BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMTRẦN ĐÌNH CƯ
SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI PHÁT TRIỂN TƯ DUY
THUẬT TOÁN TRONG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU
Huế, Năm 2012
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu
trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả
cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong
bất kì một công trình nào khác.
Tác giả luận văn
Trần Đình Cư
ii
LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu,
người đã từng bước dẫn dắt tôi bước vào con đường nghiên cứu khoa học và là
người đã tận tình chỉ dẫn, động viên tôi, giúp tôi có đủ niềm tin và nghị lực để hoàn
thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS. TS. Trần Vui, GS. TS. Đào Tam, PGS.TS. Bùi Văn
Nghị, TS. Nguyễn Thị Lan Phương, TS. Hoàng Lê Minh đã nhiệt tình giảng dạy,

6. Cấu trúc luận văn 9
Chương 2 10
TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 10
1. Sơ lược lịch sử hình thành và phát tiển máy tính bỏ túi Casio 10
2. Nền tảng lý thuyết 13
2.1. Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học 13
2.2. Một số quan điểm khác 14
2.3. Vấn đề và giải quyết vấn đề 15
3. Các nghiên cứu liên quan 17
3.1. Thuật toán và tư duy thuật toán 17
Khái niệm tư duy thuật toán liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán. Do đó
trước khi đưa ra khái niệm tư duy thuật toán ta hãy nghiên cứu khái niệm thuật
toán 17
3.1.1. Khái niệm thuật toán và các yếu tố thuộc về thuật toán 17
3.1.2. Tư duy thuật toán 22
3.1.3. Quy trình, quy trình tựa thuật toán 23
3.2. Thực trạng và tầm nhìn MTBT trong dạy và học toán THPT 24
3.2.1. Lợi ích của sử dụng MTBT trong dạy và học toán 24
3.2.2. Những thách thức về sử dụng MTBT trong dạy và học toán 25
3.2.3. Thực trạng sử dụng MTBT trong lớp học toán ngày nay 27
Chương 3 29
SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI THIẾT LẬP QUY TRÌNH VÀ PHÁT TRIỂN
TƯ DUY THUẬT TOÁN TRONG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 29
1. Định hướng sư phạm về sử dụng MTBT hỗ trợ dạy và học toán 29
1.1. Sử dụng MTBT trong định hướng tìm lời giải phương trình đại số 29
1
1.2. Sử dụng MTBT trong định hướng tìm lời giải phương trình lượng giác 33
1.3. MTBT hỗ trợ giải bất phương trình 37
1.4. Sử dụng MTBT tính giới hạn thông qua đạo hàm 41
2. Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh trong giải quyết vấn đề 43

2.Chương trình kiểm tra, thi cử và sách giáo khoa vẫn còn rất truyền thống.
Giáo viên phải dạy theo đúng phân phối chương trình, còn học sinh buộc phải
học theo kiểu đối phó, họ bị ảnh hưởng rất nhiều đến việc sử dụng CNTT trong
lớp học. Do đó cần phải điều chỉnh chương trình phổ thông hiện nay phù hợp
hơn theo hướng sử dụng tích cực MTBT trong việc giảng dạy 84
3.Chương trình đào tạo giáo viên ở các trường Đại học và Cao đẳng thiếu sự
hỗ trợ của CNTT mới và cách tiếp cận mới trong việc giảng dạy và học tập,
phần lớn các kiến thức được truyền thụ một cách lý thuyết hơn so thực hành
tính toán. Vì vậy, cần phải đào tạo sinh viên ngay khi đang ngồi trên ghế nhà
trường một cách bài bản về CNTT nói chung và công nghệ cầm tay nói riêng
2
sao cho sau khi tốt nghiệp, những giáo viên này có thể khai thác tốt nhất công
nghệ hiện đại hỗ trợ quá trình dạy và học 84
4.Thực tế là một số học sinh có hoàn cảnh khó khăn hoặc ở các vùng sâu vùng
xa không đủ điều kiện để mua MTBT thì cần phải có một chế độ ưu đãi từ các
công ty máy tính hay các nhà đầu tư giáo dục. Cần trang bị cho mỗi trường
phổ thông một số MTBT thông qua ngân sách trang thiết bị trường học hoặc
các nguồn kinh phí khác. Nhà trường có trách nhiệm quản lý và sử dụng
MTBT này như là tài sản của thư viện hay phòng máy. Đây cũng là một đầu tư
nhỏ (50 MTBT bằng giá tiền một máy tính điện tử cá nhân) nhưng hiệu quả
lớn vì phục vụ cho số đông 85
TÀI LIỆU THAM KHẢO 86
PHỤ LỤC 90
PHỤ LỤC 1 91
3
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GQVĐ : Giải quyết vấn đề
GV : Giáo viên
HS : Học sinh
MTBT : Máy tính khoa học điện tử bỏ túi

giải quyết vấn đề (GQVĐ). HS hứng thú, tích cực trong các hoạt động và
hoàn chỉnh lời giải một cách chắc chắn;
2. Mở rộng phạm vi của chương trình: MTBT tạo ra cơ hội để HS phám khá
các tri thức, thậm chí đi xa hơn chương trình của một lớp học;
3. Tăng xu hướng giảng dạy: Đưa việc sử dụng MTBT vào chương trình giảng
dạy dưới nhiều hình thức khác nhau để tăng tính hiệu quả của chương trình
học của HS;
5
4. Sáng tạo và kiểm chứng: MTBT là công cụ giúp HS kiểm tra các kết quả,
cho phép các em sáng tạo với những con số và kiểm chứng các ý tưởng.
Theo nghiên cứu của (NCTM, 2000, [18]) và (Schuck, 1995, [23]) về yếu tố chính
ảnh hưởng đến việc học của HS là GV, nghiên cứu cho rằng người GV phải có thái
độ tích cực đối với toán học và việc sử dụng nguồn tài nguyên công cụ, trong đó có
MTBT để làm cho toán học trở nên nhẹ nhàng và có ý nghĩa hơn đối với HS. Cũng
như trong nghiên cứu (Fleener, 1995, [9]; Hembree và Dessart, 1986, [11];
Laumakis và Herman, 2008, [15]; Ruthven, 1990, [21]) đã chỉ ra rằng việc sử dụng
MTBT trong giảng dạy có thể tác động tích cực đến cả GV và HS.
Tăng hướng dẫn sử dụng MTBT vào quá trình giảng dạy sẽ thu hút người học xây
dựng, hình thành và khám phá tri thức, khả năng GQVĐ. Đồng thời thông qua việc
thăm dò các ý tưởng và quá trình học của HS, GV cũng có cơ hội để học tập và
nâng cao khả năng xử lý các tình huống bất ngờ mà người học có thể tạo ra với
những ý tưởng táo bạo và sáng tạo trên MTBT của mình.
1.1. Nhu cầu nghiên cứu
Ngày nay, hầu hết các nước trên thế giới đều đưa MTBT hỗ trợ trong quá trình
giảng dạy toán từ chương trình bậc tiểu học cho đến chương trình bậc đại học.
Nhiều nghiên cứu đã chỉ ra rằng: Trong môi trường máy tính một số vấn đề toán
khó giải thích, đặc biệt với các phép tính phức tạp thì với công cụ máy tính các kết
quả được kiểm chứng và minh họa rõ ràng hơn.
Theo Laumakis và Herman (2008, [15]) trong các bài kiểm tra cuối khóa ở các
trường thì những HS có khả năng sử dụng MTBT thành thạo có điểm số cao hơn so

tạp (kể cả phổ thông lẫn cao cấp) trở thành công cụ làm việc dễ dàng cho mọi
người. Một điều thú vị là ngoài vai trò tính toán, MTBT và phần mền toán học có
khả năng hỗ trợ rất tốt cho việc dạy và học, nếu chúng ta biết khai thác một cách
khéo léo. Việc nắm những thủ tục và thực hành trên máy là không khó khăn, cho
nên nếu biết xác định đúng nội dung dạy và học thì chẳng những tránh được cái quá
tải không cần thiết, mà còn làm tăng năng lực vận dụng các kiến thức toán học vào
các hoạt động thực tiễn giúp HS thấy được một phần giá trị đích thực của toán học.
Tuy nhiên, để việc thực hiện tính toán trên MTBT dễ dàng đòi hỏi người sử dụng có
hiểu biết sâu sắc về lý thuyết toán học. Mặt khác, nhiều vấn đề lý thuyết (tính tăng
giảm, bị chặn, tốc độ hội tụ, độ chính xác, độ phức tạp, tính xấp xỉ ) sẽ được soi
sáng trong thực hành tính toán cụ thể.
Vì vậy, việc sử dụng thành thạo công cụ tính toán là cần thiết cho GV và HS. Công
cụ tính toán sẽ hỗ trợ đắc lực cho việc tiếp cận và truyền đạt các kiến thức lý thuyết,
giảng dạy lý thuyết gắn với thực hành tính toán, sẽ giúp HS không chỉ tiếp thu tốt
các kiến thức khoa học một cách bản chất, sâu sắc, mà còn tiếp cận tốt hơn với các
7
phương pháp giảng dạy và công cụ tính toán hiện đại. Các thuật toán và các quy
trình thao tác trên MTBT có thể coi là bước tập dược ban đầu để HS dần quen với
kĩ thuật lập trình trên máy tính cá nhân.
Với mục đích minh họa khả năng sử dụng MTBT và ứng dụng trong dạy và học
toán, chúng tôi chọn "Sử dụng máy tính bỏ túi phát triển tư duy thuật toán trong
giải quyết vấn đề" làm đề tài nghiên cứu của luận văn này.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nhằm tìm hiểu vai trò của MTBT trong môi trường học toán của học sinh
THPT. Từ đó, khảo sát khả năng sử dụng MTBT để khám phá các tri thức toán học,
hình thành và phát triển TDTT trong GQVĐ.
3. Câu hỏi nghiên cứu
1. Vai trò của MTBT trong môi trường học toán của HS THPT được thể
hiện như thế nào?
2. Khả năng sử dụng MTBT giúp HS khám phá tri thức toán như thế nào

- Thứ ba: Xác định được một số định hướng sư phạm trong quá trình dạy
học, cùng với sự hỗ trợ MTBT hình thành và phát triển TDTT cho HS
trong qúa trình GQVĐ.
6. Cấu trúc luận văn
Chương 1. Mở đầu;
Chương 2. Tổng quan các kiến thức liên quan;
Chương 3. Sử dụng máy tính bỏ túi thiết lập quy trình và phát triển tư duy
thuật toán trong giải quyết vấn đề;
Chương 4. Kết quả nghiên cứu và lý giải sư phạm;
Tóm tắt chương 1: Chúng tôi vừa trình bày mục đích nghiên cứu và ý nghĩa của đề
tài: Sử dụng máy tính bỏ túi phát triển tư duy thuật toán trong giải quyết vấn đề.
Đồng thời chúng tôi cũng phát biểu các câu hỏi nghiên cứu và định nghĩa một số
thuật ngữ chính của luận văn. Chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức làm cơ sở và
định hướng cho nghiên cứu này ở chương tiếp theo.
9
Chương 2
TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN
1. Sơ lược lịch sử hình thành và phát tiển máy tính bỏ túi Casio
Casio là một nhà sản xuất hàng đầu về thiết bị điện tử, và được xem là một nhà tiên
phong trong thị trường máy tính điện tử. Nó có các cơ sở sản xuất và tiếp thị trên
khắp thế giới. Phiên bản đầu tiên của công ty có nguồn gốc từ Tokyo-Nhật Bản chỉ
sau khi kết thúc chiến tranh thế giới thứ II, và chính thức được biết đến theo tên
Casio vào năm 1975. Năm 1946, một doanh nhân Nhật Bản là Kashido Tadao đã
mở một cửa hàng điện tử nhỏ tại Tokyo với mục đích là bộ phận sản xuất kính hiển
vi. Như một cách mở rộng kinh doanh của mình, ông và anh trai mình phát minh ra
một loại máy tính cơ khí mà đã trở thành tiền thân của máy tính điện tử hiện nay.
Mười một năm sau khi mở cửa hàng đầu tiên của mình, Tadao bắt đầu công ty máy
tính Casio để xây dựng máy tính chuyển tiếp hoàn toàn bằng điện. Công ty bắt đầu
mở rộng nhanh chóng và mở các văn phòng trên thế giới, và cuối cùng bước vào thị
trường Hoa Kỳ năm 1967. Cuối năm đó, họ cho ra mắt máy tính điện tử để bàn

1. Máy tính Casio đầu tiên 1957 (Hình 2.2)
Hình 2.2
2. Mẫu máy tính bỏ túi Casio (Hình 2.3) dành kỉ niệm 55 năm thành lập (2012)
Hình 2.3
11
Ở Việt Nam, MTBT được biết đến rất sớm từ những năm 1980, nhưng do điều kiện
kinh tế khó khăn nên rất ít người có MTBT. Theo Văn Như Cương (2000, [1]): “Việc
sử dụng MTBT để giải quyết phép tính sai số, các phương trình và bất phương trình
có hệ số thập phân, là rất phổ biến ở các nước, tuy nhiên ở nước ta không phải học
sinh nào cũng có khả năng mua máy nên chỉ trông chờ vào các môn như Vật lý để
học sinh có thể thực hành”. Trải qua nhiều thay đổi của dòng MTBT, có thể liệt kê ra
một số MTBT được HS, GV dùng nhiều nhất đó là các máy tính của hãng Casio:
95; 220; 500 ; 500fx fx fx A fx MS− − − −
;
570 ; 500 ; 570 ;fx MS fx ES fx ES− − −
500 Plus;fx VN−

570 Plusfx ES−
. Bên cạnh đó, Vinacal đã cho ra đời hai dòng
MTBT phục vụ học tập cho HS có tính năng tương tự với hãng Casio đó là
500 ; 570Vn MS Vn MS− −
và tiếp đó tung ra một sản phẩm
570−Vn MS NEW
bao
gồm cả hai tính năng của
500 ; 570− −Vn MS Vn MS
. Tính năng của máy tính bỏ túi
500fx −
(bao gồm cả MS và ES) được sử dụng cho HS Trung học cơ sở và
570fx −

fx
−
570 MS,
fx
−
570ES,
fx
−
570ES Plus;
Vinacal: Vn-500MS, Vn-570 MS, Vn-570MS New;
Vietnam CaCulator: VN-500RS, VN-500 MS, VN-570 RS, VN-570ES;
Sharp: EL-124A, EL-250S, EL-506W, EL-509WM;
Canon: FC 45S, LS153TS, F720;
Và các máy có tính năng tương đương.
12
Sau đây là ba loại máy tính bỏ túi (Hình 2.4) thông dụng nhất hiện nay tại Việt Nam
mà HS, GV dùng:

Hình 2.4
Trong luận văn này, các thao tác chúng tôi đều tiến hành thực hiện trên 3 dòng máy
tính phổ biến trên. Mỗi máy có một tính năng riêng biệt mà máy kia không có. Tùy
thuộc vào nội dung của bài toán mà chúng tôi sẽ lựa chọn nên dùng MTBT nào là
phù hợp (dễ dùng, dễ lập trình). Và trong luận văn này, sẽ không trình bày lại cách
sử dụng MTBT mà ngầm hiểu rằng người tham gia nghiên cứu đã biết những kĩ
năng cơ bản tối thiểu để sử dụng MTBT. Khi nói dùng MTBT mà không giải thích
gì thêm thì ta ngầm hiểu là thao tác trên cả hai dòng máy ES và MS.
2. Nền tảng lý thuyết
2.1. Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học
Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt động giao lưu
của HS nhằm thực hiện những mục đích dạy học. Còn học tập là một quá trình xử lý

khăn, những sự mất cân bằng.
Một tình huống thường liên hệ với những quy trình hành động. Một yếu tố của tình
huống mà sự thay đổi giá trị của nó có thể gây ra sự thay đổi quy trình GQVĐ của
học sinh. Do đó trong quá trình dạy học ta cần soạn thảo ra tình huống tương ứng
với tri thức cần dạy (tình huống cho tri thức đó một nghĩa đúng). Sau đó ủy thác
tình huống này cho học sinh. Học sinh tiến hành hoạt động học tập diễn ra nhờ sự
tương tác với môi trường.
Theo lý thuyết kiến tạo, học tập là hoạt động thích ứng của người học. Do đó dạy
học phải là dạy hoạt động, tổ chức các tình huống học tập đòi hỏi sự thích ứng của
HS, qua đó HS kiến tạo được kiến thức, đồng thời phát triển được trí tuệ và nhân
cách của mình. Như vậy, nếu phân tích rõ quan điểm dạy học theo lý thuyết tình
huống và lý thuyết kiến tạo sẽ góp phần nâng cao hiệu quả phương pháp dạy học
phát triển tư duy thuật toán cho HS.
14
2.3. Vấn đề và giải quyết vấn đề
a. Vấn đề
Vấn đề là một tình huống đặt ra cho cá nhân hoặc một nhóm để giải quyết, mà khi
đối mặt với tình huống này họ không thấy được ngay các phương pháp hoặc con
đường để thu được lời giải. Cốt lõi của định nghĩa này là cụm từ “không thấy được
ngay các phương pháp hoặc con đường để thu được lời giải”. Khi học sinh theo
đuổi các lớp toán của mình, những gì là bài toán ở giai đoạn sớm hơn sẽ trở thành
các bài tập và rồi quy về chỉ là những câu hỏi. Chúng ta phân biệt ba thuật ngữ
thường dùng này như sau:
a) câu hỏi: một tình huống mà ta có thể giải bằng cách tái hiện lại kiến thức
hoặc trí nhớ.
b) bài tập: một tình huống liên quan đến luyện tập và thực hành để củng cố
những kĩ năng và thuật toán đã được học trước đó.
c) bài toán: là một tình huống đòi hỏi tư duy và sự tổng hợp các kiến thức
đã được học trước đó để giải.
Ngoài ra, bất kể lý do nào, bài toán phải được chấp nhận bởi chính người học sinh.

mình tận dụng được các bài tập này để giúp HS phát triển những kĩ năng GQVĐ.
HS phải hiểu khi học toán, tích cực xây dựng kiến thức mới từ kinh nghiệm và kiến
thức toán đã có của chính mình. Khi HS hiểu toán, các em sẽ có khả năng sử dụng
các kiến thức của mình một cách linh hoạt và theo những cách có hiệu quả.
Một vấn đề được xem như là một “bài toán” đối với một người nào đó, nếu khi đối
mặt với nó, người đó có mong muốn cần phải tìm một lời giải và không có một qui
trình sẵn khả dĩ dùng được để tìm ra lời giải. GQVĐ là một phần chính của mọi quá
trình học toán. Các chương trình giáo dục toán thường tạo điều kiện cho HS:
- Xây dựng kiến thức toán thông qua GQVĐ;
- Giải quyết các vấn đề nảy sinh từ trong toán học và những hoàn cảnh khác;
- Áp dụng và mô phỏng nhiều phương pháp giải toán thích hợp để giải quyết
các vấn đề;
- Theo dõi và phản ảnh về quá trình GQVĐ toán.
Điều đó nói lên rằng không nên xem giải quyết vấn đề là một bộ phận độc lập với
chương trình toán mà nên gắn kết nó với mọi nội dung toán học.
b. Giải quyết vấn đề
Theo Stephen Krulik và Jesse A. Rudnick (1980, [25])
Giải quyết vấn đề chỉ quá trình mà một cá nhân sử dụng kiến thức, kĩ năng và hiểu
biết đã học được trước đó để đáp ứng đòi hỏi của những tình huống không quen
thuộc đang gặp phải.
16
Những hướng dẫn tìm tòi mà chúng ta dùng trong GQVĐ khác một cách đáng kể
với những thuật toán chúng ta dạy trong lớp học toán của chúng ta. Một thuật toán
luôn bảo đảm thành công nếu được áp dụng đúng đắn và nếu thuật toán đúng được
lựa chọn. Những hướng dẫn được trình bày trong sơ đồ sau chỉ một tiếp cận 5-bước
đến giải quyết vấn đề mà chúng ta thấy là cần thiết phải phát triển và nhấn mạnh
cho HS:
• Đọc bài toán;
• Khám phá;
• Chọn phương pháp;

Output: Ước chung lớn nhất của
M
và
N
.
Ví dụ 2. Bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc 2:
2
0, 0ax bx c a+ + = ≠
.
Input: Các số thực
, , ( 0)a b c a ≠
.
Output: Tất cả các số thực
x
thỏa mãn:
2
0, 0ax bx c a+ + = ≠
.
Ở đây Output có thể là một hoặc hai số thực hoặc câu trả lời không có số thực nào
như vậy.
Qua các ví dụ trên, ta thấy các bài toán được cấu tạo bởi hai thành phần cơ bản:
Input: Các thông tin đã có.
Output: Các thông tin cần tìm từ Input.
b. Khái niệm thuật toán
Việc cho một bài toán là mô tả rõ Input cho trước và Output cần tìm. Vấn đề là làm
thế nào để tìm ra Output.
Việc chỉ ra tường minh một cách tìm Output của bài toán được gọi là một thuật toán
giải bài toán đó. Có nhiều định nghĩa khác nhau về thuật toán. Dựa vào sự phân tích
trên ta có thể định nghĩa thuật toán như sau:
Thuật toán để giải một bài toán là một dãy hữu hạn các thao tác được sắp xếp theo

i
a >
thì Max nhận giá trị mới là
i
a
.
 Thuật toán: Giải bài toán này có thể được mô tả theo cách liệt kê như sau:
Bước 1
: Nhập
N
và dãy
1 2
, , ,
n
a a a
;
Bước 2
:

Max
i
a=
;
: 2i =
;
Bước 3
:

Nếu
i N>

i N
>
, khi đó kết quả của phép so sánh ở bước 3 xác định việc đưa ra giá trị
Max rồi kết thúc.
 Tính xác định: Thứ tự thực hiện các bước của thuật toán được mặc định là tuần
tự nên sau bước 1 là bước 2, sau bước 2 là bước 3. Kết quả các bước so sánh
trong bước 3 và bước 4 đều xác định duy nhất bước tiếp theo cần thực hiện.
 Tính đúng đắn: Vì thuật toán so sánh Max với từng số hạng của dãy số và thực
hiện
Max:
i
a=
nếu
Max
i
a >
nên sau khi so sánh hết
N
số hạng của dãy thì
Max là giá trị lớn nhất.
Ví dụ. Tính tổng các số nguyên dương lẻ trong khoảng từ 1 đến
.N
19
Xác định bài toán:
- Input:
N
là số nguyên dương lẻ.
- Output: Tổng các số nguyên dương lẻ từ 1 đến
.N
Thuật toán: Tính tổng các số nguyên dương lẻ từ 1 đến


Quay lại bước 4.
Bước 8
: Tổng cần tìm chính là
.S
Ta chú ý đến bước 4. Ở đây ta muốn kết thúc thuật toán khi giá trị của
i
vượt quá
.N
Thay vì viết "nếu
i
lớn hơn
N
" thì ta viết điều kiện "
1i N= +
" không phải lúc
nào cũng đạt được. Vì ban đầu
i
là một số lẻ, sau mỗi bước
i
lại được tăng thêm 2
đơn vị nên
i
luôn luôn là số lẻ. Nếu
N
là số chẵn thì
1N +
là số lẻ nên sau một số
bước nhất định,
i

20
Bước 4: Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải.
Quy trình này không phải là một thuật toán vì tính đơn trị bị vi phạm. Chẳng hạn
bước 1, bước 2, bước 3, bước 4 không được xác định vì người ta có thể hiểu và làm
theo nhiều cách khác nhau.
Từ tính đơn trị, ta cũng thấy được tính hình thức hóa của thuật toán. Bất kể cơ cấu
nào, chỉ cần biết thực hiện đúng trình tự quy định là sẽ đi đến kết quả. HS không
giỏi toán nhưng nếu làm đúng các thao tác và quy trình của một thuật toán vẫn có
thể có được kết quả đúng. Tuy nhiên, vấn đề đặt ra là làm thế nào để HS có thể từ
các bài toán đơn lẻ thì HS tự mình lập ra được các thuật toán để giải các bài tổng
quát hơn.
c2. Tính hiệu quả
Tính hiệu quả của thuật toán được đánh giá dựa trên một số tiêu chuẩn như: khối
lượng tính toán, không gian và thời gian khi thuật toán được thực hiện. Tính hiệu
quả của thuật toán là một yếu tố quyết định để đánh giá, chọn lựa cách giải quyết
vấn đề hay các bài toán. Có rất nhiều phương pháp để đánh giá tính hiệu quả của
thuật toán. Độ phức tạp của thuật toán là một tiêu chuẩn được dùng rộng rãi.
c3. Độ phức tạp của thuật toán
Trong thực tế có nhiều thuật toán, về mặt lý thuyết là kết thúc sau hữu hạn bước,
tuy nhiên thời gian "hữu hạn" đó vượt quá khả năng làm việc của chúng ta. Do đó
để đánh giá tính hiệu quả của một thuật toán, chúng ta phải chú ý đến độ phức tạp
của các thuật toán. Độ phức tạp của thuật toán có thể đo bằng không gian, tức là
dung lượng bộ nhớ của máy tính cần thiết để thực hiện thuật toán; và bằng thời
gian, tức là thời gian máy tính làm việc. Trong luận văn này, khi nói đến độ phức
tạp của thuật toán ta luôn hiểu là độ phức tạp không gian. Độ phức tạp của thuật
toán chính là cơ sở để phân loại bài toán giải được hay không giải được.
c4. Tính tổng quát
Thuật toán có tính tổng quát là thuật toán phải áp dụng được cho mọi trường hợp
của bài toán chứ không phải chỉ áp dụng được cho một số trường hợp riêng lẻ nào
đó. Chẳng hạn thuật toán giải phương trình bậc hai sau đây bằng Delta đảm bảo

1 2
,x x
.
3.2.2. Giá trị của hai nghiệm tính theo công thức:
a
b
x
2
1
∆−−
=
,
a
b
x
2
2
∆+−
=
3.2.3. Kết thúc thuật toán.
3.3. Nếu
0∆ =
.
3.3.1. Phương trình có nghiệm kép
0
x
3.3.2. Giá trị của nghiệm kép là
0
2
b