A.

KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1)

Phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c =0 (a 0) với x là ẩn và a, b, c là

≠

∆ = b 2 − 4ac

các hệ số của phương trình. Ta có:
-

-

2)

Nếu
Nếu
Nếu

∆
∆

∆



∆

)(

=

∆

)

x1, x2

−b
a
=

c
a

BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Bài toán liên quan tới nghiệm phương trình bậc 2 và hệ thức Viet.
Bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
Phương trình có nghiệm khi

∆≥0

(hoặc

Phương trình có nghiệm phân biệt khi


≠

2

(

B.
•
1)

b
2a

(với m là tham số)


Giải

Ta có:

a = 1;

b = −2( m + 1) ⇒ b ' = −( m + 1);

c = m2 − 3

∆ ' =  − ( m + 1)  − (m 2 − 3)
= m 2 + 2m + 1 − m2 + 3
= 2m + 4


m > −2

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

Phương trình có nghiệm kép khi

∆'

Tương tự như trên thì ta thu được
⇒

2.

m > −2

=0:

m = −2

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

m = −2


Cho phương trình

Ví dụ 2.

mx 2 + (2m + 1) x + m − 2 = 0


∆ = ( 2m + 1)

2

− 4m ( m − 2 ) = 4m 2 + 4m + 1 − 4m 2 + 8m = 12m + 1

Xét
Phương trình trên có nghiệm khi
⇔m≥

−1
12

Kết hợp (1) và (2) ta được:
m≥

Vậy với

0

(2)
m≥

⇒

∆ ≥ ⇔ 12m + 1 ≥ 0

−1
12

∆ = (m + 2) 2 − 4.(m − 15) = m 2 + 4m + 4 − 4m + 60 = m2 + 64 > 0

Ta có

∆

luôn luôn lớn hơn 0 vì m2 là một số luôn dương. Suy ra m2 + 64 là

một số luôn dương.
⇒

Vậy phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt (đpcm).
b.

Theo yêu cầu đề bài thay x=-9 vào phương trình ta được:
( −9) 2 + ( m + 2)(−9) + m − 15 = 0
⇔
81 − 9m − 18 + m − 15 = 0
⇔
8m = 48
⇔
m=6

⇒

Vậy với m=6 thì phương trình nhận x=-9 là nghiệm .
2)
-

Tính toán các biểu thức liên quan tới nghiệm của phương trình bậc hai.

Giải
a.
b.

Bạn đọc tự giải.
Xét phương trình:

x 2 − 5x + 1 = 0

Ta có: a=1; b=-5;

Áp dụng định lý Viet ta được:

Vậy:

c=1
−b

x
+
x
=
=5
1
2


a

c



Giải phương trình khi

a)

m = −3

Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa mãn hệ thức

b)

x12 + x22 = 10

Giải
Với

a.

m = −3

thay vào phương trình (1) ta được:

x 2 − 2( −3 − 1) x + 3 − 3 = 0
⇔ x2 + 8x

=0

⇔ x ( x + 8)


Dễ thấy

∆'

2

là biểu thức luôn lơn hơn 0

∀m

. Do đó phương trình luôn có hai nghiệm

phân biệt.

Theo định lý Viet ta có:

Mặt khác ta có:

 x1 + x2 = 2(m − 1)

 x1 x2 = −m − 3

x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 = 10

Thay (1), (2) vào (3) ta được:

(1)
(2)

(3)


Chứng minh rằng:

M = x1 + x2 + x1 x2

tồn tại không phụ thuộc vào tham số m.

Giải
Ta có:

a = 1;

b = m + 3;

Theo định lý Viet ta được:

Do đó:

c = m −1

−b

x1 + x2 =
= −m − 3


a

c


theo m

Từ một trong hai đẳng thức của hệ thức Viet tính m theo
x − 2mx + m + 2 + m = 0
2

Cho phương trình:

Ví dụ 7.

x1 , x2

.

2

(với m là tham số) hãy tìm m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt sau đó thiết lập biểu thức liên hệ
giữa hai nghiệm sao cho biểu thức ấy không phụ thuộc vào tham số m.
Giải

Ta có:

a = 1;

b = −2m ⇒ b ' = − m;

c = m2 + m + 2


m < −2


2

Từ (1’) thay vào (2) ta được:

x +x  x +x
x1 x2 =  1 2 ÷ + 1 2 + 2
2
 2 

2

⇒

Vậy

x +x  x +x
x1 x2 =  1 2 ÷ + 1 2 + 2
2
 2 

là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm mà nó

không phụ thuộc vào tham số m.
4)

Tìm điệu kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn một tính
chất cho trước.

c = 3m − 1

x1 , x2

(với m là tham số). Tìm
sao cho hai nghiệm đó


∆ =  − ( m + 4 )  − 4(3m − 1)
2

= m 2 + 8m + 16 − 12m + 4
= m 2 − 4m + 16 + 4
= (m − 2) 2 + 16

Hiển nhiên

∆>0

vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Theo định lý Viet ta có:
 x1 + x2 = m + 4

 x1 x2 = 3m − 1

Xét hệ thức:

x12 + x22 − x1 x2 = 7



Ta thấy phương trình
m để

Ví dụ 9.

x12 + x22 − x1 x2 = 7

1  47

=0
m − ÷ +
2
4


là vô nghiệm vậy nên không thể tồn tại

.

Xét phương trình :

x 2 − (m + 2) x + m − 3 = 0

(với m là tham số)


a)

b)

b.

Theo định lý Viet:

 x1 + x2 = m + 2

= m−3
 x1 x2

Ta có:
x1
x
x 2 + x22
( x + x2 ) 2 − 2 x1 x2
+ 2 = 1
= 1
x2
x1
x1 x2
x1 x2
( m + 2) 2 − 2( m − 3)
m−3
m 2 + 2m + 10
=
m−3
2
m − 3m + 5m − 15 + 25
=
m−3
25


hay

25
∈¢
m−3

Ư(25)

= { ±1, ±5, ±25}

Xét bảng giá trị sau:

Vậy với

Ví dụ 10.

m-3

-25

-5

-1

1

5

25


Chứng minh răng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
trị của m sao cho

T = x12 + x22 − x1 x2

nhận giá trị nhỏ nhất.

Giải

Ta có:

a = 1;

b = −(m − 1);

c = −a 2 + a − 4

x1 , x2

. Tìm giá


∆ =  − ( m − 1)  − 4.1.(−m 2 + m − 4)
= m 2 − 2m + 1 + 4m 2 − 4m + 16
2

= 5m 2 − 6m + 17
6
17

= 4m 2 − 5m + 13
5 25 25
= (2m) 2 − 2.2m. + − + 13
4 16 16
2

5  183

=  2m − ÷ +
4  16

2

Vì:

5

 2m − ÷ ≥ 0
4


⇒T ≥

với mọi m

183
16

x1 , x2


8

(a ≠ 0)

Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt .
Định lý Viet:
−b

S
=
x
+
x
=
1
2

a

P = x x = c
1 2

a
x1
•

x1
•

x1

P > 0 hay c/a > 0
⇔

P > 0 và S > 0

P > 0 và S < 0

x 2 + mx − m 2 − 5 = 0

Cho phương trinh sau đây:
(với m là tham số)
Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó

Ví dụ 11.

luôn trái dấu nhau.
Giải

Ta có:

a = 1;

b = m;

c = −m 2 − 5


∆ = m 2 + 4(m 2 + 5) = 5m 2 + 20

Hiển nhiên


b)

theo m.
Tìm m để hai nghiệm đã cho lớn hơn hoặc bằng 1.
Giải

a.

* Ta có:

a = 1;

b = −3;

c = m− 2

∆ = (−3) 2 − 4.( m − 2) = 17 − 4m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
m
0 ⇔ m

thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân

biệt cùng dương.

* Tính

M = x1 + x2

M2 =

Xét:

(

x1 + x2

)

2

= x1 + 2. x1 x2 + x2 = 3 + 2 m − 2

⇒ M = M 2 = 3+ 2 m − 2

b.

(2)

2

⇒

4≤m

 P = x1 x2 = 1 + 3 2 − 3 = ( 3 − 1)

(

)(

)

Theo định lý Viet đảo thì phương trình bậc 2 nhận hai nghiệm
x2 = 2 − 3

Ví dụ 14.

làm nghiệm là:

Xét phương trình:

x 2 − 3x +

x2 − 7 x + 3 = 0

3 −1 = 0

x1 = 1 + 3

và


a)


c=3

∆ = (−7) 2 − 4.1.3 = 37 > 0

⇒

Phương trình tồn tại hai nghiệm phân biệt

Theo định lý Viet ta có:

Do đó:
P


x + x2 =

 1

 xx =
1 2



x1 , x2

−b
=7
a
c
=3


+ x )
2
2

= 5 x1 x2 − 2 ( x1 + x2 )


= 5.3 − 2  7 2 − 2.3


2

− 2 x1 x2 


= −71

⇒

Vậy phương trình bậc hai nhận

y1 , y2

là nghiệm là:

y 2 − 7 y − 71 = 0


b.


•
1)
-

Phương trình quy về phương trình bậc hai.
Phương trình trùng phương.
Là phương trình có dạng sau:

ax 4 + bx 2 + c = 0

( a ≠ 0)

⇔ a( x 2 ) 2 + bx 2 + c = 0
-

Với việc đặt
sau

t = x 2 (t ≥ 0)

at 2 + bt + c = 0

, ta được phương trình bậc 2 mới với ẩn là t như

từ đây bằng phương pháp giải phương trình bậc hai ta có

thể tìm t và suy ra x dễ dàng.
Ví dụ 1.



−b − ∆ −1 − 289 −9
=
=
2a
4
2

t1 =

Mà
⇒

phương trình có 2 nghiệm phân biệt như sau:

t = x2

, với

t2 =

(loại);

t = 4 ⇒ x 2 = 4 ⇔ x = ±2

Vậy phương trình trên có nghiệm là

−b + ∆ −1 + 289
=
=4

t = x 2 + ax + bx = x 2 + cx + dx

với cạch đặt trên ta sẽ đưa

được phương trình về dạng đơn giản và tiến hành giải như bình thường.
Ví dụ 2.

Giải phương trình sau:

( x + 1)( x + 3)( x + 5)( x + 3) = 9

Giải


( x + 1)( x + 3)( x + 5)( x + 7) = 9
⇔ ( x + 1)( x + 7)( x + 3)( x + 5) = 9
⇔ ( x 2 + x + 7 x + 7)( x 2 + 3 x + 5 x + 15) = 9
⇔ ( x 2 + 8 x + 16 − 9)( x 2 + 8 x + 16 − 1) = 9

Đặt

t = x 2 + 8 x + 16 = ( x + 4) 2

Ta được:

(t ≥ 0)

(t − 9).(t − 1) = 9

⇔ t 2 − 9t − t + 9


3)

e d 
= ÷
a b

Phương trình bậc 4 hồi quy với
- Để giải phương trình bậc 4 hồi quy ta đi xét x=0 có phải là nghiệm của
phương trình hay không.


-

Nếu x=0 không phải là nghiệm của phương trình ta tiến hành chia 2 vế
x2

của phương trình cho
như sau:
4
3
2
ax + bx + cx + dx + e

=0

d
e
+ 2
=0


Đặt

d
t = x + ⇒ t2
bx

2

d 

=x+ ÷
 bx 

x2 +

( Ta sẽ tính được

Giải phương trình sau đây:

theo t )

x + 4 x + 5x − 4x + 1 = 0
4

Ví dụ 3.

e
ax 2


1
1
+ 2 ⇒ x2 + 2 = t 2 − 2
2
x
x

khi đó

Khi đó phương trình (1) trở thành:

t 2 − 4t + 3 = 0


Vì tổng các hệ số của phương trình

t 2 − 4t + 3 = 0

bằng 0 nên đễ thấy

t =1

hoặc

t =3
t =1⇔ x +

Với
t =3⇔ x+


2

.

kx
hx
+ 2
=Z
ax + bx + c ax + dx + c
2

4)
-

Phương trình dạng:
Để giải phương trình dạng trên ta cũng tiến hành xét x=0 có phải là nghiệm

-

của phương trình hay không.
Nếu x=0 không phải là nghiệm của phương trình ta chia cả tử và mẩu của
k
ax + b +

phương trình cho x như sau:
t = ax +
-

Đặt




Xét với x=0 ta có

0 0
− =1
1 1

(vô lý)

Chia cả tử và mẩu của phương trình cho x ta được:
6
1
x +1+
x

−

1
1
x −1+
x

t = x+

Đặt

1
x


=0

t = 2
⇔ 
t = 3

t =2⇔ x+

Với

1
= 2 ⇒ x =1
x

(t ≠ ±1)


t =3⇔ x+

Với

1
3± 5
= 3⇒ x =
x
2

x = 1, x =

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: