1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Trong suốt chương trình học trong nhà trường, mỗi môn học đều góp phần
vào việc hình thành và phát triển những cơ sở ban đầu cho học sinh. Trong đó
môn Toán giữ vai trò quan trọng, thời gian dành cho việc học Toán chiếm tỉ lệ
khá cao. Thực tế những năm gần đây, việc dạy học Toán đã có những bước cải
tiến về phương pháp, nội dung và hình thức dạy học.
Các dạng bài tập của môn Toán trong chương trình trung học cơ sở (THCS)
rất đa dạng và phong phú. Một trong những dạng toán cơ bản của môn Toán 6 là
giải các bài toán về phần phân số. Đặc biệt trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán
lớp 6 cấp huyện ở Lệ Thủy thì phân số là nội dung hay đề cập đến và thường là
những bài khó. Các bài toán về phân số nếu chỉ đơn thuần làm các bài tập như
sách giáo khoa thì rất dễ nhưng các bài toán nâng cao thì rất phức tạp, đa dạng và
không có một quy tắc chung nào để giải, phải sử dụng các phương pháp khác nhau
một cách linh hoạt, sáng tạo. Trong khi năng lực tư duy, khả năng phân tích tổng
hợp của học sinh còn hạn chế nên học sinh thường bế tắc trong việc tìm ra cách
giải cho loại toán này. Vấn đề đặt ra trong việc giải toán là phải biết nhận dạng bài
toán và lựa chọn phương pháp thích hợp để giải.
Là một giáo viên trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi (HSG) Toán 6, để giúp
học sinh giải quyết những khó khăn đó, đồng thời bổ sung một số kiến thức về
phần phân số, làm tài liệu tham khảo trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, góp
phần vào việc “đào tạo và bồi dưỡng nhân tài”. Tôi xin trình bày sáng kiến kinh
nghiệm “Phương pháp giải bài tập nâng cao phần phân số cho học sinh giỏi
lớp 6 ở trường THCS”. Đây là sự đúc rút kinh nghiệm nhằm cung cấp cho học
sinh phương pháp nhận dạng các bài toán về phân số và hướng dẫn phương pháp
để có lời giải hợp lý.
1.2. Điểm mới của đề tài.
Đề tài bám sát chuẩn kiến thức kỹ năng, các phương pháp dạy học phổ biến
nhằm hình thành cho các em tư duy khoa học hơn.
Nội dung của đề tài được chia ra và hướng dẫn cụ thể từng phần, học sinh dễ
dàng tiếp cận gây nên sự hứng thú trong học tập cho học sinh, kích thích cho các



(1,5 điểm)

SL

%

SL

%

SL

%

Tống số HS: 8

3

37,5

4

50

1

12,5


kiến thức liên quan , để từ đó mới vận dụng tốt các phương pháp làm bài tập nâng
cao.
3


- Thường xuyên nghiên cứu tài liệu qua sách tham khảo, qua báo Toán học
và Tuổi thơ ….hoặc tìm các bài tập có liên quan thông qua mạng Internet vì nội
dung các bài tập trên mạng hiện nay rất nhiều .
2.2.2.1. Các kiến thức cơ bản và liên quan
1. Phân số:
* Dạng của phân số

a
với a, b∈ Z, b ≠ 0.
b

a: là tử
b: là mẫu của phân số.
*a=

a
với a ∈ Z
1

2. Phân số bằng nhau:
a c
= nếu ad = bc với b ≠ 0, d ≠ 0.
b d

3. Tính chất cơ bản của phân số.

ƯCLN của chúng.
4


5. Quy đồng mẫu nhiều phân số.
Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số ta làm như sau:
Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu
chung.
Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng
mẫu).
Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
Chú ý:
- Nếu trong các phân số đã cho có những phân số chưa tối giản thì nên rút
gọn các phân số đó trước khi quy đồng.
- Nếu các mẫu của các phân số là các số nguyên tố cùng nhau thì mẫu chung
là tích của các mẫu và thừa số phụ của mẫu là tích của các mẫu của các phân số
còn lại.
6. So sánh phân số
- Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn
hơn.
- Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai
phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn
hơn thì lớn hơn.
* Nhận xét:
- Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên cùng dấu thì lớn hơn 0
- Phân số lớn hơn 0 gọi là phân số dương.
- Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên khác dấu thì nhỏ hơn 0.
- Phân số nhỏ hơn 0 gọi là phân số âm.
7. Phép cộng phân số
- Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu


3
(n∈z)
n +1

a) Số nguyên n phải có điều kiện gì để A là phân số.
b) Tìm phân số A biết : n = 0; n = 10 ; n = -3.
c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để A là số nguyên.
Giải:
a) Biểu thức A có 3∈ Z, n ∈ Z nên n+1 ∈ Z.
Để A là phân số cần có điều kiện n+1 ≠ 0 hay n ≠-1.
3
1

b) Với n = 0 thì A = = 3
Với n = 10 thì A =
Với n= -3 thì A =

3
3
=
10 + 1 11

3
3
=
− 3 +1 − 2

c) Để A là số nguyên ta phải có n+1 là ước của 3.
Ư(3) = { − 3; − 1; 1; 3 } . Ta có bảng sau:

10n
(10n − 6) + 6 2(5n − 3) + 6
6
=
=
= 2+
5n − 3
5n − 3
5n − 3
5n − 3

Để B là số nguyên thì phải có

6
là số nguyên, tức là 5n-3 phải là ước của 6.
5n − 3

6


Ư(6) = { − 6; −3; −2; − 1; 1; 2;3; 6} , ta có bảng sau:
5n-3
n

-6
-3/5

-3
0


2n + 15 2(n + 1) + 13
13
= 2+
=
n +1
n +1
n +1

2n + 15
13
là số nguyên thì phải có
là số nguyên.
n +1
n +1

Tức là n+1 phải là ước của 13
Ư(13) = { − 13; − 1; 1; 13} , ta có bảng sau:
n+1 -13 -1
1
n
-14 -2
0
Vậy n ∈ { − 14; − 2; 0; 12 }

13
12

* Phương pháp giải :
Phân số tồn tại khi tử và mẫu là các số nguyên và mẫu khác không.
Phân số có tử là một số nguyên, mẫu có chứa ẩn có giá trị là số nguyên khi

n−2
. tìm các giá trị nguyên của n để :
n+3

a) A là một phân số
b) A là một số nguyên
(Đề kiểm tra chất lượng HSG lớp 6 phòng GD&ĐT Lệ Thủy năm học 2010-2011)
Bài 5: Cho phân số B =

4
với n ∈ Z.
n−3

a) Số nguyên n phải có điều kiện gì để phân số B tồn tại.
b) Tìm phân số B biết: n = 0; n = 10; n = -2.
c) Tìm giá trị của n để B là một số nguyên.
Dạng 2 : Phân số tối giản
Bài tập 1: Trong các phân số sau đây phân số nào là tối giản
− 5 30
;
;
36
42

18
;
− 43

7
15


a a+4
a 2
=
hay ab + 10a = ab + 4b ⇒ 10a = 4b ⇒ =
b b + 10
b 5

b. Ta có:

a
a
a
=
phân số này giảm đi 2 lần so với phân số
b + b 2b
b

8


mà phân số

a+b a+b
a
=
tăng gấp 2 lần so với phân số
b+b
2b
b


Giải:
Vì n ∈ N , nên 21n +4 ∈ N* và 14n+3 ∈ N*.
Do vậy để chứng minh phân số

21n + 4
là phân số tối giản với mọi n ∈ N, ta phải
14n + 3

chứng minh 21n +4 và 14n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Gọi ƯCLN ( 21n + 4, 14n + 3 ) = d (d ∈ N* ).
2( 21n + 4) d

Khi đó 
3(14n + 3) d
42n + 8 d
42n + 9 d

Hay 

=> 42n + 9 - 42n -8 d =>1 d
Vậy d =1
Như vậy phân số

21n + 4
là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n.
14n + 3

Bài tập 4: Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số


n - 2 ≠ 3k và n - 2 ≠ 5k. Hay n ≠ 3k +2 và n ≠ 5k + 2 (k∈N, k ≠ 0).
* Phương pháp giải:
Để tìm phân số tối giản trong các phân số cho trước, ta tìm ƯCLN của các
giá trị tuyệt đối của tử và mẫu đối với từng phân số. Phân số nào có ƯCLN này là
1 thì đó là phân số tối giản.
Để chứng tỏ một phân số là tối giản, ta chứng minh ƯCLN của tử và mẫu
của nó bằng 1(trường hợp tử và mẫu là các số nguyên dương, nếu là số nguyên âm
thì ta xét số đối của nó ). Ngược lại, nếu muốn chứng minh phân số nào chưa tối
giản (hay có thể rút gọn được nữa) ta chứng minh ƯCLN của chúng khác 1.
* Bài tập vân dụng:
Bài 1: Trong các phân số sau đây, phân số nào là phân số tối giản
16
84
;
;
− 25 30

− 91
27
;
;
112 125

− 182
?
385

Bài 2: Tìm phân số tối giản nhỏ hơn 1 biết rằng tích của tử số và mẫu số
của nó bằng120.
Bài 3: Tìm số tự nhiên không lớn hơn 10 để phân số


1 1 1 1 1 1
− ; − ; − .
2 3 3 4 4 5

10


b) Áp dụng tính: A=

1
1
1
+
+
2.3 3.4 4.5

Giải:
a)

1 1 3 −2
1
− =
=
2 3
2.3
2.3
1 1 4−3 1
− =
=

2
2
+
+
+ ... +
15 35 63
399

Giải:
2
2
2
2
+
+
+... +
3.5 5.7
7.9
19.21
1 1 1
1 1
1
1
− + − + − +... +
−
5 5 7
7 9
19
21
1

1
1
1
+
+
+ ... +
25.27 27.29 29.31
73.75

=

1 2
2
2
2 
+
+
+... +


2  25.27
27.29
29.31
73.75 

=

1 1
1 
1

của hai phân số.
* Bài tập vận dụng:
1

1

1

1

Bài 1: Tính tổng A = 1.6 + 6.11 + 11.16 + ... (5n + 1)(5n + 6)
Bài 2: Tính tổng: B =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
18.19.20

(Bài tập trong chuyên đề học sinh giỏi lớp 6 phòng GD&Đ Lệ Thủy)
Bài 3: Chứng minh rằng: A =

1
1
1
1

+ ... +



x
x
có giá trị bằng - 4 nên
= - 4 => x = - 4.19.
19
19

Vậy x = -76
Bài tập 2: Tìm các số nguyên x, y, z biết :
z
6 − x 21
=
= y =
8
4
− 80

Trước khi giải bài toán này giáo viên nên lưu ý học sinh rút gọn phân số
về phân số tối giản là

6
8

3
.
4

Giải:
z

y = 84:3
y = 28
* vì

3
z
=
=> 4.z = 3. (-80)
4
− 80

4.z = -240
z = (-240):4
z = -60
Vậy: x = -3; y =28; z =-60
* Phương pháp giải :
+

a c
=
nên a.d = b.c (định nghĩa hai phân số bằng nhau).
b d

suy ra: a =

b.c
b.c
a.d
a.d
; d=

15
3

x

2

x+3

3

c. 3 = y

Bài 2: Tìm các số nguyên x, y biết 7 + y = và x+y = 20
7
Bài 3: Tìm các số nguyên x, y, z, u, t, biết :
Dạng 5: So sánh phân số
Bài tập 1: So sánh các phân số
a)

3
2
1
2
2
3
; b)
và
và ; c) và
−3

−3 −3

2
−2
=
−5
5

Vì -2

1 1
77 84
〉
〉
nên
76 83
76 83

Bài tập 3: So sánh hai phân số

42 58
;
43 59

Giải:
Ta có

42
1
= 1− ;
42
43

14

12 8
y 40 16
u
= =

18
( phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất
37

và có mẫu là mẫu của phân số thứ hai).
Ta thấy:
suy ra:

18 18 18 15
> ;
>
.
31 37 37 37
18 15
>
31 37

Bài tập 5: So sánh hai phân số

− 387 − 592
;
386
591

Giải:
Ta có nhận xét

− 387
1
− 386


a
=1+ M;
b

a c
c
> .
= 1 + N , mà M>N thì
b
d
d

+ Nếu

a
=1− M;
b

a c
c
< .
= 1 − N , mà M>Nthì
b d
d

- Dùng một phân số làm trung gian
- Sử dụng phép cộng phân số thích hợp: trong một số trường hợp để so sánh
hai phân số, ta có thể cộng chúng với hai phân số thích hợp có cùng tử. So sánh
hai phân số này sẽ giúp ta so sánh được hai phân số đã cho.

2002.2003 −1
;
2002.2003

Bài 2: Cho a, m, n ∈ N*. Hãy so sánh :

.

a
a+m
và
b
b+m

(Bài tập trong chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 6 huyện Lệ Thủy)
2.2.3. Kết quả nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện tôi đã thu được một số thành công
bước đầu:
2.2.3.1.Về phía giáo viên:
Tôi thấy trình độ chuyên môn được nâng cao hơn, đặc biệt phù hợp với quá
trình đổi mới phương pháp dạy học của ngành đề ra. Bên cạnh đó hình thành ở
giáo viên phương pháp làm việc khoa học. Hơn thế đã phát huy được sự tích cực
chủ động của người học, hình thành ở học sinh những kĩ năng, kĩ xảo trong giải
toán.
2.2.3.2.Về phía học sinh:
Qua việc giới thiệu cho học sinh hệ thống các dạng bài tập về phân số, tôi
thấy đã phát huy được tính tích cực, tư duy sáng tạo, say mê môn học của học sinh,
giúp học sinh hình thành phương pháp và cách làm việc với bộ môn Toán học.
Học sinh yêu thích bộ môn Toán hơn, đồng thời kích thích trí tò mò tìm
hiểu các nội dung chuyên đề nâng cao khác trong chương trình bồi dưỡng môn


%

SL

%

Tổng số HS:10

0

0

3

30

7

70

Kêt quả chung : Giải ba đồng đội ( trong đó có 2 giải nhì, 1 giải ba và 2 giải
khuyến khích)
Kết quả trên cho thấy chất lượng bồi dưỡng HSG đã có bước chuyển biến.
Tuy chưa cao nhưng tôi hi vọng khi đã có phương pháp tốt cho học sinh thì trong
năm học 2015-2016 này đội tuyển học sinh giỏi toán 6 trường chúng tôi sẽ gặt hái
được nhiều thành công hơn nữa.

3. KẾT LUẬN
3.1. Ý nghĩa của đề tài.

Qua quá trình nghiên cứu đề tài này tôi thấy, người dạy cần tạo cho học sinh
thói quen không chỉ dừng lại ở kết quả vừa tìm được mà phải phân tích, khai thác
nó để có những kết quả mới. Thông qua việc hướng dẫn học sinh tìm tòi, sáng tạo
các bài toán mới từ những bài toán đã học, đã gặp giúp học sinh tự tin hơn trong
giải toán, nhờ đó mà học sinh phát huy được tư duy và nâng cao năng lực sáng tạo,
bước đầu hình thành cho học sinh niềm say mê nghiên cứu khoa học.
3.2. Kiến nghị, đề xuất.
3.2.1. Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT
- Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo
viên dạy toán.
- Cần tổ chức các hội thảo chuyên đề về bồi dưỡng HSG chuyên sâu cho
giáo viên trong tỉnh, huyện nhằm trao đổi kinh nghiệm, học hỏi lẫn nhau giúp ích
cho các hoạt động chuyên môn của ngành .
3.2.2. Với BGH nhà trường
Nhà trường cần làm tốt công tác tư tưởng với các thành viên tham gia, tạo
mọị điều kiện tốt nhất cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi như: về thời gian, về cơ sở
vật chất…..để hiệu quả của việc bồi dưỡng học sinh giỏi không ngừng được nâng
cao.
3.2.3. Với phụ huynh học sinh
18


Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con em. Thường xuyên kiểm
tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con.
Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm của tôi với các biện pháp giúp học sinh
giải tốt các bài tập nâng cao phần phân số Toán 6 ở trường THCS.Vì điều kiện thời
gian có hạn và trình độ nâng lực còn hạn chế, đề tài của tôi chắc chắn còn nhiều
thiếu sót. Do vậy tôi mong được sự góp ý của các đồng nghiệp và các phụ trách
chuyên môn .
Tôi xin chân thành cảm ơn.