NGUYỄN QUỐC BẢO
TRẦN NHẤT DŨNG


NGUYỄN QUỐC BẢO - TRẤN NHÂT DŨNG
Biên soạn

TẬP HAI
(In lần thứ hai có điếu chỉnh và bổ sung)

ar Dùng cho sinh viên, học vién cao học, nghiên cứu sinh chuyên ngành cơ, kỹ
thuật thuộc khối ngành xây dựng, kiên trúc, giao thông, thuỷ lợi, mỏ địa chất...
Thích họp cho mọi doi tuợng quan tám đèn lý thuyết và kỹ thuật lập trình với
phấn tử hữu hạn.

NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT
HÀ NỘI


Phương pháp phấn tứ hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp tính đã được hình thành và
phát triển trong vòng vài chục năm trở lại dãy, nhưng do yêu cấu tính toán của một bài toán
thực tế thường dõi hỏi một khôi lượng tính toán rất lớn, do vậy việc ứng dụng pp PTHH
trước đày gặp không ít khó khăn. Chỉ cho đến khi có sự xuất hiện cùa các máy tính cá nhãn
(PC) cùng vói những tiến bộ to lớn của cóng nghệ thông tin trong những năm gần dãy mới
thật sự cho phép phương pháp tính này được ứng dụng một cách phổ biến và rộng rãi. Cùng
với việc tính giải các dại lượng cơ học của két Cấu như biên dạng; ứng suất; chuyên v ị... pp
PTHH còn là cơ sở của lỉnh vực mò phỏng hoá trong các bài toán thiết kế. Thòng qua sự
phát triến cùa kỹ thuật đố hoạ trẽn máy tính người ta có thế mó phỏng hoá các hoạt dộng của
két cấu; giá định vô sô các phương án tính toán dể từ dó chọn lựa giải pháp tối ưu. Điéu này
cho phép giám chi phí và thòi gian thực hiện các thí nghiệm theo phương pháp truyền thống.
Cùng với sụ tiến bộ cùa khoa học kỹ thuật máy tính dã trở thành một bộ phận quen thuộc và

cùng là phần mã nguồn của toàn bộ chương trình tính theo các lý thuyết đã trình bày
trong các chương trước.
Đẻ tiện cho bạn đạc trong quá trình tìm hiểu sách và liên hệ vận dụng lập trình trên máy
tính, trong toàn bộ sách này hệ thống các ký hiệu, quy ước vê hệ toạ độ; vé ma trận; vế vectơ
V.V.. dược trình bày theo đúng "chuẩn" của cơ học kết cấu (ví dụ: { A } - là vectơA; Ị K ] - là
ma trận K). Riêng phần thè hiện dấu phảy động, thống nhất trong toàn bộ tài liệu được thể
hiện theo chuẩn Anh - Mỹ, nghĩa là sử dụng dấu chấm ( . ) thay cho dâu phảy ( , ). Cách thê
hiện này chủ yếu tạo tính tiện dụng khi liên hệ lập trình và đói chiếu kết quá trên PC, vì hiện
nay cách thê hiện sô thực trẽn hầu hết các máy tính vẩn là lôi thê hiện kiêu Anh - Mỹ (ví dụ:
viết theo kiêu Việt Nam thi sô Pi có trị số như sau Pi=3,14159265; còn viết theo kiểu Anh Mỹ thì Pi=3.14159265).
Sau lấn xuất bàn thứ nhất, năm 2003, sách dã dược dộc già gần xa nống nhiệt dốn nhận và
cổ vũ. Sách cũng dã chính thức dược nhiêu trương dại học trong cà nước chọn làm tài liệu
giảng dạy môn học PTHH. Đáp lại sự yêu mến và động viên cùa dọc giả, chúng tôi cho tái
bản 02 tập sách này. Trong lần xuất bán này chúng tôi có hiệu chỉnh và bổ sung một sô
thông tin cho phù hợp với sự phát triển cùa cóng nghệ thông tin những năm gấn đáy. Hy
vọng là các nội dung thông tin trong 02 tập sách này vẩn là món quà hữu ích cho các dọc
giả.
Tuy nhiên do kiến thức có hạn, nội dung cấn trình bày quá rộng lớn và phức tạp, chắc chắn
ngay cả lấn xuất bàn này cũng sẽ không thé tránh khỏi các thiếu sót đáng tiếc, xin dược
thông cảm và rất mong nhặn dược các ý kiến đóng góp xáy dựng của bạn đọc gán xa.

NGƯỜI BIÊN SOẠN


PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

5

MỤC LỤC
Trang

tại mỗi diêm bất kỳ trong phần tử được xấp xí bậc hai theo toạ độ. Từ xấp xỉ trên dẫn ra
được hàm dáng theo các công thức (3.46) và (3.47).

Ạy

u2

->
Hình 8.1 - Phần tửCST.

Hình 8.2 - Phần tử LST.


PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

m

1'

- H «

w

9

( 8.

{0}r

1)

Tư tưởng thù tục của Felippa cũng khá đơn giản. Biến dạng tại mỗi điểm trong phần tử được
biểu diễn như các thành phần dạo hàm của chuyển vị theo các phương trình cỏsi (Cauchy).
Như vậy nếu các thông số chuyển vị được nội suy bậc hai theo toạ độ thì biến dạng tại mỏi
điểm tương ứng sẽ có quan hệ bậc nhất với toạ độ. Để nội suy bậc hai cho chuyển vị ta cần 6
nút, đê nội suy bậc nhất cho biến dạng ta chi cần 3 nút là dù. Trên cơ sở lập luận này,
Felippa đặt vấn để nội suy biến dạng và ứng suất tại mỗi điểm trong phần tử theo các thông
sô tương ứng tại 3 nút chính. Đạt biểu thức nội suy cho biến dạng và ứng suất dưới dạng:
{£} = [N*\{en}

(8.2a)

{
3) do hàm dưới dấu tích phân là đơn giản hơn.
Quan hệ chuyển vị nút-biến dạng đối với phần tử LST được dẫn ra tương tự như đối với phần
tử CST ở mục (3.6). Quan hệ này có thê biểu diễn như sau:
M r

Mr

w

w r

'K IỊ

Ík í

=[*M

(8.7)

.

K ìr w r
fr
trong đó:

■£y

•

7*.

u„}r = [£„ el2 £z, £„ £,2 £,,

ỵxy,

ỵXf2 Yx,y\

( 8 .9 )


PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

[f i j

[0]

[»]

k ,ì =

( 8.

[à j M

k ,I

(rong đó:

11

U

3 ¿>3

0

0

4*3
4*2

4*3

(8.1 la)

0
46,

1_

-« 3

4« 2

0

4 f lj'

3*2

-« 3



'y.l

Trv2 ^xy.li

‘■xvl

( 8.

12)

Trong trường hợp vật liệu là đồng nhất trên toàn phần tử, biến thiên tuyến tính của biến
dạng và ứng suất tại mỗi điểm trong phần tử có thể nội suy theo hàm nội suy dạng ma trận
sau:
> , r

{«tr

W'

í»ìr

k ,r

ì»ìr

(or

k r


Cn

C 33

Giá trị tại nút của ma trận vật liệu [Cn] có thể tính như sau:

c„[/] c,,[/]

1

2

(8.16)

Đến đây các ma trận thành phần trong biêu thức tính ma trận độ cứng [/cml theo công thức
(8.6a) là hoàn toàn xác định. Thù tục tính ma trận độ cứng phần tử ỊẤím] chi còn là nhân liên
tiếp 4 ma trận:
[ k j = [fln] ' . Ị D U C n).[fln]
Ma trận [fln| được tính bằng cách thay các giá trị cùa |finl| và |fin2) từ (8.1 1a) và (8.1 1b) vào
(8.10). Ma trận [ C J được tính theo (8.14). Đế tính ma trận [D], trước hết ta tính ma trận
[D|l theo (8.16) sau đó thay vào (8.15a). Cuối cùng nhan liên tiếp 4 ma trân trên đê tính

[AJ.
8.1.3.

Tính vectơ tải nút

Tải trọng nút nảy sinh từ các thành phần lực khối và lực diện cho phần tử tam giác biến dạng
không đổi đã được dẫn ra trong mục 3.7.1. Dưới đay ta xét tài trọng nút cho phần từ LST.


PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

13

3


X,

nghĩa là thành.phần

{Qy\ - 0- Ký hiệu p x là lực trên một đơn vị dài ta có:

«2x> = I [N\)PldS

(8.19)

Tích phân diện trên chuyển thành tích phân dường lấy dọc theo cạnh 3, cạnh chứa các nút
(1-4-2) của tam giác. Ta có:


BÀI TOÁN PHẲNG

14

¿ ,(2 L ,- 1)
¿ 2(2L2- 1)

te H

¿3(2 ¿ 3 - 1)
[ ¿ , ( 2 1 , - 1 ) ¿ 2(2L2 - 1 )
41,¿ 2

4 ¿ . ¿ 2} Px2
0
0
Sau khi tích phân ta được:

2

Qx>'
Qx2 1 = —

15


r

Vị

«1

ị
r

a

II

°

2

Hình 8.4 • Phấn tử chữ nhật 4 nút PSR4.

Phần tử chữ nhật như minh hoạ trên hình 8.4 có 4 nút. Phần tử này có thể sứ dụng trong
nhiều bài toán khác nhau. Khi được dùng để nghiên cứu các bài toán ứng suất phẳng và biến
dạng phảng có thể ký hiệu phần tử này là PSR4. Hệ toạ độ tự nhiên của phần từ được chọn
theo công thức (3.48). Trong hệ trục tự nhiên xác định này, hàm dáng cho phần tử được cho
bàng Cổng thức (3 52) và (3.53). Nhir dã trình bày trong mục 4 2, các cổng thức này có thể
sắp xếp như sau:

u,
B M

'N i

0
1+ r
b
u2

1+5
a

0
ỉ +r
b
1- 5
a
v2

1+ r
b
1+ 5
a

0
1+ r
b
v3

«3

1+5
a


(8.26)


PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

8.2.2.

17

Tính vectơ tải nút

Vectơ tải nút tính cho các thành phần lực diện tác dụng trên các cạnh của phần tử có thể tính
theo các biểu thức tổng quát đã trinh bày trong mục 8.1 cho phần tử LST. Hình 8.5 minh hoạ
phần tử chữ nhật chịu lực diện biến thiên tuyến tính riêng trên cạnh 2.3 với cường độ trên
đơn vị dài px2 và p x, tại các nút 2 và 3 tương ứng.
y

>

x

Hình 8.5 - Phẩn tử PSR4 chịu lực diện.

Tại mồi diếnl bất kỳ trên cạnh 2.3 , cường độ lực diện có thể biểu diẻn t

ICO

ham nôi su> như

sau :

-1 1 + 5
0

8.2.3.

2Px2 + Pxi

(8.30)

Pxĩ + 2 p xì
0

Phần tử chữ nhật 8 nút PSR8

Đê cải thiện phần từ chữ nhật 4 nút đã trình bày trên, sao cho biến thiên chuyển vị trên mỗi
cạnh có thể đạt tới bậc 2, ta đặt thêm vào giữa mỗi cạnh một nút như chỉ ra trên hình (8.6).
Kết quả ta được phần tử chữ nhật 8 nút ký hiệu PSR8. Hàm dáng cho biến thiên chuyên vị
của phần tử này được cho theo công thức (3.59) và (3.60). Xếp vectơ chuyển vị nút theo thứ
tự nút, với nút lần lượt theo các thông sô' chuyển vị UịVị (i = l 4- 8), ta có hàm dáng và quan
hệ chuyển vị nút - chuyển vị:

o

:

--301

*

.•

õx

0

0

âN>
âx

0

0

ỞN,
âx

0

àỉv 8
âx

(8.31)

0

âNb
âN7
àNt
âN’ 0
0

õx
âx

ỞN5

õx
dN j_

âx
âN t

= -(1 - s ) r / a

^ - = ( l - s 2)/2 a

= -(1 + s ) r / a

3tỉ ' = (1 s ' ) H a
ơX

= (1 - s)(2r + s)/4b

ày
dN ì

= (1 + r)(2s + r)/4b

ày
ÕN,


V

(8.32)


BÀI TOÁN PHANG

20

Trong trường hợp phần từ có chiểu dày h không đổi, ma trận độ cứng phần tử được tính theo
công thức chung:

[k]=ablíỊ+i j ' w [c][B]drds

( 8. 33)

Tích phân trên được tính theo thù tục cầu phương Gauss đã được trình bày trong chương 4.
Trong trường hợp này thường sử dụng sơ đồ cầu phương 2x2 điểm

Hình 8.6 - Phần tử chữ nhật 8 nút PSR8.

8.3.

PHẨN TỬ Đ Ổ N G TH A M SỐ

Như đã trình bày trong chương 4, phần từ đồng tham số được sử dụl g rộng rãi trong thực
hành do tính chất tổng quát của phần tử trong cách tiếp cận và tính thuận lợi trong tổ chút I
lập trình. \4| sử dụng, phần tử đổng tham số đăc biệt thuận lợi để phân tích các bài toán có
biên phức tạp. Dưới đây dẫn ra hai phần tử đồng tham số PSQ4 và psọx cho phan tích bìu
toán phảng.B

Hình 8.8 • Tinh vectơ tải nút
cho phần tử PSQ4.

( iia sư phan lư chiu tải biến thiên tuyến tính như trên hình 8.8. Cạnh chịu tải là Cạnh I -2 còn
<-ưiniL' đo p , \ a />.
Cường đo /?,va />, tại diêm
bât kỳ trên 1-2 có
diểm bất
cố thê
thể biêu
biểu diên
diễn qua hàm nội suv
suy như $an:

>„■

1 -r

0

0

1- r

1+ r

(8.34)

4


—

0

0

0

0

Ap dụng công thức tổng quát tính vectơ tải nút :
{< ?}= //,k ’ ] > ì *

(8.18)


BÀI TOÁN PHĂNG

22

Trong trường hợp này [An và {p} được tính lần lượt theo các công thức (8.35) và (8.34)
tương ứng. Nếu chiều dày phần từ tại điểm r bất kỳ được ký hiệu là h'r, ds = hr.dl. Trong đó
dl là vi phân chiều dài. Có thê chỉ ra là:
2

dr

(8.36)

1

Thay (8.37) vào công thức (8.36) ta có :

(8.38)

trong đó / là chiểu dài cạnh 1.2.
Bằng phép đổi biến trên, tích phân (3.18) chuyển thành :
le } =

ìV

-1

T M ''.- '"

(8-3»)

Tích phân trên là tích phân đường, sau khi thay tất cả các thành phần từ các công thức (8.32)
(8.35) và (8 38), tích phan trẽn có thể tính tưởng minh Tuy nhiên ngay cà trong trưởng hợp
này, đê tiện lợi lập trình vẫn nên sử dụng tích phân số. Thù tục tích phủn sô được trình bày
ngắn gọn theo các bước sau:
Sừ dụng cđu phương Gauss trong mục 4.2.1. Ta có :
fe} = 7 j k ĩ Í p Ì M ^ Ẻ '*',/('•/>
1 -1

Giả thiết chiểu dày phần tử h là hằng số, ta có
(8.41)


PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

23

Sau khi chọn hai điểm mẫu, tích phân được tính như sau :
{Q} = W J (rt) + W J(r2)
trong đó : r. ——Ị=

w x= w2=1

VI

r' ~

ử

và

Thay các giá trị r, , r ? vào phương trình (8.34) và (8.35), tính {Q} theo (8.40) và (8.41) . Thủ
tục tính theo cống thức (8.42a).
1-4-

Qxi
Q,1

1-


0

0

0

0

0

0

0

Pyl

1 VI

0

0
1-

0

1+

VI


1-

1+4=

1_VI

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Kết quả tính cho biểu thức (8.42b) dưới đây:

1+4=

VI


8.3.2.

(8.42b)

Phần tử

Phân tích các bài

ụng các phần tử

cũng có biên cong

trên hình

(8.9) là phần tử bậc

theo biêi

Hỉnh 8.9 - Phẩn tử đổng tham sô 8 nút.

Khái niệm phẩn tử đồng tham số đã được trình bày trong chương 4. Trong £> chúng ta đã
thấy một phần tử c

phần từ hình

vuông có cạnh đơn vị trong hệ trục tự nhiên. Ta thường gọi phép biến đổi trên là phép chiếu
hình học từ một hình phức tạp vể một hình đơn giản hơn. Tương tự, bủy giờ ta sử dụng hàm
dáng cho theo công thức (3.59) để mô tả hình học cho phần tử PSQ8. Ta có:




l.t \ccto cac ih.iidi phần toạ độ nút.
( u thành phán .v,(/

.8) được định nghĩa theo công thức (3.9a).

1liêng Iư hion Ihicii chuyển vị cũng được mô tả bằng cùng một hàm dáng :

N , 0
0

JV,

/v 2 0

0

iVj 0

N 1 0

n

iV 4 0 iV , 0 iV 6 0

3 0

yv4 0

/v50

»2 «.1 V.1 u4 v4 U, V, «„ V* u7 v7 Ug V,]

I.I Via te I -K thanh plìẩn chuyển vị nút.
Các tlianli phan ham dáng Nị(i =1+ 8) được xác đinh theo công thức (3.59a)! Ma trân d(>
cưng phan tưdưiK tiihbằngcầu phương Gauss như dã trinh bày trong chương 4.

8 4

MÒ HÌNH C H U Y Ể N VỊ KHÔ NG TƯƠNG THÍCH

1ĨOIIU phan tích phai từ hữu hạn, độ chính xác cùa lời giải có thể dạt được bằng cách táng
sô lượng phan tư ( chi a mịn hơn), hoặc là bằng cách sử dụng các phần tử bậc cao tiệm cận tốt