Một số kỹ thuật trong phương pháp biến đổi tương đương để giải hệ
phương trình được tác giả phân loại như sau:
1. Loại 1: Nhân chéo đưa về phương trình hệ quả (việc nhân chéo
thường đưa về phương trình đẳng cấp).
VD1 : Giải hệ phương trình:


2 ( − ) = 3 (1)
( + ) = 10 (2)

HD: Chúng ta nhận thấy vế trái của phương trình (1) và (2) đều chứa
các số hạng bậc 3 và vế phải đều chứa các số hạng bậc 1 vì vậy nếu
nhân chéo hai phương trình trên và rút gọn, ta sẽ được phương
trình đồng bậc 4 (đẳng cấp). Từ suy nghĩ này ta có cách giải quyết
hệ phương trình như sau: Nhân chéo hai phương trình trong hệ ta
được:
2 (

−

⟺3

). 10 = (

− 17

+ 20

+

). 3

⟺⎢
√15
5
=

=
⎢
3
3
⎢
⎢ = − √15 (loạivì , cùngdấu)
3
⎣

Trong mỗi trường hợp trên thay vào phương trình (1) hoặc phương
trình (2) giải phương trình rồi thử lại ta được nghiệm của hệ như sau:
(0; 0); (−2; −1); (2; 1);

15

15
√135
√135
; −
;−
.
2
2
2 √135
2√135


−4

+3

)=0

Giải tương tự VD1 rồi thử lại vào hệ ta được nghiệm của hệ như sau
(0; 1); (1; 0); (1; 1);

3

;

1

√25 √25

.

VD3 : Giải hệ phương trình:


−8 =
+ 2 (1)
− 3 = 3( + 1)(2)

HD: Ta biến đổi đưa hệ phương trình về dạng:
−



−4
+ 8 = 1(1)
2 + 8 = 2 + (2)

HD: Nhân chéo hai phương trình đưa về phương trình đồng bậc
2


−8

+ 12

=0

Giải phương trình rồi thử lại vào hệ.
ĐS: (0; 0); (1; 0); 1;

;

;

.

VD5 : Giải hệ phương trình:


+4 −
− 16 = 0(1)
= 5 + 4(2)



Trong VD này nếu để ý ở phương trình một sẽ thấy biểu thức

+1

xuất hiện nhiều vì vậy ta sẽ nghĩ tới việc rút được biểu thức này ở
phương trình (2). Với lối tư duy đó ta có thể giải quyết bài toán trên như
sau:
HD: Dễ thấy
Với

= 0 không phải là nghiệm của hệ phương trình.

≠ 0 từ (2) ⟹

+1=

thay vào (1) và nhân khai triển ta

được phương trình bậc 4 với biến . Dùng giản đồ Hoocne ta được
= 0( ạ )
= 1
= −2
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) là (1; −1), (−2; − ).
VD2: Giải hệ phương trình:
2 − 2√2 −
−
1
−

2(1 +

= 2(1 +

)(1 +

⟺ 1+
⟺

=1⇒
4

) =2
=2
+

=2

) thế vào pt(2) ta được


Từ đó suy ra , là nghiệm của phương trình

−2 +1 = 0

Đến đây ta có thể tìm ra nghiệm của hệ là (1;1)
Đôi khi việc rút thế trở lên rất cồng kềnh (VD4), dễ làm chúng ta nản chí
mà bỏ đi nghĩ cách khác. Khổ một nỗi cách khác cũng chưa nghĩ ra, thôi thì
đâm lao thì phải theo lao
VD4: Giải hệ phương trình:

Dưới đây là 1 số VD khác về phương pháp này:
VD5: Giải hệ phương trình:

HD: Từ pt(2) ⇒

2
2

+ 3 = 4 + 9 (1)
+ 9 = 7 + 6(2)

=

thế vào pt(1) ta được:

−
ĐS:

;−

1
( + 2)(4
2

; −2; −

;(

√


−

√

+
√

);

√

− 4 + 1) = 0
); (

−

√

);

√
√

)

VD7: Giải hệ phương trình:


( + + 1)( + + 1) = 3(1)
(1 − )(1 − ) = 6(2)


;(

= 1 − 3 thế vào pt(1)
√

;

√

).

VD9: Giải hệ phương trình:
+ 1 − 1(1)

+1+1 =7



+

+ 1 = 13 −

+ 12(2)

HD: Hệ phương trình đã cho tương đương với:

Dễ thấy

(7 − )


HD: Hệ phương trình đã cho tương đương với:
6


(

+

) = 2 + 9
− +6 +6
=

2


ĐS: −4;

.

3. Loại 3: Một phương trình trong hệ mà ta có thể phân tích đa thức
thành nhân tử. Đối với loại này ta thường nhẩm nghiệm đặc biệt.
Câu hỏi lớn nhất mà nhiều học sinh đặt ra với dạng toán này là làm
thế nào mà chúng ta có thể biết được nhân tử để có thể phân tích? Theo ý
kiến chủ quan của tác giả thì sẽ không có phương pháp nào chung để có thể
nhận ra được nhân tử mà việc nhận ra được nhân tử phải do:
- Kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử
- Có thể sử dụng máy tính Casio để dự đoán
Bản thân tác giả không khuyến khích cách sử dụng máy tính Casio để
dự đoán mà mong muốn học sinh dựa vào những phép biến đổi tương


VD2: Giải hệ phương trình:
+

( − 2008)
HD: Điều kiện

≥ 1,

+

=

−2

(1)

2 − √ − 1 = 2 − 2 (2)

≥0⟹

+

>0

Phương trình (1) đưa về ( + )( − 2 − 1) = 0 ⟺
Thay vào phương trình (2) ta được

=2⟹



thay vào PT(2) ta được

= ±1 từ đó suy ra y
= ±1 ⟹ = ±1

TH2:

=1⟺

=

thay vào PT(2) ta được

= ± √3 ⟹

=±

√

Vậy hệ phương trình có 4 cặp nghiệm
(1; 1), (−1; −1), −√3; −

√

, √3;

√

Thực tế trong 3 ví dụ trên chúng ta đều có thể dễ dàng phân tích một


Cho

+

= 2 và dự đoán rằng phương trình có nhân

− 2. Để chắc chắn hơn ta tiếp tục

=1⟹

−2 +1=0⟹

=1⟹

+

=2

Từ những phân tích trên ta có thể giải bài toán như sau:
Phương trình (1) phân tích được thành
( +

− 2)(1 −

+ −2 = 0
⟺
⟺
1−
= 0

≥− ⟹

≥| |

Làm tương tự ví dụ 3 ở phương trình (1) ta
Cho

=0⟹

=0

Cho

=0⟹

=0

Từ kết quả trên ta có thể dự đoán

= ,

=− ,

=

nhưng rõ ràng

để có được 1dự đoán tốt hơn thì chúng ta nên thử thêm vài trường hợp
nữa (Có thể kết hợp sử dụng máy Casio để tính toán nhanh hơn)
Cho

2
= 1(1)
+
=
− (2)

+

+

+
HD: Điều kiện +

> 0.

Tiếp tục sử dụng phương pháp phán đoán như ở hai ví dụ trên ta hoàn
toàn có thể xử lý tốt bài toán này như sau:
Từ phương trình (1) ⟺ ( + ) − 2( + )
⟺ ( + )[( + ) − 1] − 2
⟺( +
⟺

( +

−( + )=0

+2

− 1) = 0


=

+ =0
−

= 0 (loại)

Vậy hệ phương trình có nghiệm: (1; 0); (−2; 3)
VD7: Giải hệ phương trình:


(
4

+ 4) + ( + )(2
+

HD: Điều kiện

− 2) −

−

= −1(1)

= 3 + 2√2(2)
≤

√



= 2 phương trình vẫn cho


ta nghiệm của

là 1 + √2 hoặc 1 − √2. Vậy khả năng phương trình

luôn có nghiệm

= 1 + √2 ;

= 1 − √2. Đến đây sử dụng định lý đảo

về dấu của tam thức bậc 2 ta dự đoán phương trình có nhân tử là
+ 2 − 1. Vậy ta rút ra cách giải như sau:
Pt(1) ⟺

+4

⟺(
⟺

+2

+2
(

−


⎢ = 1 − √2(thỏamãn)
+2 −1=0
⟺⎢
+2 −1=0
⎢ = 1 + √2(thỏamãn)
⎣ = 1 − √2(thỏamãn)

Mỗi trường hợp trên thay vào phương trình (2) ta được nghiệm của hệ
0; 1 + √2 ; √2; 1 − √2 ; − √2; 1 − √2 ;
1 − √2; 10√2 − 9 ; 1 − √2; − 10√2 − 9
VD:
2

+ √2 = ( + ) +
√ −1+

=

+

+ 21

VD

Nếu trong một phương trình của hệ có căn thức thì chúng ta có thể sẽ
phải nghĩ tới phép nhân liên hợp. Chúng ta cùng xem vài ví dụ dưới đây:
VD8: Giải hệ phương trình:


−1+

−5

−

+5

√ +2+

1

+ 5)

⟺ −

+

√ +

−5

+

−3

+

−

+5


HD: Điều kiện

≥ 0,

≥− ,2 −

− 1 ≥ 0,

+ 2 ≥ 0.

Từ phương trình (1) ta có:
( 2 −

−1−

Dễ thấy cặp ( , ) =

+2 )+( 3 +1−√ ) = 0
và ( , ) = 0, −

,−

không phải là nghiệm

của phương trình. Ở mỗi nhóm thực hiện phép nhân liên hợp ta được:
−3 −1
2 −
⟺ ( − 3 − 1)

⟺

3 +1+√
= 3 +1

Thế vào pt(2):
Từ pt(4)

−1+

+

(25 + 28) = 0 →
→

3 +1+√ =

⟺( 2 −
Làm tương tự trên ta được

=0→
2 −

−1−√ )+(
=

=1
−1+

+ 2 − 3 + 1) = 0

+ 1 thế vào pt(2)


HD: Điều kiện:

+
1

−
> 0;

(

−2

+ 2) = 3 (1)

= 0(2)

≠ 0.

Phương trình (1) có thể phân tích được thành (
Suy ra

− 2)(1 +

= 2 rồi thay vào phương trình (2): 2 − 4 −
√

ĐS: √2;

; √2;

=2

+ √ (1)
= 2(2)

≥ 0, + 3 ≥ 0, 2 −

≥ 0.

= 0 không phải nghiệm của hệ.

Bình phương 2 vế của phương trình (1) rồi phân tích được thành:
( − )
Suy ra

=

+

+

2

(2 + 3 )

( + 3 )(2 − ) + 2

=0

rồi thay vào phương trình (2)


là một biểu thức nào đó, còn không thì việc tìm

ra nghiệm sẽ rất lẻ và sẽ rất khó khăn để đi tiếp.
VD2: Giải hệ phương trình:


+
+ + − 4 = 0(1)
− +2 +
− 5 + + 2 = 0(2)

HD: Coi PT (2) là phương trình bậc 2 với biến

với

là tham số

Phương trình (2) có ∆ = 9( + 1)
Giải hệ được nghiệm (−2; 1),

;

Đối với những bài toán cần sự tinh tế hơn thì chúng ta thậm chí có thể
coi một biểu thức là biến, dưới đây là VD như vậy:
VD3: Giải hệ phương trình:


2 − √4 + 3 − 3 = 4 (1)
(27 + 63 + 43 + 7)( + 1) = 16 + 24 + 8(2)


+ 2 + 1(1)

− 1 = 0(2)

HD: Coi PT (1) là phương trình bậc 2 với biến √

+ 1 với

là tham số

Từ đó giải hệ ta được nghiệm (0; 1)
VD5: Giải hệ phương trình:


+
−

+
+4

=2
+ 7(1)
+
+ 11( − ) = 28(2)

HD: Hệ phương trình đã cho tương đương với:


+

5. Loại 5: Phương pháp cộng đại số
5.1. Thông thường phép cộng đại số mà chúng ta hay gặp là cộng
hoặc trừ tương ứng vế với vế của hai phương trình trong hệ rồi
phân tích thành hằng đẳng thức hoặc phân tích thành tích.
VD1: Giải hệ phương trình:
1
1
⎧ −
= 2( −
2

⎨1+ 1 = ( +3
⎩
2
HD: ĐK:

≠ 0,
⎧

)(1)
)(3

+

)(2)

≠ 0. Lấy pt (1) ± pt(2) ta được:
2

=2

1=5

+
+

+ 10
+ 10



2+1=( + )
↔
2−1 =( − )
ĐS :

√

;

√

VD2: Giải hệ phương trình:
5
⎧ (3 −
) 2 = 4(1)
+ 42

5
⎨ 3+
√ = 2(2)

⎧
+
= 3
⎪√

5
⎨ 1
√2
−
=

⎪
+ 42
⎩√
Lấy 2 phương trình và nhân vế với vế
1

ĐS :

√

;

−

2

=

15


(

− 1) = 0


ĐS : (0; 1); (0; −1); (1; 1); (−1; −1);

√

;−

√

; −

√

;

√

VD4: Giải hệ phương trình:


2

−
−2



> 0,

> 0. Hệ phương trình đã cho tương đương với:

12
2
⎧1−
=
(3)
⎪
+3
√

⎨ 1 + 12 = 6 (4)
⎪
+3
⎩
Lấy pt (3) ± pt(4) ta được:
2
6
⎧
+
= 2(1)
⎪√

⎨ − 2 + 6 = 24 (2)
⎪
+3
⎩ √

biến)
 ( − ) ( ; )=


(

+

(dấu hiệu: nhẩm được nghiệm

) + (

+

)+

=

= )

(dấu hiệu:bậc cao nhất là 2, có

chứa tích xy)
 …
Thường thì chúng ta sẽ để ý tới hằng đẳng thức để biết được cần
nhân

vào phương trình nào và

là bao nhiêu. Điều này được tác giả

Đối với học sinh giỏi thì việc nhận ra phải nhân 6 vào phương trình
(2) để ghép hằng đẳng thức bậc 3 là khá dễ dàng. Nếu chưa thể nhìn ra thì
chúng ta hoàn toàn có thể suy luận theo cách sau:
Giả sử

là số ta cần nhân vào phương trình (2), khi đó ta có:


8

−
= 63
+2
+2 −
= 9

Sau đó cộng tương ứng hai vế của hai phương trình trong hệ, ta được:
18


8
⟺8

+2

−

+2

−

Dưới đây là một số ví dụ áp dụng tương tự
VD2:

Giải hệ phương trình:


+
= 56(1)
+ 2 = 2 + 8 (2)

HD:
Lấy pt(1)-6.pt(2) ⇒ ( − 2) = (4 − ) , ĐS
VD3:

;

,( ;

)

Giải hệ phương trình:


+
= 91(1)
4 + 3 = 16 + 9 (2)

HD:
Lấy pt(1)-3.pt(2) ⇒ ( − 4) = (3 − ) , ĐS (3; 4), (4; 3)
VD4:

+6

= 5(1)
= 7(2)

HD: Lấy 4.pt(1) + pt(2) ta được: (2 + ) = 27
√

ĐS : (1; 1);

;

√

;

√

;

√

.

Trong các trường hợp khó hơn ta sẽ nhân

vào phương trình có bậc

thấp hơn sau đó sử dụng thêm kỹ thuật đồng nhất hệ số để có thể đưa
phương trình sau khi cộng đại số về phương trình mà ta mong muốn.


+ 26

= 0(3)

Mặt khác ta có thể nhẩm được một nghiệm của hệ là ( ; ) = (1; −5) từ
đó ta sẽ đi tìm các số , , , sao cho phương trình (3) có thể phân tích
được thành:

⟺a

+

( + 5)(

+

+ 280 + 5

+( +5 )

+

+

+ 56) = 0

+

+5

= −1; = −5

Ta dễ dàng giải được nghiệm của hệ: (−1; −5); (1; −5)
VD8:

Giải hệ phương trình: (tương tự VD7)
+3
−8



= −392(1)
+
= 16 − 34 (2)

HD:
Lấy pt(1) + 6.pt(2) ⇒ ( + 2)[2( + 1) + 6( − 4) ] = 0,
ĐS (−2; 8), (−2; −8)
VD9:

Giải hệ phương trình:


+
= 5(1)
4 + 15 − 57 = −3 − 5 (2)

HD: Lấy pt(1)+ .pt(2)
(1 + 4 )




+ 2 + 2 + 3 = 0(1)
+
+ 3 + 1 = 0(2)

HD: Lấy pt(1)+ .pt(2)
+ ( + 2)

+ ( + 2)

Đến đây ta mong muốn tìm được
+ ( + 2)
Đồng nhất hệ số ta được

+ 3( +

)+

=0

sao cho:

+ ( + 2)
= 2.

Như vậy: ( + 2 ) + 3( + 2 ) + 2 = 0
21

= ( +

 Với mỗi hệ phương trình không mẫu mực thường có khá nhiều cách
giải khác nhau, do đó khi giảng dạy giáo viên cần phát huy tính sáng
tạo của học sinh. Giáo viên nên hướng dẫn các em hướng đến những
cách giải linh hoạt tùy vào đặc tính riêng của từng hệ. Luôn chủ động
giúp đỡ nếu học sinh có những phương án mà chính các em nghĩ ra.
 Nếu mức độ tư duy của học sinh còn hạn chế thì khi giảng dạy nội dung
này giáo viên cần hết sức bình tĩnh, từng bước dẫn các em phân tích
đặc điểm riêng của từng hệ phương trình
3. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm

22


Với sáng kiến kinh nghiệm này hy vọng góp thêm một tài liệu cho quý
Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp ; giúp các em học sinh có thêm những kinh
nghiệm cho loại toán này, từ đó tự tin hơn khi gặp những dạng bài trên.

4. Đề xuất kiến nghị và khả năng áp dụng
Sáng kiến kinh nghiệm này có thể triển khai như một chuyên đề để bồi
dưỡng học sinh giỏi ; cũng như dùng để giảng dạy cho các em học sinh ôn tập
thi vào cấp 3,học sinh lớp 10 và học sinh ôn thi kì thi THPT Quốc gia nhằm
giúp các em học sinh có thể vượt qua trở ngại tâm lí từ trước tới nay cho loại
bài toán này.
Tác giả mong muốn sáng kiến kinh nghiệm này được công nhận và có
thể được sử dụng rộng rãi trên địa bàn tỉnh Hưng Yên
5. Lời cam đoan của tác giả
Đây là sáng kiến kinh nghiệm của tôi trực tiếp thực hiện, không sao
chép nội dung của người khác.

Họ tên, chữ ký của tác giả