Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

TÍNH GIÁN TI P TH TÍCH KH I A DI N
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng gi ng Tính gián ti p th tích kh i đa di n thu c khóa h c:
Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng
ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t, AB  a , AD  a 3, SA  2a và SA
vuông góc v i m t đáy ABCD . M t m t ph ng đi qua A và vuông góc v i SC c t SB, SC, SD l n l
t i H , I , K . Tính th tích c a kh i chóp đ

t

c t o b i 5 đi m S, A, H , K, I theo a .
Gi i:

+) Ta có AC  AB2  BC 2  a 2  3a 2  2a  SA

S

Suy ra tam giác SAC vuông cân t i A  SI  IC 

SI 1

SC 2


4a 2
4
SK SA2
SA2




2
2
2
2
2
4a  3a
7
SD SD
SA  AD

K

D

A

B

C

V

1
1
1
Ta có VS. AHKI  SAS
(2*).
. ABCD  SA. AB. AD 
3
3
2
3

Thay (2*) vào (*) ta đ

c: VS. AHKI

4a 3 3
.

35

CHÚ Ý :




bài toán này ta có th ti p c n theo ph

ng pháp tr c ti p.

Trong quá trình d y h c c a mình, đã có h c sinh v hình và gi i bài này nh sau


K
H

SH SA2
SA2
4a 2
4
 2 2


SH .SB  SA2 
2
2
2
SB SB
SA  AB
4a  a
5
T ng t ta có AK  SD , khi đó:
SK.SD  SA2 
+) Ta có

VS. AHK
VS. ABD

I
A

D

35

VS. AIK
2
2 1
1
SI SK 1 4 2
.

 .   VS. AIK  VS. ACD  . VS. ABCD  VS. ABCD
7
7 2
7
VS. ACD SC SD 2 7 7

T (1) và (2), suy ra: VS. AHKI  VS. AHK  VS. AIK 

C

(2)

8
1
13
VS. ABCD  VS. ABCD  VS. ABCD (*)
35
7
35

a3 3


DC, AB và g i SO  ( P )  E
Suy ra góc t o b i (SDC ) và ( ABCD) là SOI  600 ;
góc t o b i ( P ) và ( ABCD) là EJO  300
Khi đó tam giác SIJ đ u .
1
Mà EJO  300  SJI  JE là phân giác c a góc SJI
2
 F là trung đi m c a SI (1) (v i JE  SI  F  ) . M t khác BC // AD  BC // ( P )  BC // MN (2)

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

ng trung bình trong tam giác SBC 

T (1) và (2) suy ra MN là đ

Hình h c không gian

SM SN 1


S . AMN 
 VS. ACD SC SD 2 2 4
4
8

1
1
3
 VS. ABMN  VS. ABM  VS. AMN  VS. ABCD  VS. ABCD  VS. ABCD (*)
4
8
8
a 3
1
1 a 3 2 a3 3
Tam giác SIJ đ u c nh a ( vì IJ  BC  a )  SO 
 VS. ABCD  SO.SABCD  .
.a 
3
3 2
6
2
(2*)

Thay (2*) vào (*) ta đ

3 a3 3 a3 3
c:  VS. ABMN  .
.


, suy ra MC là đ
2

Khi đó: CE  AC  a 2  OE 

AC  E . G i AC

ng trung bình trong tam giác A' AE

3a 2
.
2

M t khác ABCD là hình vuông nên OE  BD  SBDE 
Ta có VA' BMD  VA' BDE  VMBDE
V y VA' BMD 

BD  O .

1
1
3a 2 3a 2

BD.OE  a 2.
2
2
2
2

1

Hình h c không gian

Bài 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , c nh b ng a và BAD  600 . C nh SC
vuông góc v i m t ph ng ( ABCD) và SC 

a 6
. G i K là hình chi u vuông góc c a O lên SA. Tính
2

th tích kh i đa di n SCBDK theo a .
Gi i:
Do ABCD là hình thoi tâm c nh a và BAD  600
a 3
a2 3
 BAD đ u c nh a  OA 
và SBAD 
2
4

 SABCD  2SBAD 

S

1
a3 2
a2 3
, khi đó: VS. ABCD  SC.SABCD 
.
2
3


O
C

D

OK. AC a 2
(vì AC  2OA  a 3 )

SC
2
 BD  ( SAC )
1
a2
1
a3 2
 OK  BD  SBDK  OK.BD  . Suy ra VABKD  AK.SBKD 
L i có 
2
4
3
24
OK  ( SAC )

và AK 

Khi đó VSCBKD  VS. ABCD  VABKD

a 3 2 a 3 2 5a 3 2
.

Ta có VS. ABD  VA.SBD 

O
2

2

BD
3a
a
 a2 
 .
4
4
2

A

B

a3 2
1
1
1 a
.
AO.SSBD  AO.SB.SD  . .a.a 2 
3
6
6 2
12

m t ph ng ( ABCD) . G i M và N l n l t là trung đi m c a AD và SC ; I là giao đi m c a BM và

AC . Tính th tích kh i t di n ANIM .

G i AC

Gi i:
BD  {H } . Ta có I là tr ng tâm tam giác ABD , suy ra:

AI 1
2
2 1
1
AH  . AC  AC 

AC 3
3
3 2
3
V
AI AM 1 1 1
Khi đó: A. NIM 
 .  (1)
.
VA. NCD AC AD 3 2 6
AI 

M t khác:

VA. NCD VC . ADN CN 1

3
2
6

a3 2
72
Nh n xét: Ngoài cách gi i trên các b n có th làm theo cách tính tr c ti p b ng cách xác đ nh chi u cao
1
1
NH c a hình chóp ANIM v i H là trung đi m c a AC và di n tích đáy SAIM  SABD  SABCD .
6
12

Thay (*) vào (2*) ta đ

c: VA. NIM 

2a
. Hình chi u c a
3
A' trên đáy ABCD trùng v i tr ng tâm c a tam giác ABC . L y đi m I trên đo n B ' D và đi m J là
tr ng tâm tam giác ABD sao cho IJ song song v i BC ' . Tính theo a th tích kh i t di n IBB ' C ' .
Gi i:

Bài 7. Cho hình h p ABCD.A' B ' C ' D ' có đáy là hình thoi c nh a , AC  a và AA' 

A'

D'


Hình h c không gian

G i M là trung đi m c a BC .
Do ABC là tam giác đ u c nh a nên

4a 2 a 2
2
2 a 3
a
2
2
 A' G  AA'  AG 

a
AG  AM  .

3
3
3
3 2
3
a2 3
a3 3
.
.a 
4
2
Kéo dài DJ (đi qua trung đi m c a AB ) c t BC t i E , suy ra suy ra B là trung đi m c a EC
Khi đó B ' C ' BE là hình bình hành, suy ra IJ // BC ' // EB ' hay IJ // EB '
V

4
Gi i:

S

N

M

D

A

B

C

Ta có (MBC ) (SAD)  MN (do AD // BC )

đó N  SD

1
1
2
2 3a 2b
Ta có VS. ABCD  SAS
;
. ABCD  SA.2SABD  SA. AB. AD sin 600 
3
3





.
S .MNC
 


 S. ADC
VS. ADC
SA SD  SA   4a 
48
 4a 
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

2

2

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

48
4
48
4a
32a
ho c x 
 9 x2  108ax  128a 2  0  x 
 4a (lo i)
3
3
4a
V y x
là giá tr c n tìm.
3

Giáo viên
Ngu n

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn


ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng