1
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích
thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm)
giam cầm trong siêu mạng hợp phần Lê Thị Miền
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên; Khoa Vật lý
Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và vật lý toán; Mã số: 604401
Người hướng dẫn: PGS.TS. Nguyễn Vũ Nhân
Năm bảo vệ: 2011
Abstract.
Trình bày siêu mạng hợp phần và phương trình đông lượng tử cho phonon âm (sóng
âm) trong bán dẫn khối: siêu mạng hợp phần, phương trình động lượng tử và bài toán gia tăng
sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối. Phân tích phương trình động lượng tử và hệ số gia
tăng phonon âm (sóng âm) giam cầm trong siêu mạng hợp phần: phương trình động lượng tử
của sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu mạng hợp phần, biểu thức giải tích của hệ số
gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu mạng hợp phần. Tính toán số và vẽ đồ thị
cho siêu mạng hợp phần GaAs-Al0.3Ga0.7As: tính toán số trường hợp khí electron không suy
biến, tính toán số trường hợp khí electron suy biến.
Keywords. Sóng âm; Phonon âm; Vật lý lý thuyết; Vật lý toán Content.
1. Lý do chọn đề tài.
Trong vài thập kỷ gần đây, công nghệ Laser phát triển mạnh và được áp dụng trong
nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Nhiều tác giả đã và đang quan tâm nghiên cứu các
màng mỏng và các cấu trúc nhiều lớp của vật liệu. Trong các hệ có cấu trúc nanô,
chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hướng tọa độ với một
Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử
cho phonon. Từ Hamiltonian của hệ điện tử phonon ta xây dựng phương trình động
lượng tử đối với hàm phân bố số phonon hoặc hàm phân bố lượng tử tổng quát của
phonon để nghiên cứu tốc độ thay đổi sóng âm (phonon âm) trong siêu mạng hợp phần. 3. Mục đích nghiên cứu
3
Bằng cách sử dụng phương trình động lượng tử cho sóng âm (phonon âm) giam
cầm chúng tôi xây dựng công thức tính hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm
trong siêu mạng hợp phần. Từ đó, chúng tôi đã khảo sát và tính toán số các kết quả cho
một siêu mạng hợp phần điển hình là GaAs-Al
0.3
Ga
0.7
As trong hai trường hợp khí điện
tử không suy biến và có suy biến.
4. Bố cục luận văn.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được trình
bày làm 3 chương.
Một số vấn đề liên quan về siêu mạng hợp phần và phương trình động lượng tử
được trình bày ở chương I.
Trong chương II, phương trình động lượng tử được xây dựng cụ thể, từ đó xây
dựng được biểu thức giải tích của hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong
siêu mạng hợp phần.
Việc tính số, vẽ đồ thị và thảo luận đánh giá kết quả cho một siêu mạng điển hình
GaAs-Al
0.3
Ga
+ d
B
gọi là chu kì của siêu mạng.
Dựa vào cấu trúc của hai lớp bán dẫn A và B, người ta chia bán dẫn siêu mạng
ra thành hai loại là: bán dẫn siêu mạng pha tạp và bán dẫn siêu mạng hợp phần.1
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong bán dẫn siêu mạng hợp phần
Bán dẫn siêu mạng hợp phần là bán dẫn gồm các lớp bán dẫn A và B khác nhau
thỏa mãn hàng rào thế trong các hố lượng tử đa lớp trở thành trong suốt với hiệu ứng
đường ngầm, các hố lượng tử đa lớp trở thành bán dẫn siêu mạng hợp phần.
Ta có phổ năng lượng của electron trong siêu mạng hợp phần ở trạng thái
n,k
có dạng:
22
2 2 2
,
2
cos( )
22
n
r e z jd
L L S
Trong đó L
x
, L
y
tương ứng là độ dài chuẩn hóa theo hướng x và y 5
1.2. Phƣơng trình động lƣợng tử và bài toán gia tăng sóng âm (phonon âm) trong
bán dẫn khối.
1.2.1.Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn khối:
Hamiltonian của hệ điện tử phonon trong bán dẫn khối là:
2
,
1
( ) ( ) ( )
2
(1.6)
Ta có:
2
,
1
, ( ) ( ) ,
2
, , ( ) .
q q q p p
t
t
t
p
qq
k k k k k
k p k p
t
t
k p k
e
i b b H t p A t b a a
t m c
b b b C b a a b b
(1.7)
Thực hiện phép biến đổi và dựa vào các hệ thức toán tử, ta có:
q q q q p q p
tt
t
p
i b b C a a
t
(1.8)
Và thu được phương trình động lượng tử của phonon trong bán dấn khối.
1
2
1
00
11
22
,
()
1.2.2. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối (trường hợp hấp
thụ một phonon):
Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:
()
1
()
2
it
qq
t
it
qq
t
B b e dt
b B e d
1
2
1
00
11
22
,
()
exp ( )( ) is t 1.17
t
q q q q p p q q
t t t
p
l s p p q
ls
i b i b C n n dt b
eE q eE q
J J i t t il t
mm
p l s
t
it
q p p q
i B e d i B e d
eE q eE q
C n n J J
mm
dt B e d i t t il t
Be
d
i l i
B s l e
d
i l i
i B i B C
i l i
eE q eE q
J J B s l
mm
thu được phương trình tán sắc:
2
2
( ) ( ) ( ) 0 1.22
q q q l
l
q
B C J aq l
Từ phương trình tán sắc, ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm:
2
2
( ) Im( )
, thu được hệ số hấp thụ sóng âm:
2
22
0
2
()
4 2 2
F
m eE q q m q m
qp
s m q q
(1.24)
Hằng số tương tác điện tử - phonon âm:
8
2
2
0
2
q
q
C
Vs
(1.25)
Với V
0
thể tích của tinh thể, thường chọn V
0
=1;
- hằng số thế biến dạng.
s – vận tốc sóng âm.
ta có
( ) 0q
và có dạng tường minh sau:
1/2 2
2
0
4
22
2
( ) 2
2 2 2
exp
4
qq
qq
nm
q sh sh S
s kT kT
q
S
m
( ) 0q
) đã chuyển
thành hệ số gia tăng sóng âm (
( ) 0q
). Nghĩa là ta có hệ số gia tăng sóng âm bởi
9
trường bức xạ Laser trong bán dẫn không suy biến trong trường hợp hấp thụ một
photon.
1.2.3. Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia tăng sóng âm và
điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối:
Ta viết hệ số hấp thụ sóng âm (1.23) dưới dạng khác:
2
2
()
q l p p q p q p q p q
lp
q C J aq n l l
Ta sẽ thu được:
2 2 2 2
2
2 2 2 2
()
qp
p
q C n
3
0 0 0
22
22
22
22
22
22
( ) . . exp exp
22
2
2 2 2 2
2 2 2 2
q
z
z
zz
qq
zz
qq
AC
PP
q d dP P dP
mkT mkT
q p q q p q
m m m m
q p q q p q
m m m m
(1.30)
Tiếp theo ta tính tích phân theo P
z
,
P
của (1.30), ta nhận được:
10
2
22
2
0
2
q
q
l
q
mq
q kT m
mq
I
q
q kT m
m
Cuối cùng ta thu được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng âm trong bán dẫn bởi
trường bức xạ Laser đối với quá trình hấp thụ nhiều photon như sau:
1/2 2
1/2
2 2 2
0
22
2
2
2
0
2
2
( ) exp exp
2 2 2 2 2
1/ 2
!2
2
exp
2
q
q
l
q
q
q
n m m m q
q
s kT q kT q kT m
Từ (1.32) ta thấy rằng nếu bất đẳng thức sau được thực hiện:
22
22
22
1.33
22
22
qq
qq
m q m q
II
qq
q kT m q kT m
mm
1.34
22
22
qq
qq
m q m q
II
qq
q kT m q kT m
mm
l
q
q
n m m m q
q
s kT q kT q kT m
mq
I
q
kT q kT m
m
m
I
q
q kT
m
2
1.35
2
q
q
gia tăng sóng âm ở trong cả trường hợp hấp thụ nhiều photon bởi trường bức xạ Laser.
CHƢƠNG 2
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ HỆ SỐ GIA TĂNG SÓNG ÂM
(PHONON ÂM) GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
2.1. Phƣơng trình động lƣợng tử của sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu
mạng hợp phần.
2.1.1. Phương trình động lượng tử của sóng âm (phonon âm) giam cầm trong bán
dẫn siêu mạng:
Hamiltonian của hệ điện tử phonon âm giam cầm trong bán dẫn siêu mạng khi có
mặt trường bức xạ laser
)sin(
0
tEE
có dạng:
H = H
e
+ H
ph
+ H
e-ph
(2.1)
12
Trong đó:
H
e
=
qmqm
qm
qm
bb
,,
,
,
: năng lượng của các phonon âm không tương tác
H
e-ph
=
)(
,,
,
,,
,
,,
''
'
knkn
kn
n
aatA
c
e
k
,,
,
))((
+
qmqm
qm
qm
bb
m
nn
qm
knn
m
q
bbaaIC
(2.2)
Gọi
t
qm
qmqm
bbtN
,
,,
)(
t
eqmqm
qm
HbbHbbHbb
t
tN
i
,,,
)(
,,.,,,
,
(2.3)
Thay (2.2) vào (2.3) ta có:
t
tN
i
,,
,
,,
))((,
+
t
qm
qmqmqm
qmqm
bbbb
''
''
'
''''
'
'
'
'
,
,
,,
,
,
e
kbb
,,
,
,,
))((,
''
''''''
,
,,,
,,
,
t
phqmqm
Hbb ,
,,
''
''
'
''''
'
'
'
'
,
=
t
qm knn
kn
qkn
qm
qqmmqqmm
qm
m
nn
m
q
aabbIC
'' '
''''''
'
'
'
IC
,,
,
'
'
t
kn
qkn
qm
aab
,
,
,
'
-
(2.6)
Thay (2.4), (2.5), (2.6) vào (2.3) ta có:
t
tN
i
qm
)(
,
knn
m
nn
I
,,
,
'
'
t
kn
qkn
qm
,
,
,
,
,
,
''
t
tN
i
qm
)(
,
knn
m
nn
I
,,
,
'
(2.7)
Với
tqmF
kn
qkn
,,
,
,
'
=
t
tqmF
i
px
py
,,
1
2
,
,
=
t
qmpypx
Hbaa ,
,,,
21
(2.8)
14
21
+
t
pheqmpypx
Hbaa
,
,,,
21
Tính
1. Số hạng thứ 1:
t
eqmpypx
Hbaa ,
,,,
21
=
t
kn
121
,
,,
1,,,
,
=
tA
c
e
k
kn
n
knkn
qmpypx
aabaa
=
qmpypx
knknknkn
pypx
baaaaaaaa
,,,
,,,,
,,
21
11111111
21
=
t
phqmpypx
Hbaa ,
,,,
21
=
t
qmqm
qm
qmqmpypx
bbbaa
1111
11
1121
,,
,
,,,,
111121
,,,,,
,
qmqmqmpypx
bbbaa
=
21
,, pypx
aa
1111
,,,
,
qmqmqm
bbb
=
21
,, pypx
kn
qkn
m
nn
m
qqmpypx
bbaaICbaa
11
1
11
11
1
'
11
1
1
,
,
,,
m
nn
qm
knn
m
q
IC
t
qmqm
kn
qkn
15
1111
11
11
'
1
21
,,
,
,
,,,
,
qmqm
kn
qkn
qmpypx
bbaabaa
qmqmqmpy
qkn
pk
xn
bbbaa
,,,,
,
,
,
11112
11
'
1
(2.11)
Thay (2.9), (2.10), (2.11) vào (2.8) ta được:
t
tqmF
i
px
py
,,
1
2
,
,
,
,
,,
,,
,
,
,
11
12
1112
1
11
1
11
11
,
,
qm
qm
IC
t
py
kn
px
qkn
qqmm
qmqmqmpy
qkn
pk
xnqmqmqm
kn
px
kp
ny
aaaa
bbbaabbbaa
2
11
1
11
nnk
i
C I a a a a
i e e
p A t p A t dt dt
cc
Khi xét hệ phonon không cân bằng, ta giả thiết hệ điện tử ở trạng thái cân bằng
nghĩa là hàm phân bố Fermi- Dirac của electron không phụ thuộc vào thời gian
1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 4 4 2 2 3 3
Nt
t
' ' ' ' ' '
11
1 1 1 1 1
''
1 1 1
2
1
,,
, , , ,
, , , ,
1
t
m m m m
qq
k q k k q k
n n n n n n n n n n
n n k n n k
I C C I f k q f k q
'
1
11
,
,
mm
q
nn
mq
CI
''
11
1
1 , 2 , ,
,
,
m q m m q q
k q q k
n n n
f k q q N t
'
2
1 1 , 1 2
exp
t
n m q
n
t
i e e
k q A t k A t dt dt
cc
,
,,
t
mm
q
nn
nnk
CI
' ' '
11
11
''
1 1 1 1
1
, 2 , ,
,
,
m q m m q q
k q k q
n n n
f k q N t
2
1 1 , 1 2
exp
t
n m q
n
t
i e e
k A t k q A t dt dt
cc
1
1
t
mm
q m q n
n n n
n n k
I C dt N t f k q f k
,1
n m q
n
t
i e e
k A t k q A t dt
cc
'
'
1
n
f k q
1
'
2 2 , 2
exp
t
n m q
n
t
i e e
k A t k q A t dt
cc
,
2
cos( )
22
n
np
p
n
pd
n
m m d
2n
e
k A t
c
c
'
2
2
22
2
2
n
k q e
e
k q A t A t
mc mc
22
2
2
n
k q e
e
k q A t A t
mc mc
'
22n
n
ee
k A t k q A t
cc
k A t k q A t
cc
'
2n
n
eq
k k q A t
mc
I C dt N t f k q f k
,1
1
mq
Nt
mc
'
,1
1
m q n
n
N t f k q f k
1
'
2 , 2
exp
t
n m q
n
t
eq
i
k k q A t dt
mc
18
Tacó:
1
'
22
t
nm
n
t
eq
k k q q A t dt
mc
t
nm
n
t
eq
k k q q A t dt
mc
1
'
1 2 2
t
nm
n
t
s
s
t J z t
,
()
mq
Nt
t
''
'
2
2
,
2
2
,
,,
()
exp
i
t
1 1 1
exp
t
i
t dt
'
,mq
''
'
2
2
2
2
,
,,
1
mm
l q n
n n n
l
n n k
J I C f k q f k
1
i
i
(2.26)
Đổi
'
,n n k k q
ở số hạng thứ nhất của (2.26) ta có:
19
,mq
,mq
''
'
2
2
2
,
,,
2
mm
l q n
n n n
l
n n k
J I C f k q f k
(2.29)
Công thức (2.29) là công thức tính hệ số gia tăng phonon âm giam cầm trong
siêu mạng hợp phần. Để thiết lập công thức này ta chưa thực hiện một phép gần đúng
nào đối với cường độ trường Laser. Như vậy công thức này có thể áp dụng cho cả
trường hợp trường ngoài mạnh.
,mq
''
'
2
2
,
,,
mm
qn
n n n
n n k
I C f k q f k
, , ,m q m q m q
(2.31a)
Trongnđó:
' ' '
'
2
2
,
,
,,
mm
m q q n n m
n n n n
n n k
I C f k q f k k q k q
Fn
Fn
k
n
k
f k e
e
'
'
'
(2.32)
Với
F
là mức Fermi.
1
B
kT
,
B
k
hằng số Boltzman,
T
nhiệt độ tuyệt đối
Thay (2.32) vào (2.31b) ta được:
2 2 2
' 2 2
'
'
'
2
cos( ) cos( )
2
2
22
,
'
2 2 2
22
'
2
cos( ) cos( )
22
nn
n n n m
n
k k q q
k
k d k d q
mm
'
'
3
2
2
2
cos( )
2
2
,
4
,
,
2
1
4
n
nm
n
F n n
m
q
q
kd
m
q
q
mm
m q q
nn
(2.34)
Công thức (2.34) là công thức tính hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm
trong bán dẫn siêu mạng hợp phần trong trường hợp khí electron không suy biến.
2.2.2. Trường hợp khí electron suy biến.
Xét trường hợp khí electron suy biến, trong bán dẫn siêu mạng hợp phần, hàm
phân bố Fermi-Dirac được lấy gần đúng là hàm bước nhảy có dạng:
21
1
0
Fn
n F n
Fn
khi k
f k k
khi k
22
cos( )
n
n F n x y n
f k k k k d
,
' ' ,
222
cos( ) 2
n
F x y x
n n n
f k q k d k k q k q
,
',
222
cos( ) 2
n
F x y x
nn
k d k k q k q
,
',
2
cos( ) cos( ) 2
nn
n n x m
nn
k d k d q k q q
,
'
,
2
2
2
22
cos( )
4
n
nm
F n m
n
n
y
qq
k d q
k
q
2
'
'
,
22
cos( )
2
2
4
,
2
,
cos( )
,
4
2
2
n
nm
Fn
n
n
n
nm
F n m
n
n
qq
kd
q
,
'
,
'
'
2
2
22
,
'
,
2
2
22
cos( )
4
vào ta có:
,mq
,
' , '
'
3
2
2
2
2
2
2
4 2 2
,
,
2
cos( )
4 2 2
m m n
q F n m n m
n n n n
nn
Sm m
22
n
F n n m
nn
m
k d q q
qm
Trường hợp 2:
'
,
Vậy:
,mq
'
'
3
2
2
2
4
,
,
2
4
mm
q
nn
nn
Sm
I C A
q
'
2
2
2
22
cos( )
22
n
F n n n m
n
m
B k d q q
qm
0.3
Ga
0.7
As.
3.1. Tính toán số trƣờng hợp khí electron không suy biến:
Hình 3.1: Hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng hợp phần phụ thuộc vào nhiệt
độ ứng với số sóng q = 1,5.10
7
(đường liền), q =1,6.10
7
(đường gạch), q
=1,8.10
7
(đườngchấm).
24
Hình 3.2: Hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng hợp phần phụ thuộc vào tần số
trường Laser ứng với nhiệt độ T = 400K(đường liền), T = 450K(đường gạch),
T = 500K (đườngchấm).
Hình 3.3: Hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng hợp phần phụ thuộc vào biên độ
trường Laser ứng với nhiệt độ T = 300K(đường liền), T = 350K(đường gạch),
T = 400K (đườngchấm).
25
Hình 3.4: Hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng hợp phần phụ thuộc vào độ
rộng hố thế ứng với nhiệt độ T = 400K(đường liền), T = 450K(đường gạch), T = 500K
Copyright: Tài liệu đại học ©