S GD VÀ T PHÚ YÊN
TR
NG THPT CHUYÊN
–––––––––––––––––
CHÍNH TH C

THI THPT QU C GIA 2015 – 2016 L N 1
Môn: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát đ
Ngày thi 09/10/2015

Câu 1 (1,0 đi m) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s y   x  1  x2  2 x  2  .

Câu 2 (1,0 đi m)Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a hàm s f  x  cos 2 x  2sin 2 x  1  ln  x  e 
trên đ a [0;e]
Câu 3 (1,0 đi m).
x  2 2x  5
x2
x 2

a) Tính gi i h n lim
b) Gi i ph

ng trình 4x  3.2x

x2  2 x3

3

Câu 4 (1,0 đi m). Tính tích phân I  
1

AB  a , AD  a 2 . C nh bên SA vuông góc v i đáy, c nh SC t o v i đáy góc 30o. G i K là hình
chi u vuông góc c a A trên SD. Tính th tích kh i chóp S.ABCD và kho ng cách gi a hai đ ng
th ng AK, SC.
Câu 8 (1,0 đi m). Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình vuông ABCD có đ nh C(2;–5)
và n i ti p đ ng tròn tâm I. Trên cung nh BC c a đ ng tròn (I) l y đi m E, trên tia đ i c a
tia EA l y đi m M sao cho EM = EC. Tìm t a đ đ nh A, bi t đ nh B thu c đ ng th ng d: y – 2
= 0 và đi m M(8;–3).
a) Gi i ph

Câu 9 (1,0 đi m). Gi i h ph

4 x3  12 x2  15 x   y  1 2 y  1  7
ng trình 
6  x  2  y  x  26  6 3 16 x  24 y  28

Câu 10 (1,0 đi m). Cho x, y, z là các s th c d

 x, y  

ng th a mãn đi u ki n  x  y  xy  z2   3xyz .

2
4
x2  y2  z  2 xy  3z

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P 
.
z2
2 xyz2
2

–∞

+

0
0
2

–

2
0

+∞
+
+∞

–2

th

Câu 2
f  x  cos 2 x  2sin 2 x  1  ln  x  e   1  2sin 2 x  2sin 2 x  1  ln  x  e   2  ln  x  e 

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

2


Hàm s f(x) xác đ nh và liên t c trên đo n [0;e]

2x  5 1
 x  2 2x  5  1

 lim f  x  1 
x2

V y lim

x2

4
2.  2   5  1





3

x  2 2x  5
3
x 2

b) 4x  3.2x

x2  2 x3

 41

x2  2 x3

 x  4 x  8 x  12
3x  8 x  12  0
 x

4  2 13
3

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

3


(th a mãn)
V y ph

ng trình đã cho có nghi m duy nh t x =

4  2 13
.
3

Câu 4
3

Ta có: I  

1  x  ln x

 x  1


dx  
dx
x  1 1  x  12
1
 ln 4  ln 2  ln 2.

dx
dx

 x  1

2

 du 

dx
1
; v
x
x 1

1 
dx
 ln x
 ln 3
1


0  
 dx



Câu 5
Vect pháp tuy n c a (P) và (Q) l n l

t là n1  2; 3; 4  và n2  4; 13; 6 

Gi s (P) song song ho c trùng (Q), thì t n t i s th c k sao cho:

 2  4k

n1  k.n2  3  13k (vô lí)
4  6k

V y (P) c t (Q) theo m t giao tuy n là đ

ng th ng d.

Ta có:  n1; n2    70; 28; 14 

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

4


Vì d là giao tuy n c a (P) và (Q) nên nh n u 

1
 n1; n2    5; 2; 1 làm vect ch ph


 

  2sin x   2 cos 2  x     4
4 


2

2

2


 

 1  cos 2 x  1  cos  2 x     4
2 


2

 1  cos 2 x  1  sin 2 x  4
2

2

 1  2 cos 2 x  cos 2 2 x  1  2sin 2 x  sin 2 2 x  4
 2  cos 2 x  sin 2 x  1
1




8




2

 k  k 

ng th ng n i hai đi m đ


c ch n c t hai tr c t a đ ”.

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

5


+Tính s ph n t c a không gian m u:
S cách ch n 2 trong 14 đi m đã cho là C142  91
+Tính s k t qu thu n l i cho A:
đo n th ng n i hai đi m c t hai tr c t a đ thì chúng ph i n m
nhau qua g c t a đ O (m i đi m n m m t góc ph n t )
–TH1: Hai đi m n m

hai góc ph n t đ i x ng


AC  BD  AB2  AD2  a 3
Tam giác SAC vuông t i A:

SA  AC.tan 30  a
Th tích kh i chóp:
VS. ABCD





a3 2
1
1
 .SAS
. ABCD  .a . a .a 2 
3
3
3

+Tính kho ng cách:
V AI

SC t i I.

Vì SA

CD, AD

CD nên (SAD)

d(AK,SC) = IK.

Tam giác SAD vuông t i A:

1
1
1
2a 2
2



AK

3
AK 2 SA2 AD 2

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

7


Tam giác SAC vuông t i A:

1
1
1
3a 2
2


ng cao c a tam giác cân ECM

F là trung đi m CM.

F  5; 4 
ng th ng BF đi qua F , nh n vect
Ph

1
CM   3;1 làm vect pháp tuy n.
2

ng trình BF : 3x  y  11  0

T a đ c a đi m B th a mãn h :

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

8


3x  y  11  0
 B  3; 2 

y 2  0
Ta có: CB  1;7  . Do đó đ

ng th ng BC qua B và nh n vect n   7; 1 làm vect pháp

tuy n.

4 x3  12 x2  15 x   y  1 2 y  1  7 (1)

6  x  2  y  x  26  6 3 16 x  24 y  28 (2)
K: y 

1
2

(1)  8 x3  24 x2  30 x   2 y  2  2 y  1  14
2
  2 x  2   3  2 x  2   14  








2 y  1  3 2 y  1  14  3

2

Xét hàm f  t    t 2  3 t  14 trên .
Ta có: f '  t   3t 2  3  0 t

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

9


V i x ≥ 1 ta có: 6  2 x  1 x  2   0;6 x2  10 x  4  0
2

Áp d ng b t đ ng th c Cô–si cho ba s không âm, ta có:

 6x

2

 10 x  4   8  8  3 3  6 x2  10 x  4  .8.8  12 3 6 x2  10 x  4

 6  2 x  1 x  2    6 x2  10 x  4   8  8  12 3 6 x2  10 x  4
2

x  1

2
D u b ng x y ra   2 x  1 x  2   0  x  2
 2
6 x  10 x  4  8
Suy ra (*)  x  2  y 

5
(th a mãn)
2

 5
H có nghi m duy nh t  2;  .
 2


 xy  2 z
 z2 

xy
4

K t h p v i (*) ta có:
3xy
3xy
x y


4
2
xy
z
xy  z
xy 
4

x2  y2 z4  4 z2 xy  4 x2 y2  3z4

P
2 xyz2
z2
2 xy z2
x2  y2

2 2 
z2

x y
3
, t  4 thì P  t 2   1
z
t

3
f  t   t 2   1 trên [4;+∞)
t

3 2t 3  3

 0 t   4;  
t2
t2

Suy ra f(t) đ ng bi n và liên t c trên [4;+∞)
Suy ra f  t   f  4  
P

71
t   4;  
4

71
4

D u b ng x y ra khi x = y = 2z, ch ng h n x = y = 2, z = 1.
V y giá tr nh nh t c a P là