Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số
2 4

1
x
y
x
−
=
+
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho A
và B đối xứng nhau qua đường thẳng có phương trình: x + 2y +3= 0.
Câu II: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
sin 2 1
2 os
sin cos
2.tan
x
c x
x x
x
+ =
+
.
2. Giải hệ phương trình:
2 2 2 2
2
1 3

3
4
.
Chứng minh rằng:
3 3 3
1 1 1
3
3 3 3a b b c c a
+ + ≥
+ + +
Câu VI: (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (2; 1) và đường thẳng ∆ : x – y + 1 = 0.
Viết phương trình đường tròn đi qua M cắt ∆ ở 2 điểm A, B phân biệt sao cho ∆MAB vuông
tại M và có diện tích bằng 2.
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
2 1
1 1 1
x y z− −
= =
− −
và mặt phẳng
(P) : ax + by + cz – 1 = 0
2 2
( 0)a b+ ≠
. Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua
đường thẳng d và tạo với các trục Oy, Oz các góc bằng nhau.
Câu VII: (1,0 điểm)
Xét số phức z thỏa mãn điều kiện :
3 1z i− =
, tìm giá trị nhỏ nhất của

+

Hs đồng biến trên mỗi khoảng
( ; 1)−∞ −
và
( 1; )− +∞
, hs không có cực trị.
0,25
Giới hạn:
1 1
lim 2, lim , lim
x
x x
y y y
− +
→±∞
→− →−
= = +∞ = −∞

=> Đồ thị hs có tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = 2
0,25
BBT
x -
∞
-1 +
∞
y’ + +
y

+

có 2 nghiệm phân biệt khác - 1
2
8 32 0 (1)m m⇔ − − >
0,25
2
(1 điểm)
Gọi I là trung điểm AB có
2 4
2
2
A B
I
I I
x x m
x
m
y x m
+ −

= =




= + =


Do AB vuông góc với
∆
nên A, B đối xứng nhau qua đường thẳng

0
cossin
cos2
sin2
cos
2
=






−+⇔
=
+
−⇔
xxx
xx
x
x
x
π

0,25
+)
.,
2
0cos ∈+=⇔= kkxx
π

2
4
2
4
2
2
4
2
)
4
sin(2sin
ππ
π
π
π
π
π
π
π
π

.,
3
2
4
∈+=⇔ t
t
x
ππ
0,25

ta có hệ:
0,25
2 2 2 2
2 ( ) 2 4
2 2
3 3
2 2
u v u v u v uv
u v u v
uv uv
 
− = > + = +
 
⇔
 
+ + + +
− = − =
 
 
0,25
2
2 4 (1)
( ) 2 2
3 (2)
2
u v uv
u v uv
uv

+ = +

(1 điểm)
2 2 2
cos cos
0 0 0
( sinx).sin 2 . 2 .cos .sin . sinx.sin 2 .
x x
e x dx e x x dx x dx
π π π
+ = +
∫ ∫ ∫
0,25
2
cos
0
.cos .sin .
x
I e x x dx
π
=
∫
Đặt t = cosx có I =
1 1
1
0
0 0
. . . . 1
t t t
t e dt t e e dt= − =
∫ ∫
0,25

' 30BC C =
BA = BC = r
0
' cot 30 3CC BC r= =
0,25
3
0
'. EF . EF . EC '.
1 1 1 1
. .
AA'. . .sin120
8 3 8 2 32
A K C K F K A ABC
r
V V V V BA BC= = = = =
0,25
Gọi H là trung điểm của AC ta có FH // AA’ suy ra FH
⊥
(ABC) và
2
r
HK HB HE= = =
Gọi J là trung điểm KF, trong mp (FKH) đường trung trực của FK cắt FH tại I, I chính là
tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE
0,25
2 2 2 2
FK FH KH r= + =
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE
2 2
. 3

)zyx(
3
3
++
≥++⇒=≥








++++
(*)
áp dụng (*) ta có
333333
a3cc3bb3a
9
a3c
1
c3b
1
b3a
1
P
+++++
≥
+
+

3 3 3
1
a 3b b 3c c 3a 4 a b c 6
3
+ + + + + ≤ + + +
 
 
1 3
4. 6 3
3 4
 
≤ + =
 
 
0,25
Do đó
3P ≥
; Dấu = xảy ra
3
a b c
1
a b c
4
4
a 3b b 3c c 3a 1

+ + =

⇔ ⇔ = = =


2 2
MAB
S MH AB R R
∆
= ⇔ = ⇔ =
0,25
Vì đường tròn qua M nên
2 2
(2 ) (1 ) 2 (2)a b− + − =
Ta có hệ
2 2
1 0 (1)
(2 ) (1 ) 2 (2)
a b
a b
− + =


− + − =

0,25
Giải hệ được a = 1; b = 2. Vậy (C) có phương trình
2 2
( 1) ( 2) 2x y− + − =
0,25
Đường thẳng d qua M (0, 2, 1) có VTCP
(1, 1, 1)u − −
r
(P) có VTPT
( , , )n a b c

( )P
: y - z - 1 = 0 (thỏa mãn)
Vậy (P) có phương trình y - z - 1 = 0
0,25
VII
(1 điểm)
Đặt z = x + iy ta có
2 2
3 1 ( 3) 1z i x y− = ⇔ + − =
0,25
Từ
2 2
( 3) 1x y+ − =
ta có
2
( 3) 1 2 4y y− ≤ ⇔ ≤ ≤
0,25
Do đó
2 2 2
0 2 2z x y= + ≥ + =
0,25
Vậy giá trị nhỏ nhất của
z
bằng 2 đạt khi z = 2i
0,25
6