TR

S GD& T NGH AN
NG THPT CHUYÊN PHAN B I CHÂU

THI TH THPT QU C GIA
N M H C 2015 – 2016; MÔN: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian giao đ

Câu 1 (1,0 đi m) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s y 
Câu 2 (1,0 đi m) Tìm đi m M thu c đ th hàm s

y

M cùng v i hai tr c t a đ t o thành m t tam giác cân.
Câu 3 (1,0 đi m)

x
sao cho ti p tuy n c a đ th hàm s t i
1 x

1 

a) Tìm s h ng đ ng chính gi a trong khai tri n  x3  2 
x 

C21n1  C22n1  ...  C2nn1  220  1

b) Gi i ph

x

Câu 7 (1,0 đi m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AB  2a , BD  AC 3 và I là
giao đi m c a AC và BD; tam giác SAB cân t i A; hình chi u vuông góc c a S lên m t ph ng đáy
trùng v i trung đi m H c a AI. Tính th tích kh i chóp S.ABCD và kho ng cách gi a hai đ ng
th ng SB v i CD.
Câu 8 (1,0 đi m) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho đ
Tìm đi m M

Ox sao cho t M k đ

bi t A, B th a mãn đ

c đ n (C) hai đ

ng tròn  C  :  x  1   y  4   4 .
2

2

ng th ng ti p xúc v i (C) t i hai đi m phân

ng th ng đi qua A, B ti p xúc v i đ

ng tròn  C1  :  x  3   y  1  16
2

2

)
Câu 9 (1,0 đi m) Gi i ph ng trình 7 x2  20 x  86  x 31  4 x  x2  3x  2 ( x
Câu 10 (1,0 đi m) Cho a, b, c là các s th c không âm th a mãn abc = 1 và a + b ≤ 1. Tìm giá tr

Gi i h n: lim y  ; lim y    x  1 là ti m c n đ ng
x1

x1

lim y  lim y  1  y  1 là ti m c n ngang.

x

x

B ng bi n thiên:
x –∞
y’
y

3.

+∞

1
+

–1

+

+∞
–∞


ng trình ti p tuy n v i đ th hàm s t i đi m M là :
1

1  m

2

.  x  m 

m
d 
1 m

ng th ng (d) c t Oy, Ox l n l
Tam giác OAB vuông cân

OA  OB  tan  

t t i A và B và có h s góc tan  

1

1  m

2

O, nên:

OA
1


>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

3


n

10

10
10 i  1 
 3 1   3 1 




x
x
C10i .  x3  .  2 



2 
2 
x  
x 

x 
i 0


ng trình đã cho là S= 1;3

Câu 4
I    esin x  cos x cos xdx
  esin x .cos xdx   cos 2 xdx
 I1  I 2
I1   esin x .cos xdx
t  sin x  dt  cos xdx
I1   et dt  et  C  I1  esin x  C
I 2   cos 2 xdx  


1  cos 2 x
1 1

dx     cos 2 x  dx
2
2 2


x 1
 sin 2 x  C
2 4

I  I1  I 2  esin x 

x 1
 sin 2 x  C
2 4


(P)

E(3 + 2t;3 + t; 3 – t)
2(3 + 2t) + (3 + t) – (3 – t) + 6 = 0

t = –2

E(–1;1;5)

Ta có:
2

2



 
2

MA2  MB2  MA  MB  MI  IA  MI  IB



 2MI 2  IA2  IB2  2MI IA IB



 2MI 2  2 IA2 do IA IB  0


5
cot   2 

V y

cos 
cos 
sin 
M

3
cos3 
sin   3cos3 
sin 2   3
sin 
cot 

2
sin   3cos 2  .cot 
2

5
b) G i A là bi n c “2 h c sinh đ

c ch n không thu c cùng m t kh i”.

S ph n t c a không gian m u là s cách ch n 2 h c sinh t 9 h c sinh, b ng C92  36
Tính s k t qu có l i cho A:
N u trong 2 h c sinh có 1 h c sinh l p 10 và 1 h c sinh l p 11 thì s cách ch n b 2 h c sinh đó là
4.3 = 12


∆ SAB cân

A nên SA = AB = 2a.

∆ SHA vuông

H:

SH  SA2  AH 2 

a 15
2

Vì ABCD là hình thoi nên SABCD 

1
1
AC.BD  AC 2 3  2a 2 3
2
2

Th tình hình chóp:
1
1 a 15
VS. ABCD  SH .SABCD  .
.2a 2 3  a 3 5
3
3 2



Suy ra d (SB; CD) = 4HK.
Ta có : AHJ

ABI ( g.g ) 

HJ AH
BI . AH a 3

 HJ 

4
BI
AB
AB

Tam giác SHJ vuông t i H nên
1
1
1
a 35


 HK 
2
2
2
14
HK
HJ


(luôn th a mãn)

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

8


G i t a đ A, B là A xA; yA  ; B  xA; yB  . Ph

ng trình ti p tuy n t i A, B c a (C) l n l

t là

xA.x  yA. y   x  xA   4  y  yA   13  0  d1 
xB .x  yB . y   x  xB   4  y  yB   13  0  d 2 

Do

M   d1  , M   d 2 
mxA   m  xA   4 yA  13  0

mxB   m  xB   4 yB  13  0
Suy ra ph

ng trình đ

ng th ng AB là

mx   m  x  4 y  13  0   m  1 x  4 y  13  m  0

7 x2  20 x  86  x 31  4 x  x2  3x  2 1
2

7 x  20 x  86  0
K: 
2

31  4 x  x  0

Xét TH

x  2
 x  2  19
7 x2  20 x  86  x  2   2
6 x  24 x  90  0

Th l i ta th y x  2  19 không là nghi m c a ph

ng trình (1)

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

9


7 x2  20 x  86  x  2  x  2  19 *

Do đó

V i K (*), ta có:


x  x2  4 x  15 
31  4 x  x2  4

0

0

 x2  4 x  15  0  2 


6
x

 0  3
2
 7 x  20 x  86  2  x
31  4 x  x2  4

 2  x  2 

 3  6

19 (th a mãn đi u ki n) ho c x  2  19 (lo i vì không th a mãn (*))

31  4 x  x2  24  x 7 x2  20 x  86  2 x  x2

7 x2  20 x  86  3x  2  x 31  4 x  x2 (rút ra t (1)), ta đ

Thay


Th l i tr c ti p vào ph

ng trình (1), ta đ

V y t p nghi m c a ph

ng trình (1) là 2  19; 2  34





Câu 10
Áp d ng b t đ ng th c Cô–si cho 2 s không âm ta có:

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! 10


ab 

 a  b

2



4

1


(luôn đúng vì 4ab ≤ 1)
Áp d ng (*) và chú ý abc = 1 ta có:
M

2
1

4
c

 1 c 

Xét f  c  

f 'c 


2c
 1  c trên [4;+∞)
c4

8

 c  4

8 c 1

2c
 1 c

2

V y GTLN c a M là 1  5 .

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! 11