TR

NG THPT CHUYÊN LÀO CAI
T TOÁN – TIN
–––––––

Câu 1 (2.0 đi m). Cho hàm s

THI TH THPT QU C GIA L N 1
N M H C 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút

y  x3  3x2  2

a) Kh o sát s bi n thiên và và v đ th (C) c a hàm s đã cho.
b) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C) bi t ti p tuy n song song v i đ
24x  y  5  0
Câu 2 (1,0 đi m) Gi i ph



ng trình sin x  2sin x  1  cos x 2cos x  3

Câu 3 (1,0 đi m). Cho s ph c z th a mãn h th c  i  3 z 
ph c w  z  i

ng th ng





h t a đ
Oxyz cho m t c u
x6 y 2 z 2
2
2
2
. Vi t ph ng trình


 S  :  x 1   y  2   z  3  9 và đ ng th ng  :
3
2
2
m t ph ng (P) đi qua M(4;3;4), song song v i đ ng th ng ∆ và ti p xúc v i m t c u (S)
Câu 7 (1,0 đi m). Trong m t ph ng t a đ Oxy cho hình vuông ABCD có đ nh C thu c đ ng
th ng d: x + 2y – 6 = 0, đi m M(1;1) thu c c nh BD. Bi t r ng hình chi u vuông góc c a đi m
M trên c nh AB và AD đ u n m trên đ ng th ng ∆: x + y – 1 = 0. Tìm t a đ đ nh C.
Câu 8 (1,0 đi m). Gi i b t ph

ng trình:  x  2 

Câu 9 (1,0 đi m). Cho x, y, z là các s th c d
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P 





2 x  3  2 x  1  2 x2  5 x  3  1

Các kho ng đ ng bi n: (–∞;0) và (2;+∞); kho ng ngh ch bi n (0;2)
–C c tr : Hàm s đ t c c đ i t i x = 0; yC = 2; đ t c c ti u t i x = 2; yCT = –2
–Gi i h n t i vô c c: lim y  ; lim y  
x

x

+B ng bi n thiên
x –∞
y’
y

+

+

–∞

0
0
2

–

2
0

+∞
+
+∞

M(4;18); (d): y = 24x – 78 (th a mãn)

a = –2

M(–2;–18); (d): y = 24x + 30 (th a mãn)

V y ph

ng trình ti p tuy n c n tìm là y = 24x – 78 và y = 24x + 30

Câu 2



sin x  2sin x  1  cos x 2 cos x  3



 2sin 2 x  sin x  2 cos 2 x  3 cos x
 sin x  3 cos x  2  cos 2 x  sin 2 x
1
3
sin x 
cos x  cos 2 x
2
2


 sin  x    cos 2 x
3

18

)

Câu 3

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

3


G i z = a + bi (a, b

).

Suy ra z  a  bi
Ta có:

2i
 2  i z
i
 2  i  i  2  i a  bi
  i  3 a  bi  
 

1
  3a  b    a  3b  i  1  2i   2a  b    a  2b  i

 i  3 z 


S cách ch n 3 h c sinh t 90 h c sinh là C903
+Tính s k t qu có l i cho A:
–TH1: Trong 3 h c sinh đ
Hóa h c:

c ch n, ch có 1 h c sinh ch n môn V t lí và 1 h c sinh ch n môn

1
S cách ch n h c sinh ch n môn V t lí: C30
1
S cách ch n h c sinh ch n môn Hóa h c: C20
1
S cách ch n h c sinh còn l i (không ch n V t lí hay Hóa h c): C40
1
1
1
Theo quy t c nhân, s h c sinh TH này là: C30
.C20
.C40

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

4


–TH2: Có 2 h c sinh ch n môn V t lí, 1 h c sinh ch n môn Hóa h c.
S cách ch n 2 h c sinh ch n V t lí: C302
1
S cách ch n 1 h c sinh ch n Hóa h c: C20
1

Câu 5

+Tính th tích
G i N là trung đi m CD.
Ta có SM

(ABCD) nên (SMN)

MN // BC

MN

CD. Mà SM

(ABCD)
CD nên CD

(SMN)

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

5


Mà CD  (SCD) nên (SCD)

(SMN)

V y m t ph ng (SMN) cùng vuông góc v i (ABCD) và (SCD)
(SMN)  (ABCD) = MN; (SMN)  (SCD) = SN


AH nên (SMH)

AH. Mà MI

AH

SH nên MI

(SAH)

Suy ra d(M; (SAH)) = MI
Tam giác AHM vuông cân t i H nên MH 

MA a

2
2

Tam giác SMH vuông t i M:

1
1
1
2a 3


 MI 
2
2


Ph

M t c u (S) có tâm I(1;2;3), bán kính R = 3.
M t ph ng (P) ti p xúc v i m t c u (S) khi và ch khi
d  I ;  P   3


 3a

a 1  4   b  2  3    b   3  4 
 2

 3a

a 2  b2    b 
 2


2

3

 3a  13a 2  12ab  8b 2
 9a 2  13a 2  12ab  8b 2
 a 2  3ab  2b 2  0

Ch n b = 1 thì a = 1 ho c a = 2.
a=1



KM = FC.

(1)

Tam giác MBF vuông cân t i F nên MF = BF
MFBH là hình ch nh t nên BF = MH

MF = MH

(2)

T (1) và (2) suy ra ∆ MKH = ∆ MCF (hai tam giác vuông có 2 c nh góc vuông t
nhau)

ng ng b ng

 MKE  MCF
 MKE  EMK  MCF  FMC  90
Suy ra ∆ MKE vuông t i E

MC

HK.

ng th ng HK có vect pháp tuy n nHK  1;1  uHK  1; 1
Ph

ng trình đ


  a  b   a 2  2b 2  ab   ab  1  0
  a  b 1  ab   ab  1  0
  a  b  11  ab   0

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

8


a  b  1  0
a  b  1  0
a – b – 1 = 0 (2) ho c 1 – ab = 0 ho c 
(I) ho c 
(II)
1  ab  0
1  ab  0
Gi i (2):

2x  3  x 1 1  0  2x  3  x 1 1
 2x  3  x 1 2 x 1 1
 x 1  2 x 1
 x 1





x 1  2  0

x = –1 ho c x = 3 (th a mãn)

x






2

2

2 x  5 x  2  0

Gi i (II):

 x  1
1  x  3
 2 x  3  x  1  1 
1

  x 1 x 1  2  0  
   x  3 (TM K)
( II )  
1
2
2
 2
 x   2
 2 x  5 x  3  1
2 x  5 x  2  0


Do đó t đi u ki n đ bài suy ra:

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

9


5 x2  5.

 y  z

2

 5  x2  y2  z2   9  xy  2 yz  zx  9 x  y  z   18.

2
 5 x  9 xt  2t 2  0   x  2t  5 x  t   0

 y  z

2

4

2

 x  2t
Do đó:


1
4
1
1
1
 4 ; f ' t   0  2  4  t 2 
t 
2
t
9t
t
9t
36
6

1
Ta có: f    16 . B ng bi n thiên:
6

x
f’(x)
f(x)

1
6
0
16

0
+

y z 
12
6


V y giá tr l n nh t c a P là 16.

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

10