là lý thuyết giải thích cho công nghệ  . Thuyết nhân học gọi các
tổ chức này là các praxéologie. Trong trường hợp T là một kiểu nhiệm vụ toán học
thì người ta nói rằng đó là một praxéologie toán học hay một tổ chức toán học
(organisation mathématique). Các tổ chức toán học đó cho chúng ta biết đối tượng O
“sinh sống” như thế nào trong thể chế I. Việc phân tích các tổ chức toán học liên quan
đến đối tượng tri thức O sẽ làm rõ mối quan hệ R(I, O), từ đó hiểu được mối quan hệ
R(X, O).
Rõ ràng thuyết nhân học là một công cụ đặc thù giúp chúng tôi tìm kiếm câu
trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu mà chúng tôi đã nêu.
Khi đã làm rõ được những yếu tố khiếm khuyết trong mối quan hệ cá nhân của
chủ thể về đối tượng tri thức mà chúng tôi quan tâm thì với mục đích nghiên cứu đã


13

xác định, chúng tôi phải tìm cách bổ sung những khiếm khuyết đó thông qua việc
thiết kế và thực hiện các tình huống dạy học. Tuy nhiên để có thể thiết kế được các


Theo tác giả Lê Thị Hoài Châu, mỗi một khoa học nghiên cứu sự vận động và
phát triển các sự vật, hiện tượng trong tự nhiên theo những góc độ khác nhau. Mặt
khác, các sự vật, hiện tượng này đều tồn tại và phát triển trong một thể thống nhất
gồm nhiều mối quan hệ. Chính vì vậy, muốn hiểu về nó một cách đầy đủ thì không
thể chỉ dùng một khoa học đơn lẻ nào đó mà phải phối hợp các khoa học khác nhau
để giải thích cho sự tồn tại và vận động của sự vật hiện tượng đó.
Theo Xavier Roegiers, trong thời đại bùng nổ thông tin, sự gia tăng về số lượng
và khả năng dễ tiếp cận của các thông tin đã dẫn đến chức năng truyền thống của
người giáo viên là truyền đạt kiến thức cho người học ngày càng mất ý nghĩa, vì các
kiến thức và thông tin có thể được tiếp nhận một cách dễ dàng bằng nhiều phương
tiện khác nhau. Rõ ràng sự cần thiết phải thay đổi chức năng của người dạy trở thành
phát triển năng lực huy động các kiến thức ở các lĩnh vực khác nhau để giải quyết các
vấn đề của thực tiễn cho người học.
Từ ba lí do trên cho thấy sự cần thiết phải tích hợp trong dạy học bởi vì các
mục tiêu mà nó nhắm đến như sau:
“- Làm cho các quá trình học tập có ý nghĩa bằng cách gắn nó với cuộc sống
hàng ngày, hòa nhập thế giới học đường với thế giới cuộc sống.
- Hình thành năng lực cơ bản, cần thiết cho việc vận dụng vào xử lí các tình
huống của cuộc sống và đặt cơ sở không thể thiếu cho quá trình học tập tiếp
theo của học sinh
- Dạy sử dụng kiến thức trong những tình huống cụ thể. Thay vì tham nhồi nhét
cho học sinh nhiều kiến thức lí thuyết đủ loại, dạy học tích hợp chú trọng tập
dượt cho học sinh vận dụng kiến thức, kĩ năng học được vào các tình huống
thực tế, có ích cho cuộc sống sau này của một công dân có năng lực sống tự
lập
- Xác lập mối liên hệ giữa các khái niệm đã học. Trong quá trình học tập, học
sinh có thể lần lượt học những môn học khác nhau, những phần khác nhau
trong mỗi môn học. Nhưng họ phải biết biểu đạt các khái niệm đã học trong




16

hiện theo hai phương thức: tích hợp trong nội bộ môn toán, tích hợp liên môn và gắn
toán học với thực tiễn. Cả hai phương thức này đều nhắm đến mục tiêu nâng cao năng
lực toán học phổ thông cho học sinh.
Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài, chúng tôi quan tâm đến phương thức
tích hợp liên môn và gắn toán học với thực tiễn. Phương thức này được bộc lộ rõ qua
việc gắn dạy học toán với mô hình hóa. Vì lẽ đó mà không thể không kể đến nền tảng
lí thuyết về “Mô hình hóa trong dạy học Toán” hay “Mô hình hóa toán học”.
1.2.5. Mô hình hóa toán học
Khái niệm “Mô hình hóa toán học” thực chất là “Toán học hóa các tình huống
của thực tế”, nghĩa là “xây dựng một mô hình toán học thích hợp cho phép tìm câu
trả lời cho tình huống” (Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.25)
Quá trình mô hình hóa toán học được mô tả qua 4 bước
“Bước 1. Xây dựng mô hình trung gian của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý
nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập các qui luật mà chúng ta phải tuân
theo.
Bước 2. Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng
ngôn ngữ toán học cho mô hình trung gian. Lưu ý là ứng với vấn đề đang xem xét có
thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo chỗ các yếu tố nào của hệ thống
và mối liên hệ nào giữa chúng được xem là quan trọng.
Bước 3. Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành
ở bước hai. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương
pháp giải cho phù hợp.
Bước 4. Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba. Ở đây người
ta phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế
hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia.”
(Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.25)


18

Chúng tôi muốn làm chủ, điều khiển các tình huống mà chúng tôi đưa ra nhằm
đạt được mục tiêu dạy học. Do vậy sự cần thiết phải có nền tảng lý thuyết về khái
niệm biến của Lý thuyết tình huống.
1.3. Lý thuyết tình huống – Biến dạy học
Biến dạy học có thể hiểu là những yếu tố cấu thành nên một tình huống mà
việc thay đổi giá trị của biến có thể làm thay đổi đặc trưng của những chiến lược giải.
GS TSKH Nguyễn Bá Kim đã nhận định và làm rõ được rằng:
“Học tập là một sự chỉnh lí kiến thức do bản thân người học thực hiện, còn người
dạy chỉ phải gợi ra sự chỉnh lí đó bằng cách lựa chọn những giá trị của những biến
dạy học” (trích theo Trần Anh Dũng, 2013, tr.35)

Vì vậy vận dụng khái niệm biến trong việc thiết kế các tình huống dạy học là
cần thiết để đạt được mục tiêu nghiên cứu của chúng tôi.


19

CHƯƠNG 2
TÌM HIỂU CÁC NGHĨA KHÁC NHAU
CỦA KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
2.1. Mục đích nghiên cứu của chương
Trong chương này chúng tôi tiến hành tổng hợp các công trình đã có về nguồn
gốc hình thành, quá trình tiến triển của khái niệm đạo hàm đồng thời bổ sung thêm
một số phân tích nhằm làm rõ các nghĩa khác nhau của khái niệm này. Ngoài ra chúng
tôi tìm hiểu thêm vai trò và chức năng của các nghĩa đó trong thực tiễn cuộc sống và
các khoa học khác. Kết quả nghiên cứu của chương sẽ giúp chúng tôi trả lời cho các
câu hỏi CH1: