B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI
HỌC
s ư PHẠM
HÀ NỘI
2
•
•
•
•

TRỊNH THỊ HỒNG NHUNG

s ự TỒN TẠI VÀ TÍNH ỎN ĐỊNH CỦA NGHIỆM
ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIÈU

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN
VĂN THẠC
SĨ TOÁN HỌC
•
•
•
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thành Anh

HÀ NỘI, 2015



Tác giả

Trịnh Thị Hồng Nhung


M ục lục

M ỏ đầu
1

2

K iế n th ứ c c h u ắ n bị

5

1.1

5

Giải tích da trị
1.1.1

Tính nửa liên tục (trên, dưới ) của ánh xạ đa trị

.

5

1.1.2


Bất đẳng thức Holder

22

1.3.3

Bất đẳng thức Minkowshi

22

1.3.4

Bất đẳng thức Ky Fan

22

1.3.5

Bất đẳng thức Gronwa 11......................................................

23

S ự tồ n tạ i và tín h ổ n đ ịn h c ủ a n g h iệ m đ ố i vớ i b ấ t đ ẳ n g
th ứ c v i b iế n p h â n tr o n g k h ô n g g ia n h ữ u h ạ n c h iều

24

2.1


thuật. Đến nay bất đẳng thức vi biến phân được nhiều nhà toán học quan
tâm nghiên cứu và nhận được nhiều kết quả phong phú, bao gồm các kết
quả về sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, cấu trúc và dáng điệu
của tập nghiệm và vấn đề giải số.
Gần đây bất đẳng vi biến phân vectơ cũng được nhiều nhà toán học
quan tâm nghiên cứu và tìm được nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác
nhau. Nó có thể được xét như là một sự mở rộng của bất đẳng vi biến
phân. Trong luận văn này chúng tôi muốn giới thiệu và nghiên cứu một lớp
bất đẳng vi biến phân vectơ trong không gian Euclid hữu hạn chiều. Bởi
vậy dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thành Anh tôi đã chọn đề tài “
Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đối với bất đẳng vi biến phân trong
không gian hữu hạn chiều”. Luận văn sẽ được hoàn thành dựa trên kết
quả được công bố công trình “ Differential Vector Variational Inequalities
in Finite-Dim ensional Spaces”, J Optim Theory Appl (2013) 158:109-129,
của các tác giả Xing Wang và Nan-Jing Huang. Chúng tôi dự nhận được
sự tồn tại của một nghiệm yếu Carathéodory đối với bất đẳng thức vi biến
phân vectơ trong không gian hữu hạn chiều Euclid. Ngoài ra, chúng tôi còn
nghiên cứu tính đóng, nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ
3


nghiệm yếu Carathéodory đối với bất đẳng thức vi biến phân vectơ trong
không gian hữu hạn chiều Euclid khi cả ánh xạ và tập ràng buộc bị nhiễu
loạn bởi tham số.

2. M ục đích nghiên cứu
Nhận được kết quả về tính giải được và tính ổn định bất đẳng thức vi
biến phân vectơ trong không gian hữu hạn chiều.

3. N h iệm vụ nghiên cứu

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .1 . Ánh xạ đa trị T : X —> Y là một tương ứng mà mỗi
X G X cho ta một tập khác rỗng J - ( x ) c Y , F ( x ) được gọi là giá trị của
X. Vì vậy ánh xạ đa trị T có thể viết như sau
ĩ

\X

P(Y).

Nếu A c X thì
?(A) = u

^ (x )

xeA

và được gọi là ảnh của A qua J - .
Tập Tjr c X X Y được định nghĩa
r v = {(x ,y) : (x,y) e X x Y , x e X , y e F { x ) }
là đồ thị của ánh xạ đa trị T .
Cho V c Y , J7+ 1(Vr) được định nghĩa

T Ị l {V) = { x e X : T{x) c V}
5


và F ^ i y ) được định nghĩa

T Z \ V ) = {x € X : T( x) п V Ф 0}.
Cho X , Y là không gian tôpô.



Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .5 .

(i) Một ánh xạ đa trị T : R n —> Mn được gọi là đơn

điệu trên một tập lồi К С Kn khi và chỉ khi với mỗi cặp các điểm
x,y E К

(ii)

v ầ v ớ i m ọ i X* e Т ( х ) , y* E J ' i y ) , (X * — y * , x — y ) > 0.

Một ánh
tập lồi

xạ đa trị T :—> Kn được gọi là giả đơn điệu trên một

К

C l " khi và

chỉ khi với mỗi cặp các điểm x , y Gк và với

m ọ i X* e F i x ) , y* G F { y ) , ( x * , y — x ) > 0

(iii)

Một ánh


- J 2 Ç i x *i,y - х ) > 0г=1
'

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .6 . Cho X là một không gian tôpô, L là một tập con khác
rỗng, đóng, lồi của X và cho
barr(L) = {ж* € X * : sup ( x*, x) < oo}
xei
là kí hiệu hình nón bị chặn của L. Nón lõm của L là nón đóng và lồi được
định nghĩa bởi:
L°° := { d e X : 3 t n —> 0, 3 x n € L, t nx n —*■d}.
ở đây " —"" viết tắt của sự hội tụ yếu. Nó được biết rằng, đối với mỗi
Xq € L,


L°° := {d e X : x0 + Xd e L

VA > 0}.

Đối với một tập khác rỗng D trong X ,

D~ := { X* € X* : (x*, x) < 0
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .7 . Một hàm / : n

Vx € D}.

R m, tương ứng, в : n

R mxn,

được gọi là một hàm liên tục Lipschitz nếu tồn tại một hằng số L f > 0,
• X v à y a —>• y t hì y £

X ).

Điều kiện sau cùng có thể sử dụng dãy thông thường với điều kiện X
và Y là các không gian metric.

8


Ta có m ột vài khái niệm sau

C(Y) =

{ D e P { Y ) : D là đóng};

K(Y) =

{ D € P ( Y ) : D là com pact};

(i) compact nếu miền giá trị F ( x ) là compact tương đối trong Y , tức là
J~(X) là compact trong Y
H X) = u
xaX

9

F(x)-


(ii) compact địa phương nếu với mọi điểm X G X có lân cận u ( x ) sao
cho hạn chế của T trên ư ( x ) là compact;
(iii) t ự a c o m p a c t n ế u h ạ n c h ế c ủ a n ó t r ê n m ọ i t ậ p c o m p a c t

А с X là

compact.
Rõ ràng (г) =>■ (гг) => (in).
M ệ n h đ ề 1 .1 .3 . Cho т : X —¥ к ( Y ) ỉà ánh xạ đa trị đóng và compact
địa phương. Khi đó J- là nửa liên tục trên.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .1 0 . Cho X là không gian metric. Một ánh xạ đa trị nửa
liên tục trên J- : X —> K ( Y ) , compact trên mỗi tập con bị chặn của X
được gọi là nửa liên tục trên hoàn toàn.
Sau đây chúng ta sẽ đề cập đến tính chất quan trọng của ánh xạ đa trị
nửa liên tục trên.
M ệ n h đ ề 1 .1 .4 . Cho T : X

K ( Y ) là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên.

Nếu А С X là một tập compact thì ảnh của nó ^(^4) là tập compact nằm


đó J-Q П J-\ : X —>• K ( Y ) , ự ữ П J-i )( x) = J~o{x ) П

là nửa ỉiên tục

trên.
Cho X là không gian tôpô, Y là không gian véctơ tôpô.
M ệ n h đ ề 1 .1 .8 . Nếu các ánh xạ đa trị

T i : X —»■ K ( Y ) là nửa liên

tục trên (nửa liên tục dưới) thì tổng của chúng J-ữ + J-\ : X —,►K ( Y ) ,
(To + T i ) ( x ) = T ữ{x) + T i ( x )
là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).
M ệ n h đ ề 1 .1 .9 . Nếu ánh xạ đa trị T : X —»■ K ( Y ) là nửa liên tục trên
(nửa liên tục dưới) và hàm số f : X —» R là liên tục, thì tích của chúng

f - T: X- >K{ Y) ,
( / •T){x) = f { x ) -Т(х)
là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).
M ệ n h đ ề 1 .1 .1 0 . Cho Y là không gian Banach. Nếu ánh xạ đa trị T :
X

K ( Y ) là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) thì bao lồi của nó

cõT : X ^ Kv(Y ),
( с о Т) ( х ) = c õ { T ( x ) )
là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).
11


đối với

/Lí — h ầ u k h ắ p

t £ I.

Tập tất cả các lựa chọn đo được của F kí hiệu là S ( F ) .
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .1 3 . Một họ đếm được { /п } £ °= 1 с S ( F ) được gọi là biểu
diễn Castaing của F nếu
00

u

/ ( í ) = F (t)

71= 1

đối với ịi — hầu khắp

t GI.
12


Hàm đa trị F : I —> K ( E ) là một hàm đa trị bậc thang nếu tồn tại một
phân hoạch của I trong một họ hữu hạn các tập con đo được rời nhau
ự j } , u j l j = I sao cho F là không đổi trên mỗi Ij.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .1 4 . Một hàm đa trị F : I —> K ( E ) được gọi là đo được
m ạ n h n ế u t ồ n t ạ i m ộ t d ã y { F n }%Li h à m đ a tr ị b ậ c t h a n g s a o c h o

h{Fn{ t ) , F { t ) ) ^ 0

(f) F có tính chất Lusin: với mõi ỏ > 0 tồn tại một tập con đóng Is с I
sao cho f i ự \ I s) < ố và hạn chế của F trên Is là liên tục.
M ệ n h đ ề 1 .1 .1 3 . Cho E là không gian Banach, F : I

K ( E ) là hàm

đa trị đo được mạnh. Khi đó F là đo được và có biểu diễn Castaing bao
gồm các hàm đo được mạnh.
Cho E là không gian Banach, F : I

P ( E ) là hàm đa trị. Kí hiệu

S 1( F ) là tập tất cả các lựa chọn khả tích Bochner, tức là
S 1(F) = { / G L l {I] E ) : f ( t ) G F ( t )
Nếu /S'1( iíl) Ф

đối với ịi — với mỗi t G / } .

thì hàm đa trị F được gọi là khả tích và tích phân của

nó được định nghĩa như sau
J F(s)ds = ị j f(s)ds : f e Sl (F)}
với tập con đo được bất kì г с I .
Dễ thấy, nếu một hàm đa trị F : I

K ( E ) là đo được mạnh và bị

c h ặ n k h ả t í c h , t ứ c là t ồ n t ạ i m ộ t h à m k h ả t ổ n g и ẽ L \ { I ) s a o c h o

||F (í)|| := m a x {||y || : y G F ( t ) } < v{ t )
E q tồn tại một lựa chọn
đa trị f : I

E của hàm đa trị Ф : I —> K ( E ) ,

c ấ p t ă n g t u y ế n t í n h d ư ớ i.

(F 3’) tồn tại một hàm a e L p+ Ự ) sao cho
< a (£ )(l + ll^ll)

yới mỗi t ẽ I,

với mọi X E E ữ.
Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 1 .1 7 . Với số nguyên p > 1, một ánh xạ đa trị F : I X E ữ —ì
K ( E ) thỏa mãn điều kiện (F I) -(F2) và (F 3!) được gọi là ánh xạ đa trị
L p — Carathéodory trên với cấp tăng a — tuyến tính dưới.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .1 8 . Một ánh xạ đa trị F : R X E ữK ( E ) được gọi là
T — tuần hoàn nếu nó thỏa mãn điều kiện tuần hoàn sau:
(FT)
1 .1 .3

F ( t , x) = F ( t + T, X)

với t ẽ M và X € E ữ.

B ậ c tô p ô ch o h à m đ a trị

Cho X c Y là các tập đã biết, J- : X —> P { Y ) là một ánh xạ đa trị.
Một điểm X ẽ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ đa trị T nếu
X

£

Tập tất cả các điểm bất động của T kí hiệu là F i x J - .


0 G ф(х)
được gọi là điểm kì dị của miền đa trị Ф. Dễ thấy rằng điểm X là điểm kì
dị của miền đa trị Ф = %— J- khi và chỉ khi nó là điểm cố định của ánh xạ
đa trị J- .
Cho и С E là một tập mở bị chặn, bao đóng của nó kí hiệu là и và
biên là d u . Cho J- : и

K ( E ) là một C J — ánh xạ đa trị compact sao

cho
F i x T П d u = 0.
Sau đây là những tính chất chính của bậc tôpô của miền đa trị Ф = Ỉ—T .
17


B ổ đ ề 1 .1 .1 . Nếu Ф = ỉ — T ỉà miền đa trị tương ứng vói ánh xạ đa trị
T thì tập ф ( д и ) là tập con đóng của E.
Tập ф ( д и ) không chứa 0, giá trị ố0 = d i s t ( 0 : ф ( д и ) ) là dương. Lấy tập
compact К = J~(U) và chọn 0 < ổ < ỏo, một không gian con hữu hạn
chiều E' С E và ánh xạ liên tục 7Г : к —> E' sao cho
||ж — 7г(ж)|| < ố.
Định nghĩa C J — ánh xạ đa trị hữa hạn chiều T ' : и —> K ( E ) bởi tích
hợp thành
T ' = (7Гi f о ỹ )
đ ư ợ c g ọ i l à m ộ t x ấ p x ỉ h ữ u h ạ n c h i ề u c ủ a T = ((p о } 7).

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .2 0 . Bậc tôpô
deg(i — J7, u )
của miền giá trị tương ứng với ánh xạ đa trị J- là bậc tôpô của xấp xỉ hữu
hạn chiều của nó

xệH{x,X),

V(x, Л) G d u X [0,1].

Ánh xạ đa trị k о H được gọi là đồng luân trong lớp C J g u ( U, E ) liên
thông ánh xạ đa trị J->0 và T \ (và liên thông miền đa trị ф 0 và Фх ).
Sau đây là các tính chất quan trọng của bậc tôpô cho hàm đa trị.
(1) Tính bất biến của phép đồng luân.
Cho T 0 , T \ ẽ C J qu (U, E ) và miền đa trị tương ứng i,u).

Khi đó 0 Ỷ F i x J 7 С и .

1.2 B ất đẳng thức biến phân
Cho К là một tập lồi đóng trong Rn và F : К —> R n là liên tục. Xét
bài toán

20


T ìm u G K th ỏa m ãn bất đẳng thức biến phân sau

(V — u, F ( u )) > 0 ,

( 1 .2 .1 )

Vv £ K .

ở đây
n

(v, w) = ^ 2 VịVũị
i= 1

với V, w e

Ta có một số kết quả sau đây.
Đ ịn h lý 1 .2 .1 . [5] Cho K c M.n là compact và lồi, F : K —>

là ỉiên


tức là Ur là nghiệm của bài toán (1.2.1).

□

Định lí được chứng minh.
21


1.3

M ột số bất đẳng thức

1.3.1

B ất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Với X, y là các phần tử của không gian tích trong thực hay phức thì
\{x,y)\2 < {x,x).(y,y}.
Trong trường hợp không gian Euclide n chiều Mn, bất đẳng thức trên
trở thành

1.3.2

B ất đẳng thức H older

Với mọi X = ( x i , x 2, . . . , x n) , y = ( y i , y 2, . . . , y n) G

ta có

trong đó 1 < q , p < + o o , —+ — = 1.