Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị Trương THPT Bình Sơn
Mã số: ................................
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG VEC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Người thực hiện: Nguyễn Cảnh Thắng
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: .Toán.................



(Ghi rõ tên bộ môn)

- Lĩnh vực khác: ....................................................... 
(Ghi rõ tên lĩnh vực)

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
 Mô hình
 Đĩa CD (DVD)
 Phim ảnh  Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)


II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị : Cử nhân :
- Năm nhận bằng: 2005
- Chuyên ngành đào tạo: Toán
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán học
Số năm có kinh nghiệm: 9
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
- . Phương pháp chứng minh bất đẳng thức và một số sai lầm của học sinh.
- 2. Sử dụng tính đơn điệu để giải một số bài toán.
- 3. Phương pháp tính tích phân và một số sai lầm thường gặp của học sinh

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

2


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Tên SKKN
SỬ DỤNG VEC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Việc dạy cho học sinh hiểu và nắm được các phương pháp để giải được các bài
tập là một trong những thành công, nhưng thành công hơn cả là việc định hướng được
cho học sinh biết phán đoán về phương pháp giải bài tập. Từ đó khẳng định phương
pháp đã dự đoán là hoàn toàn đúng đắn và biết tự sáng tạo ra các bài tập khác nhờ khái
quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá, biến lạ thành quen… được các giáo viên áp dụng
và được bộ khuyến khích. Vì thế hầu hết các giáo viên đều chọn phương pháp giảng dạy

h

n

nh,

hứ ”. Nhằm giúp học sinh bổ sung

thêm kiến thức và khắc phục được những yếu điểm để từ đó rút được kết quả cao khi
giải bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức nói
riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung.
III.TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Giải pháp
-T y vào từng bài học mà chúng ta xây dựng kế hoạch hoạt động khác nhau, ph hợp
với nội dung của bài và đồng thời đảm bảo học sinh hiểu và vận dụng kiến thức bài học
một cách thành thạo. Căn cứ vào thực trạng của học sinh, căn cứ vào tình hình thực tế
của trường học, căn cứ vào tình hình chung của địa phương, theo tôi thì dạy học môn
toán nên chia ra 2 kiểu bài lên lớp. Một là lên lớp cho một tiết lý thuyết , Hai là lên lớp
cho một tiết bài tập.
a.Đối với lý thuyết:

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

4


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Để học sinh nắm được các kiến thức của bài và vận dụng kiến thức vào giải bài tập đây

Kiến thức cơ bản:
a.Tính chất vectơ
r
r
Cho hai véc tơ a = (a1;a 2 ), b = (b1;b 2 ) , (k  R)

r r
a + b = (a1 + b1;a 2 + b 2 )
r r
a - b = (a1 - b1;a 2 - b 2 )
r
r r
k a = (k a;k b)

b.Tích vô hướng của hai vec tơ :
r
r
Cho hai véc tơ a = (a1;a 2 ), b = (b1;b 2 )
rr
a.b = a1b1  a 2b 2

c.Độ dài vec tơ:
r
r
Cho véc tơ a =  a1;a 2  khi đó độ dài vec tơ a là :
r
a = a12 + a 22

d. Mối liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ vec tơ:


r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và
r
 Tính chất 3: cho 2 vectơ a và

r
b c ng chiều

r
b ta có:

r r rr
a . b  a.b
r
r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b c ng phương

r r rr
a . b  a.b
r
r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b c ng hướng

B.GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1 : Giải phương trình:
x 2 - 2 x+ 2 + x 2 -10 x+ 34 = - x 2 + 4 x- 4 + 4 2 (1)

Giải :
(1) 



+ 9  42 + 42 = 4 2

r r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto a,b cùng hướng
r
r
  k : a = k b , k>0

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

7


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

1

 x-1 = k(5 - x) k =


3
1
=
3k

 x = 2
Mặt khác :


58
9

Vậy nghiệm của phương trình : x=
Bài 3: Giải phương trình:

58
9

x 2 + 2 x+ 5 + x 2 - 6 x+13 = 4 2 (1)

Giải:
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

8


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
(1)  (x+1) 2 + 4 + (3 - x) 2 + 4 = 4 2
Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt
r
r
r r
a = (x+1;2) ; b = (3 - x;2) ; a + b = (4;4)
r
r
r r

r r
 a = (x- 2) 2 +1 ; b = (2 - x) 2 + 9  a + b = 2 và a + b = (0;4)

r r r r
Theo BĐT vectơ ta có : a + b  a + b = 4
 (x- 2) 2 +1 + (2 - x) 2 + 9  4

r r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto a,b cùng hướng
r
r
  k : a = k b , k>0

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

9


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

1

1 = 3k
k =


3
x2


rr r r
r r
Từ (*) và (**) suy ra : a.b = a . b  a,b c ng hướng

x  3
 x-1=x-3   2
 x=5 .
x
-7x+10=0

Vậy x = 5 là nghiệm duy nhất.
Bài 6:Giải phương trình : x x+1 + 3 - x = 2 x 2 +1
Giải:
Điều kiện: -1  x  3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy
r
r
r
r
Đặt : a = (x;1) ; b = ( x+1; 3 - x ) , a = x 2 +1, b = 2

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

10


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Điều kiện:  8  x  8
r
r
Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt a = (x;1) ,b = ( x 2 +1; 8 - x 2 )
rr r r
Theo BĐT vectơ a.b  a . b ta có: x 1 + x 2 + 8 - x 2  3 x 2 +1

r r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a,b cùng hướng
r
r
  k : a = k b , k>0

 x = k x 2 +1
x  0

 x 2 +1  x 8 - x 2   4
2
 x - 7 x +1 = 0
1 = k 8 - x 2

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

11


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình


2
4

Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt :
r  1 3 r 1
3 r r
a =  x+ ;
,b
=
x;


  a + b = (1; 3)
2
2
2
2




r r r r
Theo BĐT vec tơ : a + b  a + b suy ra
1
3
1
3
x 2 + x+1 + x 2 - x+1 = (x+ ) 2 + + ( - x) 2 +  2
2
4


12


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Giải
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các vectơ:

r
r r
a = (x-1;1)
 a + b = (3x+ 2;5)
r
b = (2x+ 3;4)
r
r
r r
 a = x 2 - 2 x+ 2, b = 4 x 2 +12 x+ 25, a + b = 9 x 2 +12 x+ 29

Suy ra phương trình (1) tương đương:
1

k
=
r r
r r
r
r

 x-1 = k(2 x+ 3)

r r r r
Theo BĐT vec tơ ta có : a + b  a + b
3x+1+12 + 3y+1+12 





2

3x+1 + 3y+1 + 48 = 8

r r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto a,b cùng hướng

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

13


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
r
r
  k : a = k b , k>0

x = y
 3x+1 = k 3y+1



+ 64 = 10

r r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 véctơ a,b c ng hướng
r
r
  k : a = k b , k>0

 2x+ 5 = k 2 y+ 3
 2x+ 5 = 2 y+ 3
 y=x+1


4 = k 4
k = 1
(1)  2 x+ 5 = 3  x = 2  y = 3
Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;3)

 x+ y = 4
Bài 3: Giải hệ phương trình:  2
2
 x + 2 x+17 + y + 2 y+17 = 10
Giải :
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

14



+ 42 +

 y+1

2

+ 42 

 x+ y+ 2 

2

+ 82 = 10

r r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 véctơ a,b c ng hướng
r
r
  k : a = k b , k>0

 x+1 = y+1  x = y

(1)  x=y=2
Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;2)
2
2

x 8 - y + y 8 - x = 16 (1)
Bài 4:Giải hệ phương trình: 

 x 12 - y + y(12 - x 2 ) = 12 (1)
(x, y  R)
Giải hệ phương trình: 
3
x
8x-1
=
2
y2
(2)


Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

15


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Giải :
Điều kiện:  12  x  12;2  y  12
r r
r
r
Đặt a = (x; 12 - x 2 ) ; b = ( 12 - y; y) ta có: a = b = 12

r2 r2
rr
r r




r
r
Ta có: a  2, b  2
rr
r r
Theo đề bài ta có: a.b  2  a b
rr r r
Theo BĐT vec tơ ta có: a.b  a b

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

16


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
rr r r
r
r
 a.b  a b khi và chỉ khi a và b c ng hướng
 x 2 - 3 = 5 - x 2  x = ±2

Vậy nghiệm bất phương trình : x=2 v x=-2
Bài 2: Giải bất phương trình:

x  1  2 3  x  10


Vậy nghiệm bất phương trình : x=

7
5

Bài 3: Giải bất phương trình: 3 x+ 3 + 7 - x  10
Giải :
Điều kiện : 3  x  7

r
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đặt: a =





r
x  3; 7 - x ,b = 3;1

r
r
Ta có: a  10, b  10
rr r r
Theo bài ra ta có: a.b  a b luôn đúng

Vậy nghiệm bất phương trình: 3  x  7

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng


2

r
uu
ru

b  (a.b)2

Vậy (x2 +y2) (z2 +t2)  (x z+ y t)2
đẳng thức xảy ra

 xt = yz

Bài 5: Chứng minh rằng:

x 4 +1 - y 4 +1  x 2 - y 2 ,  x, y  R

Giải
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, các vectơ:

r
a = (x 2 ;1) r r
 a - b = (x 2 - y 2 ;0)
r
2
b = (y ;1)
Theo BĐT vec tơ

r r
r r



Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
1
x + 2 +
x

1
y + 2 +
y

2

1
z+ 2 ³
z

2

2

2

æ1 1 1 ö
(x+ y+ z) + çççx + y + z ÷÷÷÷
è
ø
2

2


1
³
z2

82

Bài 7: Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì
x 2 + xy+ y 2 + x 2 + xz+ z 2 > y 2 + yz+ z 2

Giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
(x+

y 2
3 2
) +(
y) +
2
2

(x+

z 2
3 2
) +(
z) >
2
2



2 2

(1)  AB + AC > BC
Ta có AB+ AC  BC với 3 điểm A, B, C bất kỳ ở đây

uuur
y 3 uuur
z
3
AB = (-x- ;
y);AC = (-x- ;z)
2 2
2 2
Hai véctơ này không thể ngược hướng (vì hoành độ c ng âm) do đó không thể xảy ra
đẳng thức AB + AC = BC.
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

19


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
1. Giải phương trình:

x 2  2 x+ 2 + x 2 - 6 x+18 = - x 2  4 x+ 4 2 ĐS:x=0


6. Giải hệ phương trình: 
ĐS: (2;4)
3

x + 3x = 2 y 6
2
2

x 13  y + y 13  x = 12
7. Giải hệ phương trình: 
3
2

x  2x  y  30
ĐS: (3;3)
8. Giải bất phương trình: 10  x 2 + x 2  8  2
ĐS: x=3;x=-3
9. Giải bất phương trình: 3x+ 24 + 84 -12x  15
ĐS: x=-33/5
IV.HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
1.Kinh nghiệm thực tiễn
- Trong quá trình học toán và dạy toán, tôi đã phân loại các dạng toán thường gặp và
tổng hợp các phương pháp giải thích hợp. Thực tế giảng dạy, bản thân tôi đã đúc kết và
rút được một số kinh nghiệm trong công tác dạy học,” Sử dụng phương pháp véctơ và
tọa độ để giải một số bài toán về phương trình, Hệ phương trình và bất phương trình”
vừa cũng cố, hoàn thiện kiến thức cho học sinh . Trong khuôn khổ đề tài này, tôi xin
đưa ra một vài kinh nghiệm về "Dạy học của mình nhằm nâng cao chất lượng học tập
môn toán cho học sinh THPT Bình Sơn".
- Trong khuôn khổ đề tài này, tôi đã hệ thống một số bài toán mà giáo viên toán cụ
thể hướng dẫn cho học sinh THPT nắm vững và vận dụng tốt. những ví dụ minh họa


Gi i
Trước
0
0%

Khá
sau
2
6%

Trước
2
6%

Trung bình

Yếu

sau
Trước Sau Trước sau
8
15
19
16
4
24,3% 45,5% 57,6% 48,5% 12,1
%

V.ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

1. Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập 10 ; Nhà xuất bản Đại học quốc gia
Hà Nội. Th.s Nguyễn Kiếm-Lê Thị Hương.
2. Các phương pháp giải Phương trình-Bất phương trình, NXB tr -Võ Đại Mau
3. Phân dạng và phương pháp giải đại số 10, NXB Đại học quốc gia Hà Nội. Trần Đình
Thì.
4. Tuyển chọn 400 bài toán đại số 10 : NXB Đại học quốc gia Hà Nội –Hà Văn
Chương.
5. Các phương pháp giải Phương trình-Bất phương trình, NXB tr -Võ Đại Mau
6. Tuyển tập các bài toán hay và kh đại số 1, NXB Đại học quốc gia Thành Phố Hồ
Chí Minh- PGS. TS Đậu Thế Cấp

VII. PHỤ LỤC
1. Ph ếu hăm ò ý k ến ủ h

nh

h

n

Học sinh: Số phiếu phát ra là 386; Số hiếu thu về hợp lệ: 318
Câu 1: Hứng thú học tập môn toán của em?
Bảng 1. Hứng thú học tập môn toán
Rất thích

Thích

Bình thường

Không thích


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
49-15,4%
177-55,7%
73-22,9%
19-6%
- Thời gian học tập của HS khoảng 30-45 chiếm 55,7% là thời gian học tập cân đối
chứng t đa số HS cũng đã có ý thức học tập.
- Tuy nhiên số HS học tập dưới 30 phút chiếm 15,4% và ý kiến khác chiếm 6% cũng là
kết quả đáng lo ngại. Ý kiến khác của các em cho rằng vì nhiều em đi học cả ngày nên
mệt m i không muốn học vào buổi tối.
Câu 3: Mức độ chuẩn bị bài của em trước khi học bài mới?
Bảng 3. Mức độ chuẩn bị bài của học sinh
Không chuẩn bị

99-31.1%

Chuẩn bị bài theo hướng Chuẩn bị theo hướng dẫn và Ý

kiến

dẫn của thầy cô.

đọc thêm tài liệu khác

khác

108-34%

97-30.5%

131-41.2%

82-25.8%

7-2.2%

- Đa số các em đều cố gắng tìm cách để làm được bài, điều này cho thấy HS đã có ý
thức học tập, cố gắng để hoàn thành nhiệm vụ được giao, có 2,2% HS không làm bài
tập.
- Có khoảng 12,9% HS khảo sát đã tự cố gắng tìm t i cách giải quyết, các em đã chủ
động khám phá kiến thức, chứng t các em rất yêu thích môn toán.
Câu 5: Lý do em yêu thích bộ môn toán?
Bảng 5. Lý do thích học toán
Là môn học có tính Có nhiều ứng dụng thiết Giáo viên dạy hay, Ý
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

kiến
23


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
logic
thực trong cuộc sống
dễ hiểu
khác
299-94%

287-90.3%

khác

99-31.1%

184-57.9%

65-20.4%

97-44.5%

8-2.5%

- Khó khăn nhiều nhất là HS thiếu tài liệu hỗ trợ học tập, khối lượng kiến thức bài nhiều
nhưng thời gian học tập lại ít, do đó áp lực học tập đối với các em là rất lớn. Bên cạnh
đó HS chưa thấy yêu thích môn toán cũng chiếm tỉ lệ cao, điều này cho thấy việc tạo
hứng thú học tập cho các em là rất cần thiết.
Câu 7: Em có tham khảo thêm các tài liệu ngoài tài liệu thầy cô cho không?
Bảng 7. Mức độ tìm hiểu thêm tài liệu
Thường xuyên

Thỉnh thoảng

Không bao giờ

86-27%

102-32.1%

134-42.1%



BT có nội dung gắn với thực tiễn và bảo 68-21.4%
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

24


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
vệ môi trường
BT có chứa câu chuyện lịch sử

0

117-36.8%

201-63.2%

BT nội dung mang tính thời sự

21-6.6%

249-78.3%

48-15.1%

- Về các dạng bài tập mà các em sử dụng thường xuyên nhất đó là bài tập sử dụng hình
ảnh, sơ đồ, bảng biểu. Thỉnh thoảng có làm bài tập, nhưng dạng bài tập gắn với thực
tiễn và giáo dục môi trường lại không được làm nhiều.