SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT THỐNG NHẤT B

Mã số: …………….

ỨNG DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI CHO HỌC SINH TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG

Người Thực hiện: Vũ Hoàng Hưởng
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục



Phương pháp dạy học bộ môn:…Toán 
Phương pháp giáo dục



Lĩnh vực khác: ……………………………..

Có đính kèm:
 Mô hình

 Phần mềm

 Phim ảnh

Năm học: 2012 - 2013

 Hiện vật khác

- Số năm kinh nghiệm: 18 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm có trong 5 năm gần đây:
1. Ứng dụng Cabri Để Dự Đoán Quỹ tích
2. Một Số Phương Pháp Chứng Minh Bất Đẳng Thức
3. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN V D

V

H CT

N

Á T NH Ỏ TÚI


Hội nghị chuyên đề môn toán THPT Năm học 2012 - 2013

MỘT SỐ ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG
DẠY HỌC TOÁN THPT
VŨ HOÀNG HƯỞNG
Giáo viên, Trường THPT Thống Nhất B
MỞ ĐẦU
Hiện nay với sự phát triển kỹ thuật, công nghệ ở mức cao, có nhiều ứng dụng
vào dạy học Toán THPT rất tiện ích. Chuyên đề này trình bày một số ứng dụng máy
tính cầm tay trong dạy học Toán THPT.
Nội dung chuyên đề gồm hai phần; phần I: Dành cho học sinh lớp 10, 11,
12; phần II: Phân tích ý tưởng giải toán trên máy tính cầm tay qua một số bài toán
về dãy số và số học.

Có một thực trạng khá phổ biến trong Trường THCS, Trường THPT hiện nay là

học Toán THPT.
Phần I: Dành cho học sinh lớp 10, 11, 12
I/ Đối với học sinh lớp 10
Học sinh lớp 10 nhận thức về toán học còn hạn chế, chưa phân biệt được radian
và độ. Do đó học sinh cần nắm vững các thao tác cơ bản sau:
1/ Chức năng của 1 phím:
_ Chức năng màu trắng
_ Chức năng màu vàng: Đi kèm với SHIFT
_ Chức năng màu đỏ: Đi kèm với ANPHA
2/ Chức năng ô nhớ
A–B–C–D–E–F–X–Y
3/ Chức năng lượng giác
Học sinh lớp 10 chưa biết đơn vị radian nên khi sử dụng

T T ta hướng dẫn học

sinh chuyển máy sang đơn vị độ. Hướng dẫn học sinh sử dụng phím DRG
4/ Chức năng giải phương trình
Máy tính có thể giải phương trình, hệ phương trình sau:
PT bậc 2, PT bậc 3, hệ PT bậc nhất 2 ẩn, hệ PT bậc nhất 3 ẩn

Một số ứng dụng MTCT trong dạy học học toán THPT, Vũ Hoàng Hưởng, THPT Thống Nhất B

Trang 2


Hội nghị chuyên đề môn toán THPT Năm học 2012 - 2013

Chú ý: Cần phân biệt chức năng giải PT với chức năng đoán nghiệm PT: Phím
SOLVE

ước 1: Bấm Mode 3 – 1
ước 2: Nhập dữ liệu
x

FREC

1

150

20

2

155

30

3

160

50

4

165

45



Trang 3


Hội nghị chuyên đề môn toán THPT Năm học 2012 - 2013

b/ Tính các góc A,

, C ( ghi độ, phút, giây)

Bài 4: Đoán nghiệm PT

+ 3x2 – 14x – 8 = 0

–

II/ Đối với học sinh lớp 11
Học sinh lớp 11 phải thực hành thành thạo các chức cơ bản của lớp 10. au đó bổ
sung thêm các chức năng sau:
1/ Chức năng về đại số tổ hợp: X!, nCr, nPr
2/ Chức năng tính số hạng thứ n trong dãy số truy hồi
3/ Chức năng lượng giác
Khi sử dụng máy tính giải quyết vấn đề về lượng giác học sinh phải chuyển máy
về đơn vị mình đang làm việc
4/ Chức năng tính đạo hàm của hàm số tại x0
5/ ài tập thực hành
Bài 1: Tính 10!, 10C5, 10P5
Bài 2: Cho (Fn) biết F1 = 1, F2 = 1, Fn +2 = Fn +1 + Fn. Tìm F30 ?
+ 3x2 – 14x – 8 = 0


)=
(viết x với 5 chữ số thập phân)
6
6

III/ Đối với học sinh lớp 12
Học sinh lớp 12 phải đối mặt với 2 kỳ thi lớn. Để hỗ trợ học sinh trong 2 kỳ thi
này ta cần nhắc học sinh nên sử dụng máy tính thường xuyên và liên tục. Học sinh lớp
12 cần nắm vững các chức năng sau
1/ Chức năng tính đạo hàm của hàm số tại x0 cùng với việc tính tích phân
2/ Chức năng tính véc tơ
3/ Chức năng tính số phức
4/ Chức năng đoán nghiệm PT

Một số ứng dụng MTCT trong dạy học học toán THPT, Vũ Hoàng Hưởng, THPT Thống Nhất B

Trang 4


Hội nghị chuyên đề môn toán THPT Năm học 2012 - 2013

5/ Bài tập thực hành


x 2 sin x
0 x  2 dx
2

Bài 1: Tính I =


2i

Bài 4: Giải PT a/ log3 x  log 2 ( x  1)
b/ x5 – x4 – x3 – 11x2 + 25 x – 14 = 0
PHẦN II: PHÂN TÍCH Ý TƯỞNG GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
I/: Giới thiệu một số chức năng thường dùng của máy tính.
Hầu hết hoc sinh đã biết thao tác bấm máy cơ bản. Tuy nhiên các em chưa khai thác
hết các chức năng của một số phím như: TO – CALC – SOLVE – COPY.
1) Chức năng TO: Dùng để nhớ một số vào ô nhớ.
Ngoài ô nhớ M, máy tính còn các ô nhớ A,B, C, D, E, F, X, Y
Ví dụ: Để nhớ số 1 vào A ta bấm: 1 – shift – STO – A
Màn hình hiện 1→A. Ta đã ghi số 1 vào A
2) Chức năng CALC: Dùng để tính giá trị biểu thức f(x) tại một điểm.

Một số ứng dụng MTCT trong dạy học học toán THPT, Vũ Hoàng Hưởng, THPT Thống Nhất B

Trang 5


Hội nghị chuyên đề môn toán THPT Năm học 2012 - 2013

Ví dụ: Cho f(x) = x3 – 3x2 + 1. Tính f(-2 ).
Để tính f( - 2 ) ta làm như sau:
ước 1: Nhập biểu thức x3 – 3x2 + 1
ước 2: bấm CALC màn hình hiện x? nhập -2 bấm “ = “.

áy tính hiện kết quả - 19

3) Chức năng OLVE: Giải phương trình ( đoán nghiệm).
Khi muốn đoán nghiệm phương trình f(x) = 0 ta làm như sau:

Từ đây ta dể dàng phân tích ra thừa số và giải được như sau:
–4–(


3x  15
–
3x  1  4

 (x – 5)(

–1) + 3x2 – 14x – 5 = 0.
5 x
+(x – 5)(3x + 1) = 0
6  x 1

3
+
3x  1  4

 x – 5 = 0 hoặc

1
+3x + 1) = 0
6  x 1

3
+
3x  1  4

1

–
+∞

y

+∞

1
0

+

2

+∞

Do đó x = 2 là nghiệm phương trình.
Ví dụ 3: Bài này do Thầy Nguyễn Tất Thu nghiên cứu ra xin được đưa vào để làm rỏ tư
tưởng của chuyên đề. Xin cảm ơn Thầy Nguyễn Tất Thu.
Giải phương trình: x 2  x  1  (x  2) x 2  2x  2 .
Giải:
Với phương trình ta không gặp được sự may mắn như phương trình trên, bằng cách sử
dụng MTBT ta thấy phương trình có hai nghiệm x1 , x 2 vô tỉ, nếu ta linh hoạt một chút ta
sẽ nghĩ đến thừa số chung là một tam thức bậc hai có hai nghiệm x1 , x 2 . Vấn đề tam
thức ở đây là tam thức nào? Các bạn thử nghĩ xem nếu biết hai nghiệm của tam thức thì
ta có thể xác định được tam thức đó hay không? Chắc chúng ta sẽ trả lời là có nhờ vào
định lí đảo của định lí Viet. Áp dụng định lí Viet ta tính được x1  x 2  2; x1x 2  7 ( sử
dụng MTBT) . Vậy thừa số chúng mà ta cần phân tích là tam thức x 2  2x  7 nên ta
biến đổi như sau:
Phương trình  x 2  2x  7  3(x  2)  (x  2) x 2  2x  2  0


)0

 x 2  2x  7  0  x  1  8 là nghiệm của phương trình.

4) Chức năng copy:
Máy tính fx570MS cho ta copy lại các phép tính đã tính ở trên.
Ví dụ: Ta có 3 phép tinh
6 +2 = 8
6 *2 = 12
6:2=3
Ta muốn copy 3 phép toán trên ta đưa con trỏ lên phép tính thứ nhất (6 +2 = 8) rồi
bấm SHIFT_COPY
Khi đó 3 phép toán trên hiện lên một dòng: 6 +2 = 8; 6 *2 = 12; 6 : 2 = 3
Ta chỉ việc bấm “=” liên tiếp là máy tính sẽ thực hiện các phép toán trên.
Chức năng này cho phép ta tính số hạng thứ n trong dãy số truy hồi rất nhanh.
Ví dụ: Cho (Fn) biết F1 = 1, F2 = 1, Fn +2 = Fn +1 + Fn. Tìm F30 ?
Bây giờ để dùng chức năng COP ta lập thuật toán cho máy tính.
ước 1: Gán 1 cho A: 1 _ shift _ to _A: 1→A.
Gán 1 cho B: 1 _ shift _Sto _B
ước 2: Bấm A +

→A.

+A→ .

ước 3: COP hai dòng trên ta được A +

→A;


Ví dụ 1:
Chữ số thập phân thứ 2006 sau dấu phẩy là chữ số nào khi ta chia 1 cho 49
Phân Tích:
Tư tưởng để giải bài này rất rỏ ràng là tìm chu kỳ của số thập phân

1
. Vấn đề
49

đặt ra là làm sao để tìm chu kỳ nhanh nhất khi ta dùng máy tính 570MS
1:49 ≈ 0,02040816327
1010 – 49*204081632 =32
32:49 ≈ 0,6530612245
32*109 – 49*653061224=24
24:49 ≈ 0,4897959184
24*109 – 49*489795918=18
18:49 ≈ 0,3673469388
18*109 – 49*367346938=38
38:49 ≈ 0,7755102041
Như vậy:
1:49 ≈ 0,02040816326530612244897959183673469387755102041
Suy ra chu kỳ là 42
Ta thấy 2006 = 42*47 + 32
Do đó chữ số thập phân thứ 2006 là chữ số 3
Lưu ý: Với kỳ thi máy tính ta viết kết quả gần đúng (≈)
Ví dụ 2: Ngày 01/01/2008 là ngày thứ ba. Vậy ngày 01/01/2080 là ngày thứ
mấy?
Phân Tích:
Ta thấy 1 năm có 365 ngày, 1 năm nhuận có 366 ngày. Từ ngày 01/01/2008 đến
Vậy ngày 01/01/2080 trải qua 72 năm, trong đó có 18 năm nhuận. Cứ 4 năm có 1 năm

→ .
A
B

Copy hai dòng trên ta được

1 B
1 A
→A;
→ .
A
B

Bấm “ =” liên tiếp ta được
 x1  1412003
 x  20032004
 2
 x3  20032005/1412003
 x  282158/372174338737
 4
 x5  18579/263579

 x6  1412003
 x  20032004
 7
 x8  20032005/1412003
 x  282158/372174338737
 9
 x10  18579/263579


A.B

Một số ứng dụng MTCT trong dạy học học toán THPT, Vũ Hoàng Hưởng, THPT Thống Nhất B

Trang 10


Hội nghị chuyên đề môn toán THPT Năm học 2012 - 2013

A + 1  A2 →A;

COP ba dòng trên ta được

B
1  1  B2

→ ; A.B

Bấm “=” liên tục ta được A. không đổi là 2.
Lưu ý khi viết kết quả x2004.y2004 ≈ 2
Nếu ta dùng suy luận toán học thì việc đoán đáp số cho bài toán trên không dễ
dàng
Ta thấy: x1 = cot300, x2 = cot
y1 = tan600, y2 = tan

30o
30o
,………….., xn + 1 = cot n
2
2


 xn 1  2 ; yn 1  x  y
n
n

x5  2002
với 10 chữ số thập phân.
x5  2002

a)

Tính giá trị

b)

Tìm lim xn ; lim yn
x 

x 

Bấm 4732 →A. 847 → .
Bấm

A B
2 AB
→C
→D. C→ A. D → .
2
A B


Một số ứng dụng MTCT trong dạy học học toán THPT, Vũ Hoàng Hưởng, THPT Thống Nhất B

Trang 11


Hội nghị chuyên đề môn toán THPT Năm học 2012 - 2013

xn =sin(2010 – sin( 2010 - ………..sin( 2010 – sin(2010))………))
Tìm n0 để với mọi n ≥ n0 thì xn có bốn chữ số phần thập phân ngay sau dấu phẩy
là không đổi.
Tìm gía trị x2009
Chuyển máy về radian
Bấm sin2010
Bấm sin(2010 – Ans)
Bấm “ =” liên tiếp và đếm ta được bốn chữ số phần thập phân ngay sau dấu
phẩy không đổi là 3071.
Kết quả n0 = 185
Dạng 3: Tính toán theo một qui luật nhất định.
Ví dụ 1: Cho f(x) = 4x( 4x + 2)

–1

. Hãy tính tổng

1
2
2009
) + f(
) +………………..+ f(
)

Bấm

A
→A;1+
AB  1

→ .

COP hai dòng trên ta được :
Bấm “=” liên tục ta được: 1,

A
→A;1+
AB  1

→ .

1 1 1 1 1
, , , , , ……
2 4 7 11 16

Ta có 1 +1 +2 + 3 + 4 +…………….+ 2007 = 2015029
Do đó x2008 =

1
2015029

Một số ứng dụng MTCT trong dạy học học toán THPT, Vũ Hoàng Hưởng, THPT Thống Nhất B

Trang 12


Ví dụ 4: Tìm hai chữ số cuối cùng của số 21999 + 22000 + 22001.
76*76 = 5776
220 = 1048576
21999 + 22000 + 22001 = 21980 (219 + 220 + 221).
219 + 220 + 221 = 3670016
76*16 = 1216
Do đó hai chữ số cuối cùng la 16
Ví dụ 5: Phép tính nâng lên luỹ thừa rồi lấy modul của các số nguyên, tức là tính.
C = Nk mod p, là không khó khăn, ngay cả với những số cực lớn. Nhưng phép tính
ngược lại, tức là tìm ra N khi biết C, k, p, thường được gọi là phép “khai căn” bậc k
modul p, lại là việc vô cùng khó khăn. Trong trường hợp tổng tổng quát, với các số
nguyên lớn, bài toán này là không thể giải được ngay cả với các siêu máy tính mạnh nhất
hiện nay. Tuy nhiên, khi p là số nguyên tố và k không có ước chung với p – 1 thì nhờ
định lý fermat (nhỏ ) người ta phát hiện ra rằng có thể thực hiện được phép “ khai căn “
này bằng cách tìm số d sao cho dk = 1 mod (p – 1) và tính ra N bằng công thức N = Cd
mod p. Để kiểm nghiệm điều nói trên, em hãy
a) Tính số C = 123452305 mod 54321 ;
b) Tìm số N sao cho N52209 mod 89897 = 56331
Phân Tích
B1) 123452305 , 2305 = 2304 + 1
123452 : 54321≈ 2805.526868, 123452 – 2805* 54321 = 28620
B2) 286201152
286202: 54321≈15078.96394, 286202 – 15078*54321 = 52362
B3) 52362576
523622: 54321≈ 50473.64820, 523622 – 54321* 50473 = 35211

Một số ứng dụng MTCT trong dạy học học toán THPT, Vũ Hoàng Hưởng, THPT Thống Nhất B

Trang 13


52209 – 37687 = 14522

n = 1190, d =859

B3) d. 14522 = 1 + n.37687

37687 – 2*14522 = 8643

n = 331, d = 859

B4) d. 14522 = 1 + n. 8643

14522 – 8643 = 5879

n = 331, d = 197

B5) d. 5879 = 1 + n.8643

8643 – 5879 = 2764

n = 134, d = 197

B6) d. 5879 = 1 + n. 2764

5879 – 2*2764 =351

n = 134, d = 63

B7) d. 351 = 1 + n.2764


B1) 563312049 , 2049 = 2048 + 1
563312 : 89897≈ 35297.9694651, 563312 – 35297* 89897 = 87152
B2) 871521024
871522: 89897≈84490.81842, 871522 – 84490*89897 =73574
B3) 73574512
735742: 89897≈ 60214.8400503, 735742 – 89897* 60214 =75518
B4) 75518256
755182: 89897≈ 63438.9170273, 755182 – 89897* 63438 = 82438
B5) 82438128
824382: 89897≈ 75597.8936338, 824382 – 89897* 75597 = 80335
B6) 8033564
803352: 89897≈ 71790.0733, 803352 –89897* 71790 = 6595
B7) 659532
65952 : 89897≈ 483.820650300, 65952 – 89897* 483 = 73774
B8) 7377416
737742 : 89897≈ 60542.6552165, 737742 –89897* 60542 = 58902
B9) 589028
589022 : 89897≈ 38593.5637897, 589022 – 89897* 38593 =50683
B10) 506834
506832 : 89897≈ 28574.55186, 506832 – 89897* 28574 =49611
B11) 496112
496112 : 89897≈ 27378.5701525, 496112 – 89897* 27378 = 51255
B12) 51255*56331: 89897≈ 32117.260, 51255*56331– 89897* 32117 = 23456
Suy ra N = 23456
Bình luận
Để làm được bài toán trên đòi hỏi phải kiên nhẫn, thật kiên nhẫn
Dạng 4: Các bài toán không mẫu mực
Ví dụ 1: Tìm một nghiệm (x, y, z) với x, y, z là các số nguyên dương phân biệt
của phương trình sau:


z
xyn

Cho 1 = x – y ta được

1
1

z xyn

a) Với n = 109 thì x = 55 , y = 54 và z = 55*54*109 = 323730
b) Với n = 1001 thì x = 501 , y = 500 và z = 501*500*1001 = 250750500
2006

Ví dụ 2: Tính S = 2010 
k 0

k
(1)k C2006
k 3  9k 2  26k  24

2006
(1)k .2006!
(1)k .2006!(k  1)
S = 2010 
= 2010 
k 0 k !(2006  k )!( k  2)(k  3)(k  4)
k 0 ( k  4)!(2010  ( k  4))!
2006


4
5
.1 + (1)1.C2010
.2 + …………+
.( k  1) = (1)0 .C2010

2010
(1) 2006 .C2010
.2007

4
2006
.2003 + ………+
.1 + …………………+ ( 1) 2002 .C2010
= (1)0 .C2010
2010
(1) 2006 .C2010
.2007
4
5
1004
1005
.2 + (1)1.C2010
.2 + ( 1)1001.C2010
.2 + ….+ (1)1000 .C2010
= 1002( (1)0 .C2010
)+
2010
.2007

Một số ứng dụng MTCT trong dạy học học toán THPT, Vũ Hoàng Hưởng, THPT Thống Nhất B

Trang 16


Hội nghị chuyên đề môn toán THPT Năm học 2012 - 2013

Một cách giải khác:
Ta có:

1
1
1
1



(k  2)(k  3)(k  4) 2(k  2) k  3 2(k  4)

k
(1)k C2006
Đặt S1 = 
k 0 2(k  2)
2006

Ta thấy f(x) = x(1 – x)2006 =

2006

 (1) C

2006

S2 =

1

x

2

(1  x) 2006 dx

0

k
1
(1)k C2006
S3 = 
=  x3 (1  x) 2006 dx
20
k 0 2(k  4)
1

2006

Như vậy S = 2010( S1 – S2 + S3 )
Bấm máy cho kết quả S = 0,0002492980106
Bấm theo kết quả S =

1

P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 +10 và ta dễ dàng tính p(16) cũng
như r = p(

3
)
10

Để nhìn ra được khía cạnh đặc biệt đó em xin nhường lời bình luận lại cho người
ra đề đó và mọi người quan tâm tới đề thi trên.
Dạng 5: Tính giá trị biểu thức
Ví dụ 1: Cho f(x) =

2 x sin(3 x  1)
x3  3x  5

Tính gần đúng với 5 chữ số thập phân giá trị f’(2,3531).
Phân Tích:
Tư tưởng để giải bài này rất rỏ ràng là bấm máy nhưng nếu ta không lưu ý đến đổi
hệ của máy tính qua radian thì kết quả sai mà nhiều học sinh không phát hiện ra.
Đổi hệ : MODE3 _ 2
Nhập biểu thức
Đáp số là
Ví dụ 2: Cho f(x) =

sin x
x  x 1
2

Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ – 2 , 2]
Phân Tích:

Phân Tích:
Tư tưởng để giải bài này rất khó. Nếu A và B di chuyển trên đồ thị thì đoạn AB
phụ thuộc vào hai biến. Muốn tìm được giá trị lớn nhất của AB ta phải tìm cách rút gọn
về một biến
Với tư tưởng này ta thấy AB lớn nhất khi A(2, 5) khi đó ( x, x2 + 2x – 3)
AB =

( x  2) 2  ( x 2  2 x  8) 2 và ta dễ dàng tìm được giá trị lớn nhất của đoạn

AB
Ví dụ 4: Cho f(x) = 2x 3sin x4cos x7
2

1/ Tính gần đúng với 5 chữ số thập phân giá trị của hàm số tại điểm x =


7

2/Tính gần đúng với 5 chữ số thập phân giá trị của các hệ số a và b nếu đường thẳng y =
ax +b la tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm có hoành độ x =


7

Phân tích:
Tư tưởng để giải bài này là bấm máy qua các bước:
1/ ước 1: Đổi hệ của máy qua radian
ước 2: Nhập biểu thức
ước 3: Bấm phím CALC
ước 1: Nhập x =

1  x2  x

dx

Lưu ý: Chuyển máy qua radian
Bấm máy cho ta đáp số là – 0,3034928278
Lưu ý: Bấm máy chỉ là dự đoán kết quả để ta tự tin khi làm bài.

Một số ứng dụng MTCT trong dạy học học toán THPT, Vũ Hoàng Hưởng, THPT Thống Nhất B

Trang 19


Hội nghị chuyên đề môn toán THPT Năm học 2012 - 2013

4

I=





x 2  1sin xdx –


4

4



Một số ứng dụng MTCT trong dạy học học toán THPT, Vũ Hoàng Hưởng, THPT Thống Nhất B

Trang 21


SỞ GD V ĐT ĐỒNG NAI

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Trường THPT Thống Nhất B

Độc lập – Tự do – Hạnh Phúc

…………

…………………….
Thống Nhất B ngày 10 tháng 5 năm 2013

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2012 – 2013
Tên sáng kiến kinh nghiệm: ỨNG DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG.

Họ và tên tác giả: vũ Hoàng Hưởng Tổ: Toán
Lĩnh vực:
Quản lý giáo dục:

Phương pháp dạy học bộ môn:………………. x


hiện và dễ đi vào cuộc sống :


Tốt  x

Khá 

Đạt 

- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quủa hoặc có khả năng áp dụng đạt
hiệu quả trong phạm vi rộng:
Tốt  x
Khá 
Đạt 

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
( đã ký )

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
( đã ký )