ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ LEN

ẢNH HƯỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM
LÊN HIỆU ỨNG RADIO - ĐIỆN TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
VỚI CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết - Vật lý Toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. HOÀNG ĐÌNH TRIỂN

Hà Nội - Năm 2014


MỤC LỤC
Trang

MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 2
2. Mục tiêu nghiên cứu...................................................................................... 3
3. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 3
4. Nội dung nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu ............................................... 3
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ...................................................... 3
6. Cấu trúc của luận văn .................................................................................... 4
Chương 1: SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ HIỆU ỨNG RADIO –
ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI .................................................................. 5

DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 3.1 ......................................................... Error! Bookmark not defined.0
Hình 3.2 ......................................................... Error! Bookmark not defined.1


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn em
là TS. Hoàng Đình Triển đã luôn chỉ bảo, hướng dẫn tận tình những vướng
mắc em gặp phải trong suốt quá trình thực hiện, để em có thể hoàn thành tốt
nhất bản Luận văn thạc sĩ này.
Em xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các thầy cô giáo trong khoa Vật lý đã
dạy dỗ và truyền đạt kiến thức bổ ích cho em trong suốt những năm qua, tạo
điều kiện để em có kiến thức thực hiện nội dung bài Luận văn thạc sĩ này.
Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo, tập
thể cán bộ làm việc tại Bộ môn Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán - Trường Đại
học Khoa học tự nhiên đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời gian qua.
Cuối c ng, em xin gửi lời cảm ơn tới bạn b , những người đã ủng hộ,
động viên, giúp đỡ em trong quá trình làm Luận văn thạc sĩ.
Hà Nội, ngày 20 tháng 12 năm 2014
Học viên

Nguyễn Thị Len

1


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, các chất bán dẫn được ứng dụng rộng rãi trong
điện tử học. Một hướng nghiên cứu mới được hình thành trong việc tạo ra bán dẫn

hay điện tử – phonon quang đã thu được những kết quả cụ thể. Tuy nhiên, hiệu ứng
radio – điện trong các cấu trúc siêu mạng, đặc biệt là siêu mạng hợp phần có tính
đến ảnh hưởng của sự giam cầm phonon lên vẫn còn là một vấn đề mở [7].
Do đó, trong luận văn của mình, tôi xin được trình bày các kết quả nghiên
cứu về đề tài: “Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio – điện trong
siêu mạng hợp phần với cơ chế tán xạ điện tử – phonon âm”
2. Mục tiêu nghiên cứu
Đề tài sẽ nghiên cứu ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio –
điện trong siêu mạng hợp phần với cơ chế tán xạ điện tử – phonon âm trên cơ sở lý
thuyết hiệu ứng radio – điện trong bán dẫn khối [9-11]. Với mục tiêu là thu nhận
được biểu thức giải tích của điện trường lên các trục, từ đó khảo sát sự ảnh hưởng
của các thông số lên cường độ điện trường của siêu mạng. Kết quả thu được của đề
tài đóng góp cho sự hiểu biết thêm về các hiệu ứng vật lý trong vật liệu thấp chiều,
góp phần thức đẩy sự pháp triển chung về khoa học cơ bản[5-10].
3. Phương pháp nghiên cứu
Đối với bài toán về hiệu ứng radio điện trong siêu mạng hợp phần (trường
hợp tán xạ điện tử - phonon âm), tôi sử dụng một số phương pháp nghiên cứu quan
trọng. Trước tiên là phương pháp phương trình động lượng tử. Phương pháp được
sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ bán dẫn thấp chiều, đạt hiệu quả cao và cho
các kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định[8-12]. Sau đó, tôi d ng chương trình
Matlab để có được các kết quả tính toán số và đồ thị sự phụ thuộc của cường độ
điện trường vào các thông số của siêu mạng hợp phần GaAs/Al 0.3Ga0.7As.
4. Nội dung nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Với mục tiêu đã đề ra, tôi nghiên cứu sự phụ thuộc của trường radio – điện
vào cường độ và tần số của sóng điện từ mạnh, tần số của sóng điện từ phân cực
phẳng, đặc biệt là phụ thuộc vào chỉ số giam cầm của phonon m. Bài toán về hiệu
ứng radio – điện được nghiên cứu đối với siêu mạng hợp phần GaAs/Al0.3Ga0.7As.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Những kết quả thu được của đề tài đóng góp một phần vào việc hoàn thiện lý


Siêu mạng hợp phần được tạo thành từ một cấu trúc tuần hoàn các hố lượng
tử trong đó khoảng cách giữa các hố lượng tử đủ nhỏ để có thể xảy ra hiệu ứng
đường hầm. Do đó, đối với các điện tử có thể xem các lớp mỏng như là thế phụ bổ
sung vào thế mạng tinh thể của siêu mạng. Thế phụ này cũng tuần hoàn nhưng với
chu kỳ lớn hơn nhiều so với hằng số mạng. Thế phụ tuần hoàn này được hình thành
do sự chênh lệch năng lượng giữa các cận điểm đáy v ng dẫn của hai bán dẫn tạo
nên siêu mạng. Sự có mặt của thế siêu mạng đã làm thay đổi cơ bản phổ năng lượng
của điện tử và do đó siêu mạng có một số tính chất đáng chú ý mà bán dẫn khối
thông thường không có.
Hệ điện tử trong siêu mạng hợp phần là hệ điện tử chuẩn hai chiều. Các tính
chất vật lý của siêu mạng được xác định bởi phổ điện tử của chúng thông qua việc
giải phương trình Schrodinger với thế năng bao gồm thế tuần hoàn của mạng tinh thể
và thế phụ tuần hoàn trong siêu mạng, việc giải phương trình Schrodinger tổng quát
là rất khó. Vì chu kỳ của siêu mạng lớn hơn nhiều so với hằng số mạng tinh thể
nhưng biên độ của thế siêu mạng lại nhỏ hơn nhiều so với biên độ của thế mạng tinh
thể nên ảnh hưởng của thế tuần hoàn của siêu mạng chỉ thể hiện ở mép v ng năng
lượng. Tại đó, quy luật tán sắc của điện tử có thể coi là dạng bậc hai; phổ năng lượng
của điện tử trong siêu mạng bán dẫn có thể xác định bằng phương pháp gần đúng
khối lượng hiệu dụng đối với các v ng năng lượng đẳng hướng không suy biến.
Dựa vào sự tương quan vị trí giữa đáy và đỉnh v ng dẫn của các bán dẫn,
người ta phân loại siêu mạng hợp phần như sau:
+ Loại I: Được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng v ng cấm hoàn toàn bao
nhau. Trong siêu mạng này, sự tương tác giữa các mạng hay từ các lớp riêng biệt
chỉ xảy ra giữa các v ng năng lượng c ng loại. Ở đây cả lỗ trống và điện tử đều bị
giam nhốt trong c ng lớp A.
+ Loại II: Được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng v ng cấm nằm gần
nhau, nhưng không bao nhau hoặc chỉ tr ng nhau 1 phần. Trong trường hợp này,
các hạt mang khác loại có thể tương tác với nhau. Siêu mạng này lại có thể chia
thành 2 loại:


+κ

Nd

ϕζ)ψ
ψ)}
εξπ(ικ

j=1

(ζ − ϕδ)∑

Với :

L x : Độ dài chuẩn theo phương x
L y : Độ dài chuẩn theo phương y
ψ n ( z) : Hàm sóng của điện tử trong hố thế biệt lập
Dựa vào tính chất tuần hoàn của U (r ) mà các siêu mạng có thể có một, hai
hoặc ba chiều. Đối với hệ điện tử chuẩn hai chiều, cấu trúc v ng năng lượng có thể
tìm được bằng cách giải phương trình Schrodinger, trong đó ta đưa vào thế tuần
hoàn một chiều có dạng hình chữ nhật.
Thế tuần hoàn của siêu mạng ảnh hưởng rất ít tới sự chuyển động của điện tử
theo phương vuông góc với trục siêu mạng (trục z). Chuyển động của điện tử theo
phương z sẽ tương ứng với chuyển động trong một trường thế tuần hoàn với chu kỳ
bằng chu kỳ d của siêu mạng.
+ Phổ năng lượng của điện tử:

()

2

1

Nếu không có tác dụng của trường điện từ phân cực phẳng và trường điện từ
mạnh, các hạt tải trong bán dẫn khối chuyển động định hướng theo E0 . Dưới tác dụng
của 2 trường bức xạ có tần số ω và Ω sẽ làm cho chuyển động định hướng của hạt tải
theo E0 sẽ bị bất đẳng hướng. Sự chuyển động bất đẳng hướng này làm xuất hiện các
điện trường E0 x , E0 y , E0 z trong điều kiện mạch hở. Đó chính là hiệu ứng radio – điện.
+ Phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối:

∂f ( p, t ) 
∂f ( p, t )   ∂f ( p, t ) 
 + eE0 ,  =
+ eE (t ) + ωH p, h (t) ,
∂t ∂p ∂p



+∞

= 2π

(q) J (a, q ) 
∑M ∑

trong đó ωH =

q

l2
l =−∞


 λ − τ (ε ) 
E0 x = EW 
2
zx
1 + ω τ 2 ( Ω)

2

22

F

1 − ω τ ( ε F )
A

zx  2 2
1 + ω τ (ε F )




E0 y = EW τ (Ω) λzy−τ (ε F ) Azy 
E0 z = −Ew {1 −τ (Ω) λzz + τF (εzz)+Α ×
τ 2 (Ω) 1
 − ω xxτ(λΩ)−τ τ(ε(εF ))
×
2
1 + ω τ 2 (Ω)


mΩ , a0 =

2β

τ ( Ω)

(δ il − 3a0i a0l ) , Αil = β δ il , τ (ε ) = τ (ε F )  
3τ ( Ω)
 εF 

ε

1/2

α (ω ) ε W
a
; α (ω ) là hệ số hấp thụ.
EW =
a
enec

Biểu thức (2), (3), (4) cho thấy trường radio điện trong bán dẫn khối phụ thuộc
vào đặc trưng của trường bức xạ laser và sóng điện từ phân cực phẳng.

8


Chương 2
HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM


∑∑C

U=

(1)

q,m

'

q,m n,n , p⊥

I m ( qz )a +
n'
n,

n

', p
⊥

+ q⊥

⊥

a

n,p
⊥

} = a, a

' n

n n, p +',
⊥ p

+

⊥

, an+', p ⊥ n,p ' n
,p

⊥⊥

⊥

a +', p ' + a=δ
+', p 'n,n
an,'δp p
⊥

⊥

⊥

, p⊥ '

an+', p⊥' + an+', p 'a n+, p ⊥= 0


(7)


1 ∂ A(t )
F (t ) = F0 sin ( Ωt ) = − ⇒ A(t ) =
c ∂t

cF0
cos (Ωt )
Ω

+ I mn' n(, qz ) : Thừa số dạng của điện tử trong siêu mạng hợp phần.
I mn ,'n( qz )0 =

∫

N .d

N .d

∗

iq zz

,

ψ n ( z)ψ n ( z)e

mπ

là số điện tử trung bình tại thời điểm t.
t

+ Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần có dạng:

i

∂nn, p (t )
∂t
⊥

∂nn, p⊥ (t )

Hay: i

∂t

=  na +, p an, p , H 

⊥

⊥

t

=  na +, p an,p , H 0 + U ⊥

⊥

(8)


⊥ ⊥

'
⊥

 e

+
∑n ', p εp'n '  A⊥(' t−) a ' '  =

 n ', p ⊥ ⊥ 
n ', p ⊥

a

' e 
+
A(t )  an+, pa n, p , aan ', p  
p −

n ', p 


⊥

⊥

'



c

n'

⊥

n ', p'⊥

=

∑

'

∑ε

' e  +
p −



n'



∑ε

'


p⊥ , p

'

p⊥ , p ⊥

',
p

 p' e−  A(t )  an+, p , a δ n,n δ

  n ', p 
'

⊥

⊥

n'

'



'

−n ', ap an, p δ n,n δ

A(t )  an+, pa − an, p aδ n,n δ 
 n n ', p

 n',p 
c

n ', p⊥

=

⊥

'

⊥

p⊥ , p '⊥

n ', p'⊥

=0
Vậy:

sh1

t

=0

(9)

+ Số hạng thứ hai: sh2



∑C

⊥

n1 ,n2 , p ⊥

Iq

m,q n1 2n
m,q

'

()


a



a

z m n+ , p ' + q

bm,q

2

⊥ ⊥


I

2

,n

2

,n

⊥

⊥



⊥

n, p⊥

, p'⊥ m,q

I

m,q n1n2 z n, p⊥ − p m,q m,qm
n1 n2 z + q ⊥

+


n1 , p⊥'

2
⊥ + q⊥

+

1 ⊥ ⊥

n1 ,m,q

m 
 =∑Cm,qI

a

a
= +bmm,−q − +b

)

+b

'

⊥ + q⊥

n1 , p⊥'

( =

n1

()


I nm1n2 qz a a+ bm,q
, p '⊥ + q⊥
n2 

⊥



⊥

⊥

, p '⊥

= −a+,p' ,pn
= −a+,p'n,pδ1


an, p

+b
+ b+

m,q m,−q


z

m,q nn '

I nn ' m qz

m,q

n
',
,

I

(

)

+

an, p bm,q + bm,− q

+ a +, p a n ', p

a n ', p ⊥ − p⊥ bm,q

⊥

)


p⊥

bm+,−q

t

− a +', p an, p m,q − a +', p ⊥ + q⊥

∑C

=

m,q

an, p bm,− q 

⊥ + q⊥

b

', p

p n ', p


⊥

t

()

n ', p⊥ − p⊥

*

n

a +, p⊥ bm,− q


t 


−
t

(11)

+ Thay (9), (10), (11) vào (8) ta được:

()

∂nn, p (t ) = ∑ C m,q nn ' I m qz− aan+, p a n , p p bm,q

i
∂t
n ',m,q
− a + an, p m,q + a +
a bm,q
b
⊥


m,q

( )

−Fn, p
Với: Fn1 , p1 ,n2 , p

⊥

m

I nn ' qz  Fn ', p

n ',m,q

2 ,m,q

⊥

(t )
,m,− q (t ) + F *
⊥

1

2

,p


2

⊥ , n ', p⊥ − p⊥ , m , q

(t ) −

(t )

(12)
(13)

t

2 ,m,q

(t )
2 ,m,q

(t ) = a + , pn , p m,q , H  = a + , p n , p m,q , H 0 + U 
1 1



,m,q

+ Phương trình động lượng tử cho Fn1 , p1 ,n2 , p

∂Fn , p ,n , p

,m,−q

(t ) =

⊥


t 


− p ,n, p

⊥

∗ Xây dựng biểu thức tính Fn1 , p1 ,n2 , p

i

*

⊥ + q⊥

(t ) − Fn*', p

n, p⊥ ,n ', p⊥ − p⊥ ,m,q

z

n ',m,q

=−


t

−
t



e



a b, ∑ ε n  p A
(t ) an+, p n, p 
sht1 t = an+ , p n , p m,q
⊥ −
 11 22
 
n, p⊥

∑ε

=



∑ ε  p
n

⊥



=

n

⊥

n, p⊥

n

n

(δ

δ



=

2

n,n1 p , p1

⊥

n, p⊥

2

−ε
,p

n,p

t

=

m1 ,q1

112 1 1

1 1

()

− p∗ (t ) an+
a , pbn , p m,q
e sh1 t p= ε2n , p n ,1p − A


()

1 1

2 2

t


t

2 2

−ε
e mcA(t )  = ε n , p n , p −

 n a b , ∑+ ω 
= a+ , p n , p m,q m ,q bm ,q bm ,q 
 1 1 2 2 m1 ,q1 1 1 1 1 1 1 

∑

2

* 2

+ Số hạng thứ hai:
sh2

1 1

an, p ⊥ an2 , p2 bm,q t

) (

2 2





1 1

zn

t

A(t )  an+ , p n , p m,q
a b

1

p ⊥2
2
+ 2 − ∆n
2m
2m d

t

 

⊥

⊥

⊥

2


⊥

2 2

A(t ) −aan+ ,ap n ,ap m,q
a n+,b p



n, p

2 2

1 1

n, p⊥

⊥

t

⊥

1 1

a

⊥

e


1

1

1

bm,q

t

m1 ,q1

=

+ bm

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

,

m

,

q

(
t

)
+ Số hạng thứ ba:



1 1

2 2

1 1

n3 ,n4 , p ⊥ m1 ,q1


,p⊥

2

n

n

−a +
1

,p⊥

2

a+
+

⊥

∑ω

,p⊥

⊥

⊥

2


1

⊥

m ,q + , p n , p

⊥

t

⊥

2

4 ⊥

⊥

a a1 1b b b1 1

+

4

aa

2

1


1

3 ⊥

2

1

3

1

2

+ bm

,q1

1

)b

m ,q

)b

m,q

1


, p ⊥ m1 1

⊥
n3 4

1

1

1

1

=a+n,p

13⊥

, p m,q+
bm,q n , p n−a
1 1 2 2

(b +

,p⊥

n

⊥

(

m ,q

⊥

n4 , p + q m1 ,q1 1 1

⊥

⊥

,p

( )( )

−a+,p δ p, +,pan,p b +bm,−qm,q +q n1,n3

,q

+1 , p

n

,p

4

+q

1


+ q4

,q

,−q

)

)δ

+ bm ,− q bm,qδ n ,n δ p
,q

,−q

1

)δ



⊥

+q ⊥

−

n2 ,n4

3


⊥

δp

3

3

1

⊥

m ,q

an , p

+ bm ,−q an , p

+q

(b

1 ,q

+q

+1 , p

+n

11

n

a

+1 , p n , p

n2 ,n4

−

+1 , p , p

n

m1 1 2,p⊥+q

m,q

1

ab, +m,−q=

n13 , p⊥1

1

1



−a +

,p
n4

+q
⊥ ⊥

(b

an

+,2 p m1,q 1

2

1

∑

Khi đó: sht3 t =

)

+ bm ,− q bm,qδ n ,n δ p
Cm

1


+,p

21 4

1

i

2 ,m,q

(t )

= ε n , p n−, pεe−

∂t



2 2

1 1

+

n

+
−

mc


1

)

−
t

(17)

⊥ 1⊥4

t

1 1 2 2

a

+ , p n , p − q m,q m ,q m ,q nm21n3 1z

+,p

11

1

−1 pA(t ) + ωm,q  Fn , p ,n , p ,m,q (t ) +

2



−

⊥

1

b

11

1 1

11

,−q3 2 1⊥

1

an , p m ,qCm ,q I nm n q1z

)

1 14

1

1

n1 ,n4 ,q1

∂t

(t ) = 

()

e
p2−F
1p
A0 (t ) + ω(tm,q) (19)
mc

−ε
,p

n

n ,p,n,p,m,q

1 12 2

1

Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt ln Fn0, p1 , n2

(t )

,p

2,m,q


t =−∞

1

 
A(t ) + ωm,q  dt1 
 

)

1

(20)

Khi đó, nghiệm của phương1 ,ntrình
(18) có dạng:
2,p

Fn , p ,n , p
1

1 2

(t ) = M (t ) Fn0, p

2 ,m,q

Suy ra:


Fn , p ,n , p ,m,q (t ) + i
∂t ∂t

2

2

1 1
1 1

(22)

2

2

i t  vào (18),erồi đồng nhất các
 hệ số ta được kết quả sau:
+ Thay (20), (21)i và(22)
= exp  ∫ ε n , p
 −∞ 

∂ M (t )
∂t

n,p

()

×  ∑ Cm ,q I n2 31mn q1z

)

A(t ) + ωm,q  dt1  ×

1

(

m ,q

b +b

15

m+ ,−q

)

−
t


−

∑

Cm ,q I nm1n1 4

(q )+ b a ab 
+,p n ,p m ,q m ,−q m,q


M (t ) =

1 4 1

−

+

n

n
n
q

∑ ()a

 i

×exp 


∫ ε

t1


n2 , p2

1 1,q


+ bm ,− q bm,q

+,2 p m1,q 1

2

1⊥

2

1 1

(b

an

+q

a

+ , p n , p − q m,q m ,q mm
,q 1 nm21n3 1 1z



−∞

()


(23)

Thay (20), (23) vào (21) ta được dạng của biểu thức hàm trung gian:

Fn

, p ,n , p
1

1

2

2

−

,m,q

(t ) =
+

n


i ∫  n ∑n, ,q Cm ,q mI n n q1z

a + , p a n , p bm,q m ,qCm ,q I nm n q1z
b
+ bm

,q
m1

−q

21 3

11

11

11

)

,− q3 2 1⊥

1

t2

−ε −ω

× exp  ε n , p



n,p

1 1


1

1

m c t2

2





2 2

∑C

+ Thay (24) vào (12) rồi biến
I đổi chỉ số ta thu được:

∂nn, p (t )
∂t
⊥

=−
−

( )
()


( )

+

n,

(

+

×

t2

)

−Cm,q I mn qz
bm,q bm,−q + bm,q
a +', p +q
i 

ie t 

×expε −ω
− ε n, p m,q (t − t2 ) − * ∫ q⊥ A(t1 ) dt1  −
m c tt


 n ', p +q



n ', p

⊥ ⊥

⊥

(

⊥

16

)

2

−

m,q

1 4 1

1

n
n
q

()


ie t

m,− q  (t − t2 ) − *
an ', p

−q ⊥

⊥

(b

⊥

⊥


b pb n , p m+,− q
+ Cm,q I nm' nq z aan+,

4

1 1

⊥

−Cm,q I nm' n q1z
 i
× exp − ε n ', p −q
 mct2 


2

1

m ct


) dt 


+

1
2

−

+b
t2

⊥ − q⊥

⊥n, p⊥

)

1

ie t

⊥


×
t2 

a n+, p⊥ bm+,q
⊥
bm,−
m,−
q q++ ban, p

an ', p
⊥

⊥ −q m,q

( ) a (b
+', p

ie t
−m,qε (−
t −ωt2 ) −
⊥

+

*

+

× ∫ dt2  a + an, p
 t 
−∞
p

2

2

∑

×

m
2

n ',m,q

(b

m,−
q
⊥

( )C

2
m,q

I nn ' qz

n,
p
m,q

(
t
−
t2 ) − * ∫ q⊥ A(t1 1  −


m ct



b q +m+,q
b −n+,ap a n, p bm+,q
+ b m,−qb m+,−q
−  a + an ', p +q m+,−bq m,−
⊥

⊥

⊥

2

n ', p + q
⊥ ⊥

⊥




) dt 



()

t2

ie t
m,− q  (t − t2 ) −

(

⊥ ⊥

*

∫ q A (t
⊥

1

m ct

−

17


i
−ε −ω
× exp  ε
 n, p n ', p −q

⊥

⊥

⊥

()


+  an+, p⊥ n,ap⊥bm+,−bq +m,qb
 i
× exp − ε n ', p −q
 m c t2 

ie t

 (t − t2 ) − * ∫ q⊥ A(t1 ) dt1  +
m ct

m,q


b+
− ba n+',bp − q an ', p −q


m+,q m,q m+,−q



1 1

 ) dt 



(25)

+ Toán tử số hạt của điện tử:

nn, p n(t2 ) = a +, p an, p
⊥

⊥

⊥

và nn ', p

t2

⊥

±q ⊥ n


+ Do tính đối xứng nên ta sử dụng q = −q và ωm,q = ωm,− q ; bỏ qua số hạng
+ +

chứa bm,q m,qb

t2

của (25) trong quá trình biến đổi. Khi đó phương

và bm,qbm,q

t2

trình (25) được viết lại dưới dạng:

∂f n, p (t )
∂t
⊥

1

=−

2

( q ) ∫ dt {n
2t

∑


− nn ', p

⊥

−q ⊥

⊥

⊥

m,− q

⊥

⊥

(t2 )( N m,q + 1) ×


⊥ ⊥

ie t

 (t − t2 ) − *

∫ q A(t ) dt
⊥

1


m ct
2

()

+ nn, p (t2 ) Nm,q −n
n ', p −q (t2 )
×
Nm,q
+ 1 
⊥

⊥+q

2

()

⊥

(t2 ) N m,q −nn ', p

ie t

 (t − t2 ) − * ∫ q⊥ A(t1 ) dt1  +
m ct

+ 1nn, p (t2 )× − nn ', p +q (t2 ) Nm,q 

+  Nm,q

⊥

( q ) ∫ dt { f
2t

m
m,q nn '

CI

z2

i
× exp  ε
 n ', p +q

⊥

(t2 ) N m,q − f n ', p
⊥+q

⊥

⊥



2

 i


−∞

n ',m,q



q
⊥ A(t1 ) dt1 
*
m c t ∫2


 ( t − t2 ) −

⊥

⊥

⊥

⊥ ⊥


ie
m,− q  (t − t2 ) − * ∫ q⊥ A(t1 ) dt1  −
m ct
t




+  f n, p (t2 ) Nm,q −
f n ',+p 1−q (t2 )  ×
Nm,q
⊥

⊥

× exp − ε n ', p −q
 m c t2 

⊥n, p⊥

⊥

−m,qε (−
t −ωt2 ) −
⊥

*

∫ q A(t ) dt
⊥

1

1





q⊥ F 0 c
Ω2

(sin Ωt − sin Ωt2 )

(27)

( ) {

CI
q ∫2 dt
 f
(t2 ) N m,q − f n ', p
t
∂f n, p (t )
1
m
=− 2 ∑ m,q nn '
z2
(t2 ) N m,q + 1  ×
n, p
∂t  i
n ',m,q
ie q⊥ F−∞c

× exp  ε n ', p +q n,−pε − ω m,q  (t − t2 ) − * 20 (sin Ωt − sin Ωt2 ) +
mc Ω
 



⊥

−  f n ', p

⊥

−q ⊥

⊥

⊥

⊥

⊥ ⊥

ie q⊥ F c
 (t − t 2 ) −

m,q

*

20



(sin
Ωt − sin Ωt2 ) −

(sin
Ωt − sin Ωt2 ) +
mc Ω


()

+  f n, p (t2 ) Nm,qm,q−+f n1N
', p −q (t2 )
×

⊥

⊥

× exp − ε n ',p −q


⊥

−m,q
ε − ω  (t − t2 ) −


n, p

⊥ ⊥

⊥


 ie q⊥ F c

exp − * 20 (sin Ωt − sin Ωt2 ) =
 mc Ω


Ta có:

=

∧∧
J s   J l   exp[iΩ(s − l )t − isΩ(t − t2 )]
ΩΩ
s ,l =−∞
+∞

∑

(29)

+ Thay (29) vào (28) và thêm thừa số e−δ (t −t2 ) với δ → +0 ta được:

∂f n, p (t )
∂t
⊥

1

=−



⊥

i
× exp  ε n ', p +q⊥


+  Nm,q

2 +∞

(t2 ) N m,q + 1  ×


− ⊥ε m,q −−sΩ
ω + iδ  (t − t2 ) +



n, p
⊥

()

+ 1 f n, p (t2 )× − f n ', p +q (t2 ) N m,q 

i
× exp  ε
n ', p +q
 