S GD & T B C NINH
TR
NG THPT LÝ THÁI T

THI TH

THPT QU C GIA N M H C 2015-2016
Môn: TOÁN;
Th i gian: 180 phút, không k th i gian phát đ .
Ngày thi: 7/11/2015

Câu 1 (2.0 đi m) Cho hàm s : y  x3  3x2  1 có đ th là (C) .
a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s .
b. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C) t i đi m A 1; 5 . G i B là giao đi m c a ti p tuy n
v i đ th (C)  B  A  . Tính di n tích tam giác OAB, v i O là g c t a đ .

Câu 2 (1.0 đi m) Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s f(x) 
Câu 3 (1.0 đi m)
a) Gi i ph

ng trình l

b) Cho cos 2  

x 2  3x  6
trên đo n  2; 4 .
x 1

ng giác: cos 2x  cos 6x  cos 4x



ng trình: x  2y  2  0. Tìm đi m M thu c đ

ng th ng

ng th ng d sao cho: MA  MB  36.
2

2

Câu 6 (1,0 đi m). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i B và AB  2, AC  4.
Hình chi u vuông góc c a đ nh S trên m t ph ng (ABC) là trung đi m H c a đo n th ng AC. C nh
bên SA t o v i m t đáy m t góc 60o. Tính th tích kh i chóp S.ABC và kho ng cách gi a hai đ ng
th ng AB và SC.
Câu 7 (1,0 đi m). Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC vuông t i A n i ti p đ
tròn (T) có ph
đ
đ

ng trình: x  y  6x  2y  5  0. G i H là hình chi u c a A trên BC.
2

2

ng

ng tròn

ng kính AH c t AB, AC l n l t t i M, N. Tìm t a đ đi m A và vi t ph ng trình c nh BC, bi t
ng th ng MN có ph ng trình: 20x  10y  9  0 và đi m H có hoành đ nh h n tung đ .



>> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán ậ Lý ậ Hóa ậ Sinh ậ V n ậ Anh t t nh t!

1


Câu
1
(2.0 đi m)

áp án

i m

a. (1.0 đi m) Kh o sát v đ th …
• T p xác đ nh: D  .
• S bi n thiên:
x  0  y  1
y '  3x 2  6x; y '  0  
 x  2  y  5

0.25

Gi i h n: lim y  ; lim  
x 

x 

B ng bi n thiên:


- Hàm s đ t c c t i x  2;yCÑ  5 ; đ t c c ti u t i x  0;yCT  1.
•

0.25

th :
x

1

1

y

3

5

0.25

b. (1.0 đi m) Vi t ph ng trình ti p tuy n…tính di n tích tam giác….
+ Ta có: y'(1)  9  ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C) t i đi m A 1; 5 là:
y  9(x 1)  5  y  9x  4 (d)
+ T a đ đi m B là giao c a d và (C) có hoành đ là nghi m pt:
x  1
x3  3x2  1  9x  4  x3  3x2  9x  5  0 (x  1)2 (x  5)  0  
 x  5

0.25


0.25

V i x   2; 4 , f '(x)  0  x  3

0.25

10
3

0.25

Ta có: f(2)  4,f(3)  3,f(4) 

V y Min f ( x)  3 t i x = 3; Max f ( x)  4 t i x = 2
2 ; 4 

2 ; 4 

0.25

>> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán ậ Lý ậ Hóa ậ Sinh ậ V n ậ Anh t t nh t!

2


3
(1.0 đi m)

a. Gi i ph


    nên sin   0,cos   0 . Ta có:
2
1  cos 2 1
1
,
cos2 
  cos   
2
10
10

Do

sin 2   1  cos2  

9
3
sin 
, tan  
 3
 sin  
10
cos 
10

Khi đó: P  1  tan   .
4
(1.0 đi m)

0.25

Xét khai tri n:  x  2    C2016
x 20163k
x 2016 k  2    2k C2016
x
x
k
0


0
k


 
2010
S h ng ch a x
ng v i 2016  3k  2010  k  2 là 22 C22016 x2010 có h s là
2
22 C2016
 4C22016 .

b.Tính xác su t …
G i  là không gian m u c a phép th : ắCh n ng u nhiên m t s t t p X”.
Khi đó:   A96  60480

0.25
0.25

0.25




 4 3
3
 M ; 
t

5
5 5
2

2

0.25
0.25
0.25

0.25

 16 3 
V y t a đ đi m M là: M(5;1),M  ;  .
 5 5
>> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán ậ Lý ậ Hóa ậ Sinh ậ V n ậ Anh t t nh t!

3


6
(1.0 đi m)



1
1
V y VS.ABC  SH.SABC  .2 3.2 3  4.
3
3
D ng hình ch nh t ABCD  AB // CD  AB // (SCD)
 d(AB,SC)  d(AB,(SCD))  d(A,(SCD))  2d(H,(SCD)) (do AC  2HC )
Trong (ABCD), g i E là trung đi m CD  HE  CD  CD  (SHE)
Trong (SHE), k HK  SE (K SE)  HK  (SCD)  d(H,(SCD))  HK
Ta có: HE 

0.25

1
AD  3
2

SHE vuông t i E 

1
1
1
1 1 5
2 15


    HK 
2
2

Ta có: ANM  AHM (ch n cung AM) (3)
T (1), (2), (3) ta có:

H

I

C

0.25

IAC  ANM  ICA  AHM

 MHB  AHM  90o
Suy ra: AI vuông góc MN
 ph ng trình đ ng th ng IA là: x  2y  5  0
Gi s A(5  2a;a) IA.

a  0
Mà A  (T)  (5  2a)2  a2  6(5  2a)  2a  5  0  5a2  10a  0  
a  2
V i a  2  A(1; 2) (th a mãn vì A, I khác phía MN)
V i a  0  A(5; 0) (lo i vì A, I cùng phía MN)

0.25

>> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán ậ Lý ậ Hóa ậ Sinh ậ V n ậ Anh t t nh t!

4


8
11 13
H ; (thoỷa maừn)
t
5
5 5

28
31 17
H ; (loaùi)
t
25 25
25
11 13
8
V i t H ; (th a món)
5
5 5

8
(1.0 i m)

6 3
Ta cú: AH ; BC nh n n (2;1) l VTPT
5 5
ph ng trỡnh BC l: 2x y 7 0
Gi i h ph ng trỡnh
i u ki n: x 0, 1 y 6, 2x 3y 7 0 (*)
x 0
khụng l nghi m c a h ph

Thay vo PT (2) ta

c: 3 5 x 3 5x 4 2x 7

K: 4 / 5 x 5 (**)

3 5 x (7 x) 3( 5x 4 x) 0


4 5x x 2
3 5 x (7 x)



3(4 5x x 2 )
5x 4 x

0

0.25



1
3
(4 5x x 2 )

0
3 5 x (7 x)
5x 4 x

Áp d ng (*) ta có: P 

(x  y  z)2
xy  yz  zx  8  x3  8  y3  8  z3

2  x  4  2x  x 2 6  x  x 2

2
2
2
2  y  4  2y  y
6  y  y2
8  y3  (2  y)(4  2y  y 2 ) 

2
2
2
2  z  4  2z  z
6  z  z2
3
2
8  z  (2  z)(4  2z  z ) 

2
2
2
2(x  y  z)
Suy ra: P 
2xy  2yz  2zx  18  (x  y  z)  x 2  y 2  z 2
Ta có:

3/4

Xét hàm s : f(t) 

3
khi t  3.
4
V y GTNN c a P là: 3/4 khi x  y  z  1.

T BBT ta có: GTNN c a P là:

0.25





2
0.25

Chú ý: Các cách gi i đúng khác đáp án cho đi m t i đa.

>> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán ậ Lý ậ Hóa ậ Sinh ậ V n ậ Anh t t nh t!

6