BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ TĂNG
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ GRADIENT TRONG
KHÔNG GIAN
VÔ HẠN CHIỀU
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG
Hà Nội - 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng, người đã định hướng chọn
đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy
cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin đượcgửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 1 năm 20lị Tác
giả
Nguyễn Thị Tăng
Lời cam đoan
Luận văn này là kết quả của bản thân tôi đạt được trong quá trình học tập và nghiên
cứu, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng và sự giúp đỡ của các thầy, cô trong khoa
Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 và các thầy, cô đã trực tiếp giảng dạy chúng tôi.
Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản Luận văn này tôi đã tham khảo một số tài liệu
đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài
“Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong
không gian vô hạn chiều”, không có sự trùng lặp với kết quả của các
đề tài khác.

1.3.1.
1.3.2.
1.3.3.
1.3.4.
1.3.5.
Toán tử Dirichlet-Laplace
Toán tử Dirichlet-p-Laplace
Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient
17
2
0
21
2 2
25
Khái niệm gradient
Gradient của dạng toàn phương
Không gian Sobolev trên Í2
Chương 2
2.1.
2.2.
2.3.
41
42
41
4
6
+
Sự ổn định nghiệm cho nghiệm toàn cục của hệ gradient
Sự không ốn định cho nghiệm toàn cục của hệ gradient
Tập cư-giới hạn của một hàm liên tục trên M

trong đó U

: I —> R

D

còn S

: M
d
—>

M là hàm năng lượng.
Dễ thấy, £

là một hàm giảm theo mỗi nghiệm trơn của hệ. Thật vậy,
nếu U

là một nghiệm trơn của hệ thì ta có
= (V£(u(í)),ủ(í)) = - (Ù(T),Ủ(T))

< 0.
nên £

giảm theo mỗi nghiệm, trừ khi nghiệm đó không đổi.
Nhờ cấu trúc gradient mà chúng ta có thể nghiên cứu nhiều tính chất định tính của
nghiệm, cũng như mở rộng nghiên cứu hệ trong không gian vô hạn chiều.
Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại, được sự định
hướng và chỉ bảo tận tình của TS. Trần Văn Bằng, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài
“Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều”.

nghiệm của các phương trình vi phân trừu tượng được tìm trong không gian
Bochner-Lebesgue hoặc không gian Bochner-Sobolev các hàm giá trị Banach.
Trong cả mục này, ta chỉ xét tập con mở trong R
d
với độ đo Lebesgue. Nhưng
hầu hết các kết quả về tích phân Bochner và không gian Bochner- Lebesgue vẫn
đúng cho các không gian đo tổng quát.
1.1.1. Tích phân Bochner
Cho X là một không gian Banach thực với chuẩn II ■ II, cho c M
d
là một tập
mở và kí hiệu A

là (7-đại số Lebesgue các tập con của íĩ, nghĩa là, cr-đại số nhỏ
nhất chứa cr-đại số Borel (là Ơ

đại số sinh bởi các tập mở) và tất cả các tập con có
độ đo Lebesgue bằng không. Độ đo Lebesgue trên được kí hiệu là ỊI.
Hàm / : Q —¥ X

được gọi là hàm bậc thang, nếu tồn tại một dãy (A

N

)

c A

các tập đo
được Lebesgue đôi một rời nhau và một dãy (X

—> F

hầu khắp nơi. Lưu ý rằng trong trường hợp X

= M, định nghĩa này
tương đương với cách định nghĩa "nghịch ảnh của mọi tập đo được đều đo được". Từ
định nghĩa ta có Bổ Đ Ề S A U Đ Â Y :
Bổ đề 1.1 (Xem [IJ, Bổ đề 5.1). Cho X,Y ỉà hai không gian Banach thực:
a) Mọi hàm liên tục f : ÍỈ —>• X đều là hàm đo được.
b) Nếu f : íỉ —»■ X đo được thì 11/11 : ri —»■ R cũng đo được.
c) Nếu f : íỉ —> X đo được và g : X —>• Y liên tục thì hàm hợp g o f : fì Y
đo được.
d) Nếu f : Q ^ X và g : Q —> M đo được thì tích f g : Q ^ X đo được.
e) Nếu f : íỉ X và g : ri —¥ X' đo được thì tích (g, f )
x
,
x
: íỉ M đ o được.
f) Nếu (f
n
) là một dãy các hàm đo được từ X sao cho /n —> / hầu khắp nơi
thì f đo được.
Định lý 1.1 (Pettis, xem [IJ, Định lý 5.2). Hàm f : ri —> X là đo được nếu và chỉ nếu (x ', /) là đo
được với mọi x' e X' (khi đó ta nói f là đo được yếu) và tồn tại một tập có
độ đo Lebesgue không N & A sao cho /(íỉ \ N) là tách được.
Ta nói rằng hàm F : N —¥ X ÌẦ

khả tích nếu / là đo được và
/11/11 < 00, nghĩa là, nếu / là đo được và hàm dương 11/11 : íỉ —>



hội tụ tuyệt đối và có tổng độc lập với dạng biểu diễn
ĩl
của /. Vì vậy, tích phân Bochner của hàm bậc thang khả tích được xác định tốt; tích phân
Ị FDỊI

là một phần tử của X.
n
Với hàm khả tích F : N X

bất kỳ, ta định nghĩa tích phân (Bochner) của / bởi
trong đó (FN

) là một dãy các hàm bậc thang từ Q

—>■ X

sao cho Ị|/
n
Ị| < 11/11 và F

N

-» /
hầu khắp nơi.
Chú ý rằng dãy (F

n
) như vậy luôn tồn tại; các hàm bước nhảy /
n

Ta cũng sử dụng những kí hiệu sau cho tích phân Bochner:
J f hoặc Ị f{t)dfi(t), f2
f2
và nếu íĩ = (a, B

) là một khoảng trên M, thì ta viết B B B

Ị F

hoặc J
F(T)DFI(T

) hoặc J F(T)DT
a a a
cho tích phân Bochner của một hàm khả tích / : (a, B

) —¥ X.
Ta cũng đặt
l l / I U » : = m f { C > 0 :
M
( { | | f | | > C } ) = 0 } .
Với 1 < P <

oo ta định nghĩa
Với mỗi hàm đo được / : íì —> X và 1 < p < 00, ta đặt
1.1.2. Không gian Bochner-Lebesgue
1
1
X)


IIÍ/1IU* :=№>, ( l f ] = f + N
p
).
Chuẩn của lớp tương đương [/] được xác định tốt, nghĩa là, nó độc lập với biểu diễn /
trong lớp đó. Ta gọi không gian L

P

(X)

là không gian
1
2
Bochner-Lebesgue. Như trong trường hợp vô hướng, ta đồng nhất các hàm / e C

P

{

fi;X)
với lớp tương đương của nó, [/] € L

P

($}-,X)

và ta nói rằng Ư

là một KHÔNG GIAN HÀM.
Đặc biệt ta đồng nhất hai hàm nếu chúng bằng nhau hầu khắp nơi.

n
) c X là hai dãy trù mật thì:
T := {/ : X : / = H
N
X
M
, N, ra e N}
là đếm được và span(J
r
) trù mật trong L
p
{ỹL\X).
thức Holder, V/ £

Ư{Ũ]X) và v<7 € L
p
\ũ]X') hàm (f,g)xx/ là khả
tích và
/
Hơn nữa
\\g\\
ư
= sup [ (f,g)
ÍI
1
3
V
Cho 1 < P < OO

và gọi P'

ánh xạ này nói chung không phải là toàn ánh, ngay cả khi P

< oo. Việc đồng nhất L

P

(ÍIY
— L

P ,

(ÍÌ)

(khi P <

00) là không còn đúng cho không gian Bochner-Lebesgue nói
chung, nghĩa là ta không có sự đồng nhất đầy đủ của không gian đối ngẫu của L

P

(Q,]X

)
với không gian Bochner- Lebesgue. Tuy nhiên các kết quả sau đây là đúng.
Định lý 1.4 (xem [IJ, Định lý 5.6). TA CÓ
a) Nếu 1 < p < oo và X phản xạ thì L
P
(Q; X)' = L
p
'(ri; X').

cị
(a,
b
) ta có
J
M P ' = —
I
V i p } .
a a
Rõ ràng, hàm V được xác định duy nhất nếu nó tồn tại. Ta viết U ' := V và ta gọi
U'

là đạo hàm yếu của U.

Không gian W

L ,P

{A

, B; X)

là không gian Banach với
chuẩn
IỊiíỊỊ^i.ĩ, := (IMI^p + IKII^p N Ế U 1 < P <

00 và ||
u||
w
i,» := sup{||w||

00
và X phản xạ thì không gian w
1 ,p
(a, b',X) cũng
phản xạ.
sao
c) Nếu H là không gian Hilbert thì không gian H
1
(a, 6; H) := w
1 , 2
{a
ĩ
6; H) là không gian Hilbert với tích vô hướng:
b b
v
)
H
- { a , b - , H ) ■ =
J
v
) h +
J
(
u
' ’
v
' ) h > ^ #)•
a a
Bổ đề 1.3 (Xem [IJ, Bổ đề 5.8). CHO U


(a, 6; X). Khi đó tồn
tại một hàm liên tục ũ : [a,b] —>■ X bằng với u hầu khắp nơi và với mọi
s, t G [a, 6],
Định lý 1.7 (Định lý nhúng Sobolev, xem [3], Định lý 5.11). Cho (a, b) /à một khoảng bị chặn. Khi đó
w
1 , p
(a,b', X) chứa trong C([a, b]',X) và tồn tại hằng số c >
0
sao cho
Vu € w
1 , p
(a, b ] X ) .
Định lý 1.8 (Đạo hàm của tích và tích phân từng phần, xem [IJ, Định lý 5.12). CHO

(a,
B

) LÀ MỘT KHOẢNG BỊ CHẶN, CỐ ĐỊNH

1 < P <

oo VÀ GIẢ SỬ
U

G W

1 , P

(A,B; X),V



là một không gian Hilbert, thì H

K

(A

, 6; H

) := M^
fc,
2
(a, 6; iJ) là một không
gian Hilbert với tích vô hướng
(u,v)
H k
:=^2(u
{j )
,v
{j )
^ .
3 = 0
Cuối cùng ta định nghĩa
W^(a,b-,X) ■.= C
1
e
(a,b-
1
X)
Hw


thì ta viết:
U'(Ù)

hoặc U'U

hoặc (U',U

) hoặc (U',U}Y,

V
là giá trị của U'

tại phần tử U

€ V.

Không gian đối ngẫu V'

được trang bị bởi chuẩn
1.3.1. Khái niệm gradient
Cho И

ç V

là một tập mở, £ :

И

—>• R là một hàm. Ta nói rằng £


cho tương ứng mỗi И

G И

với phiếm hàm tuyến
tính U'

G V'

thỏa mãn đẳng thức trên. Ta kí hiệu đạo hàm của S

tại
điểm И

là £'{U).

Ta nói £

là khả vi liên tục nếu £

khả vi và đạo hàm
£' : U —> V'

là liên tục. Tập tất cả các hàm khả vi liên tục И

—>

M là
một không gian véctơ được kí hiệu bởi C

: И

—»■ M, ta định nghĩa gradient Vtf£ đối với tích vô
hướng (•, -)

H

bởi
Dịy
H
S) := {u G u : 3v G H sao cho s'(u)ip = (v,ự))
H
, với mọi và
V
H
£{u) := V, tức là, VH£{Ù)

là phần tử duy nhất trong H

(nếu tồn tại) biểu
diễn đạo hàm £'{Ù)

theo tích vô hướng trong H
£'(u)ip = ỰV
H
£{u),(p)
H
, V^ey. (1.1)
Từ "nếu nó tồn tại" trong định nghĩa trên là quan trọng. Nó đánh dấu một sự khác biệt so
với gradient trong không gian hữu hạn chiều. Thực tế chúng ta xét hai không gian V


—>• K. Phép tương ứng đó xác định một toán tử từ H'

—>■ V'

là tuyến tính, liên
tục và đơn ánh do V

trù mật trong H.

Tuy nhiên nói chung phép nhúng H' —> V'

không
toàn ánh, tức là không phải mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục U'

G V'

đều thác triển
được thành phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H.

Do đó, có thể tồn tại £'{Ù)

ẽ V'

nhưng
không thác triển liên tục được lên H.
Tuy nhiên nếu U'

€ V'


: H

X H

—»■ R, tức là: Vu, г>,
ги G H

và VA e R ta CÓ
a(Xu + v,w) = Xa(u, w;) + a(î;, w;), và a(u, Ai! + -ш) =
Aa(w, г;) + а(и, w), và 3Ơ > о : |а(и,г?)I < С||и||
яЦг’Ця, \/u,v £ н.
là không gian tuyến tính với phép cộng và phép nhân với vô hướng thông
thường. Hơn nữa, nó là không gian Banach với chuẩn
II а II := sup IA(U,

г?)I.
||и||я<1
1М1я<1
Bên cạnh sự hội tụ theo chuẩn trong С

2

(Н;Ш)

ta cũng xét cả sự hội tụ mạnh của dãy.
Ta nói dãy (A

n
) с £
2


N

,U

G U

và lim IIU

N

— U\\V

= 0 thì
(G(U

n
)) hội tụ mạnh tới G(U).
71—» ОС
Với mọi И

G U

tích vô hướng G(U

) và chuẩn tương ứng cũng được kí hiệu bởi (•,-)
5
(
u)
và

V
g
E(u) := V
tức là, VGS(U)

là phần tử duy nhất trong H

(nếu tồn tại) biểu diễn đạo hàm £'(U)

đối với
tích vô hướng (•, -)G^ ■
£'(u)ip = {Vg£(ù),<p)
g{u)
, € V.
Nếu với mỗi U

e u, tích vô H Ư Ớ N G (■, •) ( ) tương đương với tích vô hướng (•, -)

H

thì
phần tử U £ DỊYG£)

khi và chỉ khi đạo hàm 8'{Ù)

có thác triển liên tục lên H.
1.3.2. Gradient của dạng toàn phương
Hàm s : V —»■ M là một dạng toàn phương nếu tồn tại một dạng song tuyến tính,
đối xứng a : F x y - } R sao cho:
S(u) = ịa(u,u),

— V

)) nên
A

cũng liên tục.
(1.2)
□
Từ định nghĩa ta dễ dàng kiểm tra được
Mệnh đề 1.2. Nếu £

: V —

> M là dạng toàn phương liên tục tương ứng với
dạng song tuyến tính a : V X V —>■ M thì s khả vi liên tục và
£'{ù)v = a(u,v), Vu,v e V.
Cho dạng toàn phương £ : V —>

M gắn với dạng song tuyến tính A : V

X V

M, H

là
không gian Hilbert với tích vô H Ư Ớ N G (•, -)

H

,

và và VH£{

U

)

= V-
Điều này cho thấy, gradient của dạng toàn phương s đối với tích vô hướng (-,-}

H

là một
toán tử tuyến tính trên H.

Miền xác định DIY

H

£)

là một không gian tuyến tính con của H
và ánh xạii 14 V

H

£(U

) là tuyến tính. Tuy nhiên, gradient của một dạng toàn phương đối
với một mêtric nói chung là không tuyến tính.
1.3.3. Không gian Sobolev trên íì

{íì) : VI < * < d ta có 1^- <E VF
fc_1
’
p
(íỉ)|
là không gian Banach với chuẩn
1
Không gian H

K

(Q)

:= W

K , 2

(Q)

là khônggian Hilbert với tích vô hướng
du dv \
d Ị
(u,v)
H k
:= (U,V)
l2
+ ^2(
i=l '
1.3.4. Toán tử Dirichlet-Laplace
Mục này đề cập tới một ví dụ về gradient của dạng toàn phương liên kết với bài toán


được
nhúng liên tục và trù mật trong H.

Gradient của £

ứng
d
+Ê
i=l
dxị' dxị/
ỈỊ k
.
1
với tích vô hướng thông thường trên L

2

là
D{Y

L

2S)

= {U

€ : 3V

€ L


Đặc biệt, AU

e £
2
(fi), nếu ta hiểu AU

là tổng các đạo
d
2
u
hàm riêng yếu cấp hai 7—= Theo đinh nghĩa đao hàm yếu (hoăc theo
dxị
định nghĩa của H
1
và ií
2
), với mỗi ip € ơ*(fỉ),
/
/• ^ o rv d fk
ẺỀ-M-Ế
n n
Í_1 Í_1
n
Ị
ũ
Do CỊ(

ri) trù mật trong HQ(Q),


n
=
" § / ^
=
" / 5
i_1
ỉí íí
i_1
= — /