BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
HOÀNG THỊ HONG TUYET
Sự TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHAT NGHIỆM CỦA HỆ
GRADIENT TRONG KHÔNG GIAN
VÔ HẠN CHIỀU
Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. Trần Văn Bằng
Hà Nội, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô giáo,
đặc biệt là TS. Trần Văn Bằng, những người đã định hướng chọn đề tài và tận
tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, các thầy cô giáo,
cán bộ, nhân viên trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong
suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn
động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành
luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2014 Tác giả
Lời cam đoan
Luận văn này là kết quả của bản thân tôi đạt được trong quá trình học tập và nghiên cứu,
dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng và sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa
Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và của các Thầy, Cô đã trực tiếp giảng dạy chúng
tôi.
Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản Luận văn này tôi đã tham khảo một số tài liệu đã
ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ
Gradient trong không gian vô hạn chiều” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài
khác.

Không gian Bochner - Lebesgue
Hệ gradient Euclidean
Tích phân Bochner
Hoàng Thị Hồng Tuyết
Sự tồn tại và nghiệm của hệ gradient trong không
Hoàng Thị Hồng Tuyết
Chương 2.
31
31
313
5
2.1.
2.1.1.
2.1.2.
Hệ Gradient trong không gian vô hạn chiều
Gradient của dạng toàn phương
gian vô hạn chiều
Khái niệm gradient
2.1.3. Không gian Sobolev trên ri
2.1.4. Toán tử Dirichlet Laplace
2.1.5. Toán tử Dirichlet - p -

Laplace
Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm của hệ gradient
Hệ gradient không autonom
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục của hệ gradient với
năng lượng lồi

tính duy nhất nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều”.
Luận văn tìm hiểu về:
- Hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều, trong không gian vô hạn
chiều.
- Khái niệm nghiệm suy rộng của hệ gradient trong không gian vô hạn
chiều.
Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ gradient trong
không gian vô hạn chiều.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều
1.1.1. Gradient Euclidean của hàm trên R
d
Kí hiệu R
d
= {u = (ui, ,Ud)\uị

e M, 1 < ỉ < d}.

Phần tử của M
d

được kí hiệu là u

hoặc (Uị

) hoặc (Wj)i<j<d hoặc (ui, ,Uđ).
Tích vô hướng Euclidean trên M
d
được xác định bởi

d
là giá trị của u'

tại điểm u.

Không gian đối ngẫu (M
d
y được trang bị chuẩn
6
Đôi khi ta sử dụng II • II cho cả chuẩn trong và trong (M
d
y. Tương tự (•, •) vừa là
tích vô hướng trong R
d
vừa là cặp đối ngẫu giữa một phần tử của (M
d
y và một phần
tử của
Tính liên tục của hàm từ R
d
hoặc (R
d
y vào R
d
hoặc (R
d
y luôn được hiểu theo các
tôpô sinh bởi chuẩn.
BỔ đề 1.1 (BỔ đề biểu diễn, xem [2j, Định lí 2.13). Với mọi phiếm hàm tuyến
tính u' £ (M


и

—>

(M
d
y cho tương ứng mỗi и

£

и

với
phiếm hàm tuyến tính u'

G (K
d
y xác định bởi (1.2). Ta kí hiệu đạo hàm của £

tại
điểm и

là E'(ù).
Ta nói rằng 8

khả vi liên tục nếu £

là khả vi và đạo hàm 8'


!^(u) = E'(u)h.
Định nghĩa 1.3 (Gradient Euclidean). Cho u c R

d

là tập mở, £:[/—>■ M là hàm
khả vi. Gradient Euclidean của £

là hàm V
euc
£ cho tương ứng mỗi điểm u

G u

với
một phần tử duy nhất V

eu c

E(ù)

€ sao cho
S'(u)v = <v
euc
£(u),v)
cuc
, Vv e ra*. (1.3)
Theo Bố đề biếu diễn (Bố đề 1.1), gradient Euclidean V
eu c


Giả sử V là hướng tăng mạnh nhất, ta có:
v

eu c

£{u)

= ||£'(u)||v.
Bổ đề 1.6. Cho u CI
á
lầ một tập mở và cho £ : u —> M ỉà một hàm khả vi.
Khi đó s là khả vi liên tục nếu và chỉ nếu gradient Euclidean V
e u c
£ :
u —> M
d
là liên tục.
1.1.2. Hệ gradient Euclidean
Định nghĩa 1.7 (Hệ gradient Euclidean). Hệ gradient Euclidean là
8
hệ phương trình vi phân thường có dạng:
ù + v
eu c
£{ù) = 0, (1.4)
trong đó s

là một hàm thực khả vi liên tục đã cho trênmột tập mở
u c R
d
.

(1.5) nếu u

liên tục, F(-,u(-))

khả tích địa phương và nếu
1 lựu, r Ự,UỰJJ

KiiiA Iiun UỊa, pnuung va, nt
í
u(t) = U(S)-ỊF (r,u(r))dr, Vs,tel.
s
Nói riêng, nghiệm của hệ gradient (1.4) là một hàm liên tục u : I —>

R
d
sao
cho:
í
u(t) = u(s) - I v
eu c
£(u(r))dr, Vs,t G I.
s
Nếu u

là một nghiệm của hệ gradient (1.4), thì đạo hàm theo biến
thời gian của u

luôn luôn bằng — V£{u)

và do đó nó chỉ lượng giảm sâu


°- Chứng tỏ S(u)
là giảm (theo t

), hơn nữa nếu S(u)

không đổi thì {ủ, ủ)

=
0 nên ủ =

0, vì vậy u

không đổi. □
Định nghĩa 1.9. Giả sử u c M
d
là tập mở, F : u —>• R
d
liên tục. Ta gọi s : u
—>

M là một hàm năng lượng của phương trình vi phân thường
ủ

+ F(u

) = 0, (1.6)
nếu với mỗi nghiệm u

của phương trình đó, hàm hợp £(u)

) giảm. Do lim £{u{t

n

))

=
_____ n—¥00
S(tp)

nên £{ù)

bị chặn dưới. Tích phân của đẳng thức —S{ù)

= — Ị|w|Ị
2
~b 00 £+1
ta có f

||m||
2
hữu hạn. Từ đó suy ra lim f

||ủ||
2
= 0. Do vậy,
0 *-
>0
° t
1

/
ủ II < sup I ||ủ|| < ( / ||ủ||
2
)2 —y 0 khi n —> 00.
se [0,1] J J
tn t
n
t
n
1
1
sup
se [0,1]
Do tính liên tục của V
eu c

£

, từ trên suyra lim V
eu c

£(u(t

n

+ s)) = 0 đềutheo s

€ [0,1],
và do đó:
v,„

là một tập mở và cho F

: u —>

là hàm khả vi liên tục. Xét bài
toán tìm nghiệm ũ

G u

của phương trình đại số
F(ũ) = 0.
Có một cách để giải bài toán này là xét hàm s : u —>

M xác định bởi £{ù)

=
-||F(w)||
2
, trong đó II • II là chuẩn Euclidean. Khi đó, ta có F(ũ) =

0 <=> £{ũ)

=
0. Vì £

là hàm dương nên bài toán trở thành tìm một điểm cực tiểu của s trong u.
Nếu s đạt cực tiểu ta hi vọng rằng cực tiểu bằng 0. Cực tiểu của s

được tìm nhờ
phương pháp gradient giảm. Dễ thấy

+
—> của (1/7) với tập giá trị compact
tương đối trong u. Khi đó tồn tại ũ e Ư sao cho F(ũ) = 0.
Chứng minh.

Vì u

có tập giá trị compact tương đối trong u nên tồn tại
một dãy (t

n

/*

00) và một phần tử ũ

G u sao cho lim u(t

n
) = ũ.

Theo
ĩl

—>00
chứng minh trên, phương trình vi phân (1.7) là hệ gradient Euclidean
1
gắn với hàm: £(u

) = -||F(ií)ỊỊ

1
3
1.1.4. Hệ gradient tổng quát trong M
d
Ta nhắc lại rằng, tích vô hướng trên R
d
là một dạng song tuyến tính, đối
xứng, xác định dương bất kì trên R
d
.
Kí hiệu: £
2
(I^
d
;®0 là không gian tất cả các dạng song tuyến tính a

: M
d
X
M
d
—► R. Không gian này là không gian vecto với phép cộng và phép nhân
với vô hướng thông thường và nó là không gian Banach với chuẩn
||a|| := sup \\a(u,

f)||.
ỊHỊ< 1
ÌMỈ<1
Kí hiệu Inner(R
d

d
đối với tích vô
hướng (•,•).
Bổ đề 1.13. Cho (•, •) là một tích vô hướng trên M
d
. Khi đó tồn tại
một ánh xạ tuyến tính Q : —»• R
d
có các tính chất sau:
(i) Đối xứng, tức là với mọi v,w € R
d
ta có {Qv,w)
eu c
= {v,Qw)
eu c
,
(iỉ) Dương, tức là với mọi V E ta có (Qv,v) > 0;
(iii) Xác định, tức là nếu (Qv,w)
eu c
= 0 với mọi w € thì V = 0, và
1
4
(iv) Vói mọi v,w eR
d
ta có
(v,w)

= (Qv,w)
eu c
.

eu c
= {v,Qw}
eu c
, \/v,w e
hay Q

đối xứng. Hơn nữa, với mọi V

G {Qv,v)

eu c

= (v,v)

eu c

>

0.
Cuối cùng, (Qv,w)

eu c

=

0 với mọi w

G M
d
=>• (v, w)


và II • ||
s
(
u
) là chuẩn sinh
bởi tích vô hướng g(u)

trên R
d
.
Bổ đề 1.15. Giả sử g : u —> Inner(M
d
) là một metric Rieman và Q : u —
>• £(K
d
) là hàm cho bởi
(Q(u)v, w)
eu c
= (V, w)
g{u)
, Vu£U, v,w £R

d
.
Khi đó Q liên tục.
1.12

||гу||<1
= \Ì9(ui) -д{щ)\\
Mà g

liên tục nên Q

liên tục. □
Cho u

Ç M
d
là tập mở, £ :

и

—>

R là hàm khả vi liên tục. Ta biết rằng, với
mỗi и

£

u và mọi V e R

ẵ

đạo hàm và gradient Euclide của £

liên hệ với nhau bởi
£'{u)v = (’V

:

ta định nghĩa gradient của £

đối với g

là
hàm VgS

cho tương ứng mỗi и

€ и

với phần tử duy nhất Vg£(u)

G M
d
sao cho:
£'{u)v

= (Vg£

(u), v

)
g{u)
, Mv

G R


Theo Bổ đề 1.15 và Bổ đề 1.6 ta suy ra VgS

liên tục. □
Định nghĩa 1.17. Hệ gradient (tổng quát) trong là phương
trình vi phân thường có dạng
i 4- Vg£(u) =

0,
trong đó VgS

là gradient của hàm khả vi liên tục £ :

u M đối với metric Rieman
g.
Hệ gradient này nhận £ là hàm năng lượng (xem Bổ đề 1.8)
Bổ đề 1.18. Nếu u ỉà một nghiệm của hệ gradient (1.9) và £ khả vi
liên tục thì hàm hợp £(ù) = £ o u là hàm giảm. Hơn nữa, nếu hàm £
{ù) không đổi thì nghiệm u không đổi (theo t).
Chứng minh.

Do s

và u

khả vi liên tục, nên £(u)

cũng khả vi liên tục. Vì thế, ta
chỉ cần chứng tỏ đạo hàm của £{u

) là không dương. Thật vậy

tại nghiệm địa
phương của hệ
gradient được khẳng định nhờ Định lý Caratheodory cho phương trình vi phân
tổng quát hơn sau đây.
Định lý 1.19 (Caratheodory, xem [|3Ịj, Định lý 2.6). Cho D

c R X R
d
là tập mở,
F

: D

—»■ (t,u

) = F(t,u

) là hàm thỏa mãn các điều kiện

Caratheodory sau:
F(-,u

) đo được với mỗi u, (1-10)
F(t,

•) liên tục với mỗi t và (1-11)
Với mỗi (í
0
,w
0

€ [0,1), là nghiệm của
1 t
ủ

— u

2

=

0,
1
8
(1.13)
b) Hàm u(t)
bài toán
0 và u(t) = -t
2
, t € M+ là hai nghiệm phân biệt của
triển thành một nghiệm trên khoảng [t

ữ

,t

ữ

+

ß

tồn tại một nghiệm cực đại của bài toán (1.13)
Chứng minh. Xem [3J, Hệ quả 2.8.
Từ Định lý 1.19 ta có hệ quả sau:
với mỗi (t
0
,u
0
) e D
1.19
□
(1.15)
CÓ nghiệm địa phương. Nghĩa là tồn tại một khoảng không suy biến J
= [t
ữ
,t
ữ
+ a\ c I và tồn tại một hàm liên tục u \ J —¥ R
d
sao cho với mọi
t e J
u(t) — u
Q
+ / 'Vg£(u(s))ds = / f(s)ds.
Jt
0
J to
Chứng minh.

Ta chỉ cần kiểm tra các điều kiện Caratheodory. □
Nghiệm cực đại của hệ gradient (|1.15D được định nghĩa như đối với

sao cho
\\v\\
g{ u)
< C\\v\\
eu cì
Vu,v e R
d
, trong đó c > 0. Khỉ đó, với mọi u
0
G và
với mỗi hàm f : [0,T] —>
2
0
M
d
(T > 0), hệ gradient không autonom
ủ + Vg£{u) = /, u(0)
= Mo
luôn có nghiệm cực đại trên [0,T]. Hơn nữa,
{u(t):t£[0,T]}CK
c
,
c
T
trong đó c = £(u
0
) -ị f II f lleĩic chỉ phụ thuộc vào dữ liệu u
ữ
, f và hằng
2 0

ị J
ll/llỉí.)
+ị J

ll*llĩt-)
0 0
T 1
< 1 / I I / I I L
+ ị j
I H I Ỉ O O
0 0
(1.16)
được bảo đảm bởi Hệ quả
1.21
và
Theo định nghĩa của gradient và quy tắc đạo hàm hàm hợp, ta có (V

g

£
{u),ủ}

g{ u)

= £'{u)ũ = J

t

£{u).
Điều này và bất đẳng trên suy ra

c

là compact.
Vì gradient Vg£

liên tục trên K

c

(Bổ đề 1.16) và do tập giá trị của
u

chứa trong K

c

,

nên sup ||Vg£(M(í))||
eílc
< oo. Do đó, phương trình
íe[0,Tl
ax
)
vi phân (1.16) suy ra HủỊỊeuc bị chặn và khả tích trên [0,T
max
). Vì thế, u

thác
triển thành một hàm liên tục trên khoảng đóng [0,T

Ta có thể sử dụng kết quả về sự tồn tại nghiệm của hệ gradient trong việc
nghiên cứu tìm nghiệm của phương trình đại số như sau.
Cho u

c R

là tập mở, và cho F : u —> R

d

là hàm khả vi liên tục. Xét bài
toán tìm một nghiệm ũ

ẽ u

của phương trình đại số
F(ũ) = 0.
c < oo.
Xét hàm 8

: u —>

M xác định bởi £(u)

= -||F(w)||
2
, trong đó II • II là
chuẩn Euclide trên R
d
. Khi đó ta có F(ũ)


€ u, V € M
d
,
M

g{ u)

= {F'{u)v,F>{u)v)
eu c
= \\F'(u)v\\l
c
> 0,
ha
y (■) ')g(u)

là nửa xác định dương. Nếu (v,v}

g { u)

=

0, thì \\F'(u)v\\

2

eu c

= 0
nên F'{ù)v

F{u),F>{u)v)
eu c
= (F

/

(u)~

1

F(u),v

) ^ ^ (định nghĩa của mêtric g

).
Vậy
V

g

£(u)

= F'{u)-
l
F{u).
Do vậy, phương trình vi phân
ủ + F ' { u ) ~
l
F { u ) = 0 (1.17)
là một hệ gradient gắn với năng lượng s.

d
là một tập mở và kí hiệu A

là ơ -

đại số Lebesgue các tập
con của ri, nghĩa là, ơ -

đại số nhỏ nhất chứa ơ -

đại số Borel (là ơ

đại số
sinh bởi các tập mở) và tất cả các tập con có độ đo Lebesgue bằng không.
Độ đo Lebesgue trên Q

được kí hiệu là ịi.
Hàm / : íì

—»• X

được gọi là hàm bậc thang, nếu tồn tại một dãy {A

n

)

ç A

các tập

Lưu ý rằng trong trường hợp X

= M, định nghĩa này tương đương với cách định
nghĩa "nghịch ảnh của mọi tập đo được đều đo được". Từ định nghĩa ta có Bổ đề sau
đây:
Bổ đề 1.26 (Xem [3] Bổ đề 5.1). Cho X,Y

là hai không gian Banach thực:
a) Mọi hàmliên tục f : ri —> X đều là hàm đo được.
b) Nếu / : —> X đo được thì 11/11 : —> M cũng đo
được.
c) Nếu f : n X đo được và g : X —>■ Y liên tục thì hàm hợp g о / : íỉ
— »■ Y đo được.
d) Nếu f : ri —>■ X và g : ri —)■ R đođược thì tích
f g : Q — ^ X đo được.
e) Nếu f : —> X và g : Q —> X' đođược thì tích (g,
f )

x

,x
: Q — »• M đo
được.
f) Nếu ( f
n
) là một dẫy các hàm đo được từ— »• X sao cho f
n