TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
****************
TRIỆU QUỲNH NHƯ
SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM
CỦA HỆ NAVIER-STOKES
LUẬN VĂN THẠC SỸ
Chuyên ngành : Toán Giải tích
Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. Cung Thế Anh
Hà Nội, 2013

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS. TS. Cung Thế Anh đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các thầy cô
dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã ở bên,
cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2013
Tác giả
Triệu Quỳnh Như
2
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Cung Thế Anh luận văn
được hoàn thành không trùng với bất kì công trình khoa học nào khác.
Trong khi thực hiện luận văn tác giả đã sử dụng và tham khảo các thành tựu của
các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng.
Hà Nội, tháng 11 năm 2013
Tác giả

Hệ phương trình Navier-Stokes xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng
và khí như nước, không khí, dầu mỏ, . . . dưới những điều kiện tương đối tổng quát,
và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng
không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma, . . . .Hệ phương trình Navier-
Stokes được xây dựng từ sự bảo toàn của khối lượng, động lượng, và năng lượng được
viết cho một thể tích đang xem xét bất kì, và có dạng:
u
t
ν∆u u ∇ ∆p f
∇ u 0
ở đó u u x, t là hàm vectơ vận tốc, p p x, t là hàm áp suất, ν là hệ số nhớt,
f là ngoại lực. Những vấn đề lí thuyết cơ bản đặt ra khi nghiên cứu hệ phương trình
Navier-Stokes là:
• Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm: Nghiệm ở đây có thể là nghiệm yếu hoặc
nghiệm mạnh. Các kết quả nhận được là phụ thuộc theo số chiều của không gian.
• Tính chính qui của nghiệm: Tính chính qui ở đây có thể là tính chính qui theo
biến thời gian (tính giải tích, tính Gevrey) hoặc tính chính qui theo biến không
gian (tính chính qui Hilbert, tính chính qui Holder, mô tả tập điểm kì dị, . . .).
• Dáng điệu tiệm cận của nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời gian
t ra vô cùng. Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận rất quan trọng vì nó cho phép
dự đoán xu thế phát triển trong tương lai của hệ đang xét, từ đó có những điều
chỉnh thích hợp để đạt mục đích mong muốn.
Trong các vấn đề kể trên trên, vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ Navier-
Stokes là vấn đề quan trọng đầu tiên, là cơ sở cho việc nghiên cứu các vấn đề khác về
nghiệm của hệ Navier-Stokes và vẫn còn nhiều vấn đề mở, đặc biệt là trong trường hợp
ba chiều. Đây vẫn là vấn đề thời sự, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học
trong và ngoài nước. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: “Sự tồn tại và tính
duy nhất nghiệm của hệ Navier-Stokes”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu và nghiệm mạnh của hệ

1
, , u
d
T
, d 2, 3 là hàm vectơ vận tốc, p : Ω R là hàm áp suất,
v const 0 là hệ số nhớt.
1.1. Các không gian hàm
Kí hiệu
V u C
0
Ω
d
: ∇ u 0 .
Để nghiên cứu bài toán, ta giới thiệu các không gian hàm sau:
V V
H
1
0
Ω
d
bao đóng của V trong H
1
0
Ω
d
u H
1
0
Ω
d

∇u
i
.∇v
i
dx
Ω
d
i,j 1
u
i
x
j
v
j
x
j
dx,
ở đó u u
1
, , u
d
T
, v v
1
, , v
d
T
.
Gọi H là phần bù trực giao của H trong L
2

Ω là compact. Do đó phổ
của A gồm toàn giá trị riêng λ
j
j 1
với
0 λ
1
λ
2
λ
n
, λ
n
khi n ,
và các hàm riêng tương ứng w
j
j 1
D A lập thành một cơ sở trực chuẩn trong H.
9
1.2.2. Toán tử B
Đặt
b u, v, w
d
i,j 1
Ω
u
i
v
j
x

Ω
∇v
1
2
L
2
Ω
với mọi v H
1
0
Ω .
Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi d=3
v
L
4
Ω
C v
1
4
L
2
Ω
∇v
3
4
L
2
Ω
với mọi v H
1

u
1 2
v
1 2
Av
1 2
w , d 2
u v
1 2
Av
1 2
w , d 3.
Xét toán tử B : V V V xác định bởi
B u, v , w b u, v, w với mọi u, v, w V.
10
Đặt Bu B u, u .
Khi đó Bài toán đã cho có thế phát biểu dưới một trong hai dạng sau đây
Bài toán 1. Cho trước u
0
H và f L
2
0, T ; V . Tìm hàm u L
2
0, T ; V thỏa mãn
d
dt
u, v ν u, v b u, u, v f, v , với mọi v V và hầu khắp t 0, T ,
u 0 u
0
.

0, T ; V .
Bổ đề 1.2.4. Cho u L
2
0, T ; D A L 0, T ; V , khi đó hàm Bu L
2
0, T ; H .
Chứng minh. Từ Bổ đề 1.2.2, với hầu khắp t 0, T , ta có
Bu t c
3
u t
1 2
Au t
1 2
u t c u t
3 2
Au t
1 2
,
thì
T
0
Bu t
4
dt c
T
0
u t
6
Au t
2

bài toán này thì nó cũng là nghiệm của bài toán kia và ngược lại.
1.3. Các bất đẳng thức thường dùng
1.3.1. Bất đẳng thức H¨older
Giả thiết 1 p, q ;
1
p
1
q
1.
Khi đó nếu
u L
p
Ω , v L
q
Ω
thì ta có:
Ω
uv dx u
L
p
Ω
v
L
q
Ω
.
1.3.2. Bất đẳng thức Cauchy
ab
a
2

1
0
Ω .
1.3.5. Bất đẳng thức Gronwall
Giả sử x t là một hàm liên tục tuyệt đối trên 0, T và thỏa mãn
dx
dt
g t x h t , với hầu khắp t,
trong đó g t và h t là các hàm khả tích 0; T . Khi đó
x t x 0 e
G t
t
0
e
G t G s
h s ds,
với 0 t T, ở đó
G t
t
0
g r dr.
Nói riêng, nếu a và b là các hằng số và
dx
dt
ax b,
thì
x t x 0
b
a
e

1
0, T ; E
1
, u L
p
0
0, T ; E
0
.
Khi đó phép nhúng sau là compact
W
p
1
,p
0
0, T ; E
1
, E
0
L
p
1
0, T ; E .
13
Chương 2
Nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes
2.1. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục
trong trường hợp hai chiều
Định lí 2.1.1. Cho trước u
0

trong đó g
im
thỏa mãn
du
m
t
dt
, w
j
ν u
m
t , w
j
b u
m
t , u
m
t , w
j
f t , w
j
, j 1, , m,
u
m
0 u
0m
.
(2.1)
14
Ở đây u

f t , u
m
t .
Từ đây sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy ra
d
dt
u
m
t
2
2ν u
m
t
2
2 f t u
m
t
ν u
m
t
2
1
ν
f t
2
.
Do đó
d
dt
u

0
f t
2
ds
u
0
2
1
ν
t
0
f t
2
dt.
Từ đây suy ra
u
m
bị chặn trong L 0, T ; H ;
u
m
bị chặn trong L
2
0, T ; V .
Do đó
Au
m
bị chặn trong L 0, T ; V .
Đánh giá Bu
m
Bu

L 0,T ;H
T
0
u
m
2
dt ,
15
nên Bu
m
bị chặn trong L
2
0, T ; V .
Vì
du
m
dt
νAu
m
P
m
Bu
m
P
m
f nên suy ra
du
m
dt
bị chặn trong L

kí hiệu là u
m
thỏa mãn
u
m
u trong L
2
0, T ; H .
Ta chứng minh kết quả sau
Bổ đề 2.1.1. Giả sử u
m
u trong L
2
0, T ; H và u
m
u trong L
2
0, T ; H . Khi đó
với mọi w C
1
Q
T
ta có
T
0
b u
m
t , u
m
t , w t dt

m
j
dxdt.
Do đó
T
0
b u
m
, w, u
m
dt
T
0
b u, u, w dt
2
i,j 1
T
0 Ω
u
m
i
u
i
w
j
x
i
u
j
u

m
bị chặn đều trong L 0, T ; H .Do
wv
m
L
2
0,T ;H
w
L
2
0,T ;H
v
m
L 0,T ;H
nên E
m
0. Từ đó suy ra bổ đề được chứng minh.
Từ các kết quả trên suy ra tồn tại hàm u L
2
0, T ; H L 0, T ; H thỏa mãn
du
dt
νAu Bu f trong L
2
0, T ; V ,
hay
du
dt
t νAu t Bu t f t trong V với hầu khắp t 0, T .
Để chứng minh u 0 u

t , ϕ t dt
T
0
b u
m
t , u
m
t , ϕ t dt
u
m
0 , ϕ 0
T
0
f t , ϕ t dt.
Sau đó chuyển qua giới hạn khi m ta được
T
0
u t , ϕ t dt ν
T
0
u t , ϕ t dt
T
0
b u t , u t , ϕ t dt
u 0 , ϕ 0
T
0
f t , ϕ t dt.
Từ đó suy ra u 0 , ϕ 0 u
0

dt
u t
2
2ν u t
2
2b u
2
t , u
2
t , u t 2b u
1
t , u
1
t , u t
2b u t , u
2
t , u t .
Sử dụng Bổ đề 2.2, ta có
d
dt
u t
2
2ν u t
2
2
3
2
u t u t u
t
t

ν
u
2
s
2
ds .
Đây là điều phải chứng minh .
2.2. Sự tồn tại nghiệm yếu toàn cục trong trường
hợp ba chiều
Định lí 2.2.1. Cho f L
2
0, T ; V , u
0
H. Khi đó tồn tại một nghiệm yếu u của hệ
Navier-Stokes thỏa mãn
u L
2
0, T ; V C
w
0, T ; H ,
du
dt
L
4 3
0, T, V ,
u là liên tục yếu từ 0, T vào H: u C
w
0, T ; H .
Chứng minh. Ta chứng minh sự tồn tại nghiệm bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin.
Bước 1. Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ.

2
, không gian con sinh ra bởi m véctơ riêng đầu tiên. Từ lí thuyết phương
trình vi phân thường suy ra nghiệm xấp xỉ u
m
t tồn tại và xác định trên 0, T .
Bước 2. Xây dựng các ước lượng tiên nghiệm đối với u
m
.
Nhân hai vế của (2.1) với g
im
t , sau đó lấy tổng theo j từ 1 đến m ta được
u
m
t , u
m
t ν u
m
t
2
f t , u
m
t .
Từ đây sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy ra
d
dt
u
m
t
2
2ν u

.
Lấy tích phân bất đẳng thức này từ 0 đến t, 0 t T , ta được
u
m
t
2
v
t
0
u
m
s
2
ds u
0m
2
1
ν
t
0
f t
2
ds
u
0
2
1
ν
t
0

.
Suy ra
T
0
u
m
t
4 3
V
dt c
T
0
u
m
t
2 3
u
m
t
2
dt c u
m
L 0,T ;H
T
0
u
m
t
2
dt .

u trong L
2
0, T ; V ;
Au
m
trong L
2
0, T ; V ;
du
m
dt
du
dt
trong L
4 3
0, T ; V .
Bây giờ ta cần chứng minh Bu
m
Bu trong L
4 3
0, T ; V .
Áp dụng Bổ đề compact Aubin-Lions, ta nhận được một dãy con của u
m
mà ta vẫn
kí hiệu là u
m
thỏa mãn
u
m
u trong L

b u
m
t , u
m
t , w t dt
T
0
b u
m
, w, u
m
dt
3
i,j 1
T
0 Ω
u
m
i
w
j
x
i
u
m
j
dxdt.
Do đó
T
0

u
m
j u
j
dxdt.
Bởi vậy ta cần xét biểu thức dạng
E
m
T
0 Ω
v
m
v wv
m
dxdt.
20
Ở đó v
m
v trong L
2
0, T ; H , w L
2
0, T ; H và v
m
bị chặn đều trong L 0, T ; H .Do
wv
m
L
2
0,T ;H

0
u t , ϕ t dt ν
T
0
u t , ϕ t dt
T
0
b u t , u t , ϕ t dt
u 0 , ϕ 0
T
0
f t , ϕ t dt.
Mặt khác, làm tương tự với nghiệm xấp xỉ Galerkin u
m
ta có
T
0
u
m
t , ϕ t dt ν
T
0
u
m
t , ϕ t dt
T
0
b u
m
t , u

21
Chương 3
Nghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes
3.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm mạnh toàn cục
trong trường hợp hai chiều
Định lí 3.1.1. Cho trước u
0
V và f L
2
0, T ; H . Khi đó tồn tại duy nhất một
nghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes
du
dt
νAu B u, u f
u 0 u
0
thỏa mãn
u L
2
0, T ; D A C 0, T ; H
du
dt
L
2
0, T ; H .
Chứng minh. Bước 1. Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ.
Giả sử w
j
j 1
là một cơ sở của V gồm các véc tơ riêng của toán tử A.Với mỗi m 1,

j
f t , w
j
, j 1, m,
u
m
0 u
0m
.
(3.2)
Ở đây u
0m
P
m
u
0
, với P
m
là phép chiếu từ H xuống span w
1
, , w
2
, không gian con
sinh ra bởi m véctơ riêng đầu tiên. Từ định lí Peano, nghiệm xấp xỉ u
m
t tồn tại .
Bước 2. Xây dựng các ước lượng tiên nghiệm đối với u
m
. Từ (3.2) ta có
u

f t . u
m
t
1
2νλ
1
f t
2
ν
2
u
m
t
2
.
Ta được
d
dt
u
m
t
2
ν u
m
t
2
1
νλ
1
f t

1
νλ
1
T
0
f s
2
ds .
Từ đó ta có
sup
t 0,T
u
m
t
2
K
1
. (3.4)
Từ đây ta suy ra
u
m
là bị chặn trong L 0, T ; H .
23
Lấy tích phân (3.3) từ 0 đến T , ta được
u
m
T
2
ν
T

u
m
s
2
ds K
2
K
1
ν
. (3.5)
và ta suy ra
u
m
là bị chặn trong L
2
0, T ; V .
Mặt khác, nhân vô hướng (3.2) với Au
m
t ta có ,
1
2
d
dt
u
m
t , u
m
t Au
m
t

3
2
3
8
Au t
2
2c
4
1
u t
2
u t
4
.
Do đó
1
2
d
dt
u
m
t
2
Au
m
t
2
f t Au
m
t Bu

từ đây
d
dt
u
m
t
2
3
4
Au
m
t
2
2 f t
2
4c
4
1
α
u
m
t
2
u
m
t
4
,
đặt c
2

Ta áp dụng kỹ thuật của bất đẳng thức Gronwall với
y t u
m
t
2
; g t c
2
u
m
t
2
u
m
t
2
; h t 2 f t
2
,
24