TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
LẦN THỨ NHẤT
NĂM HỌC 2015 – 2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

2x  1
có đồ thị (C ) .
x 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Tìm trên đồ thị (C ) điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm
cận của (C ) là nhỏ nhất.
Câu 2 (1 điểm).
3

1. Tính giá trị của biểu thức P  sin x.cos3x  cos 2 x biết cos2x  , x    ;0  .
Câu 1 (2 điểm).

Cho hàm số y 

5

 2



3



Giải bất phương trình x 3  x  2  2 3 3x  2 .

Câu 9 (1 điểm). Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn x  y  z 

3
. Tìm giá trị nhỏ
2

nhất của P  x3  y 3  z 3  x 2 y 2 z 2 .

---------------------HẾT---------------------Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:…………………………………………………SBD:…………………………………


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
LẦN THỨ NHẤT
NĂM HỌC 2015 – 2016
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN

Câu
Ý
1
1
(2điểm)


x  x  1
bảng biến thiên
x
-∞
-1
+∞
y’
+
+
y

+∞

0,25

0,25

2

2

0,25

-∞

y
6

4



VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang  2 : y  2 là d  M ;  2  
Suy ra d  M ; 1   d  M ;  2   a  1 

1
a 1

1
2
a 1

0,25

Dấu bằng xảy ra khi a = 0 hoặc a = -2
Vậy tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ nhất bằng 2 khi M(0;1) hoặc M(-2;3)

3
16
  
Vì cos2x   sin 2 2 x  mà x    ;0  sin 2 x  0
5
25
 2 
4
Suy ra sin 2 x  
5
sin 4 x  sin 2 x cos2x  1 18
P  sin x.cos3x  cos 2 x 


Hệ số của

2

1

i

10

)   C (2 x)
10

x3

i 0

0,25

10 i

i
10

x5 là C102 .28  1  11520

5i
10 
 1  10 i 10i
i


0,25

1

24

0,25

8

Vậy xác suất để 1 trong 3 toa có 3 trong 4 vị khách là: P  81  27
4
(1điểm)



( x  1)ln x
ln x
dx   ln xdx  
dx .
x
x

0,25

 ln xdx  x ln x   xd ln x  x ln x   dx  x ln x  x  C

1


MB(2  x;7  y;5)
 MAMB  0

Vì ABCD là hình vuông nên tam giác MAB vuông cân tại M  

0,25

 MA  MB
(4  x)(2  x)  (1  y )(7  y )  25  0
x  1



2
2
2
2
(4  x)  (1  y )  25  (2  x)  (7  y)  25  y  3

0,25

Vậy M(1;3;0)
Vì M là trung điểm của AC và BD nên C(-2;7;-5); D(4;-1;-5)
6
(1
điểm)

+) Tính thể tích

0,25

(đvtt)
 VSABCD 
2
12

M

C

0,25

+) Tính khoảng cách:
Dựng hình bình hành ABME
Vì BM//(SAE)  d  SA, BM   d ( M ,( SAE ))  2d ( D,( SAE ))

 4d ( H ,( SAE ))
Kẻ HI  AE; HK  SI ,( I  AE, K  SI )
Chứng minh HK  ( SAE )  d ( H ,( SAE ))  HK
DE. AH
a

Vì AHI AED  HI 
AE
2 5
1
1
1
304
a 15


1
Ta có KBD  ( ABC  BAC )  BKD
2

A

K

Nên tam giác KBD cân tại D

I

B

0,25
C

D

Gọi D(5-3a,a) thuộc AK. Vì D khác A nên a  2 .Ta có
 a  2(l )
3 2
3 2
2
2
ID  IA  (5  3a  )  (a  2)  (1  )  (2  2)  
1
a 
2
2

2
2
 x  y  7 x  y  10  0
 DB  DK
( x  )  ( y  ) 

2
2
2
 x  4; y  2(tm)
 x 2  y 2  3x  4 y  0 


5
5
 x  ; y   (l )
4
x

3
y

10

0

8
2




2

0
Chứng minh 1 
2
2
 x  x 3 3x  2  3  3x  2  


x  1
3

(x

3x

2)

0

 x  2
Suy ra bất phương trình

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  ; 2  1

0,25

0,25


27 9
 ( xy  yz  zx)
8 2
1
1 13
27 9
215 9
 9 13 
 ( xyz  )2   xyz 
 ( xy  yz  zx) 
 ( xy  zx)  yz   x 0,25
8
64 4
8 2
64 2
2 4 

có P  x  y  z  x y z  x y z  3xyz 
3

3

3

2

2 2

2


  9 13 
 1
 x(  x)    x    x  , x  0; 
Xét f ( x) 
64 2 2
4 2
 2 4 
 2
1 25
 1
Hàm số f(x) nghịch biến trên 0;   f ( x)  f ( ) 
2 64
 2
Vậy GTLN của P bằng

25
1
đạt khi x = y = z =
2
64

Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa

0,25