Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
A. Nguyên tắc chung
Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau:

Xác định ẩn phụ t .

Từ giả thiết, tìm miền giá trị của t .

Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một
hàm biến t trên miền giá trị của t .

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho x , y  0 thỏa mãn x  y  4 . Tìm GTLN, GTNN của S   x3  1 y 3  1 .
Giải. Đặt t  xy , suy ra

 x  y
0t 

2

4

 4 . Ta có

3
2
S   xy    x  y   x  y   3xy   1  t 3  4 42  3t   1  t 3  12t  63 .




2

t 2   x  y   x 2  y 2  2 xy  x 2  y 2  2  t  2 .
2

Suy ra t   2; 2 . Lại có

xy 

 x  y

2

  x2  y 2 
2

1
1
 t 2 1  S  f t    t 2  t  1.
2
2

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1


Ta có f '  t   t  1  0 với mọi t 




2 .
2
max S  f 1  , đạt được   2

hoặc 
 
2
2
x  y  2
 y  1 3
 y  1 3


2
2
x
y
Ví dụ 3. Cho x , y  0 thỏa mãn x 2  y 2  8 . Tìm GTLN, GTNN của S 
.

y 1 x 1

Giải. Đặt t  x  y , ta có

 x  y

2

 x  y


 2 2
.
S 

2
t 8
t  2t  6
x  y  xy  1
 y  1 x  1
t
1
2

Xét hàm f  t  

f ' t 

t 8
với 2 2  t  4 . Ta có
t  2t  6

t


2

2

 2t  6    t  8 2t  2 

3
+) S  2  min f  t  
t 2 2;4

 x2  y 2  8
4
4
 x  y  2 . Vậy min S  , đạt
, dấu bằng xảy ra  
3
3
x  y  4

được  x  y  2 .

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2


 x 2  y 2  8
 x  0
 x  2 2
+) S  2  max f  t   4 2 , dấu bằng xảy ra  
hoặc 
.
 
t 2 2;4
 y  2 2
 x  y  2 2

2  t  3
3  t 

4
Ta có

x3  y 3  x 2  y 2
1

S 

 x  1 y  1 x  y  3

 x  y

3

 3xy  x  y    x  y   2 xy
1

xy   x  y   1
x y3
2

t 3  33  t  t  t 2  2 3  t 
1
t 3 2 7t
1
3


S  f t   f  2 
 min S 



4
, Đạt được  x  y  1 .
5

S  f  t   f  3 

 max S 

 x  y  xy  3
4
. Dấu “  ” xảy ra  
 x  y 1
5
x  y  2

 x  y  xy  3
x  0
x  3
35
 
. Dấu “  ” xảy ra  
hoặc 
.
6
x  y  3


2

3 x  y 
. Do đó, nếu đặt

4
2

 2 3 2 3
3 2
t  1 , hay t   
;
.
4
3
3



Ta có xy   x  y   1  t 2  1 , suy ra
2

S   x  y   3xy  t 2  3  t 2  1  2t 2  3 .
2

 2 3 2 3
;
Xét hàm f  t   2t 2  3 với t   
 . Ta có f '  t   4t , f '  t  có nghiệm duy nhất

2 3

2 3

2 3
x y 

x

y


x  y 

3   x; y    1 ; 1  .
3
 
 
3



 3 3
 x  y 2  xy  1
 x 2  xy  y 2  1
 xy  1



3

Xét y  0 . Khi đó S  1 .

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


Xét y  0 . Chia cả tử và mẫu của S cho y 2 và đặt t 



S

x
, ta được
y

t 2  t 1
2t
.
 1 2
2
t  t 1
t  t 1

2  t 2  1
2t
Xét hàm f  t   1  2
, ta có f '  t  
.

t 
1 1
 1  2
t t


+

3
f(t)



  1.



1

1

1
3

Suy ra:
1
+) min S  , đạt được khi và chỉ khi
3
x
 y 1


 y 4  x2 y 2  

3
2
 a  b  với a  x2 , b  y 2 ta được
4

2
2
3 2
9
x  y 2   A   x2  y 2   2  x2  y 2   1 .

4
4

Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức 4xy   x  y  , ta có
2

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5


 x  y   x  y
3

2


Xét hàm f  t   t 2  2t  1 , t  . Ta có f '  t   t  2  0 t 
 f  t  đồng biến trên
4
2
2
2
1
1

1 9
 2 ;    f  t   f  2   16 t  2 .

Như vậy S 

9
, dấu “  ” xảy ra khi và chỉ khi
16
x  y

1 1
 1 1
 2
1   x; y    ;  hoặc  x; y     ;   .
2
2 2
 2 2
 x  y  2

9
1 1

3 2
2t 2  1
t  1  t  
;
xy

,
.

2
2
3
3


Biến đổi

P  x5  y 5   x  y 

5

  x3  y3  x 2  y 2   x 2 y 2  x  y    x  y 

5

3
2
5
  x  y   3xy  x  y   x  y   2 xy   x 2 y 2  x  y    x  y 


 6 6
5 3
5 2
2t  t  , với t   
;

 . Ta có f '  t     6t  1 có hai nghiệm là
4
4
 3 3 

6  6 6
 
;

6  3 3 .



 6 5 6
 6
6 5 6
6
5 6
5 6
Ta có f  
, f  
, f 
, f 
.

3
Ví dụ 8. Cho x , y , z  0 thỏa mãn x  y  z  . Tìm GTNN của biểu thức
2
1
1
1
S  x2  y 2  z 2  2  2  2 .
x y y z z x
Vậy min P  

Giải. Đặt t  3 xyz . Ta có t  0 và

3
1
 x  y  z  3 3 xyz  t  .
2
2

 1
Suy ra t   0;  .
 2
Lại có

x 2  y 2  z 2  3 3 x 2 y 2 z 2  3t 2 ,

1
1
1
1
1

với
.
Ta
có



3
4
4

t
t
t
 2
 2
 1
 1  99
nghịch biến trên  0;  . Vậy min S  3 f    , đạt được khi và chỉ khi
 2
2 4
Xét hàm f  t   t 2 

x  y  z
1

3
1  x yz .
2
 xyz  2

Từ a  b  c  a  b  c suy ra

1
1
1
x  2  y2  2  z2  2 
x
y
z
2

1 1 1
x  y  z     
x y z

2

2

Đến đây ta có hai cách đi tiếp:
Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
x  y  z  3 3 xyz ,

1 1 1
1
   33
.
x y z
xyz


với t   0;  . Ta có
t
 9

f ' t   9 

9
1
 0 t   0;   f  t  nghịch biến trên
2
t
 9

1
 f  t   f    82  VT 1 
9

 1
 0;  .
 9

f (t )  82 (ĐPCM).

2

2

1 1 1
1 1 1
2


x
y
.

y 1 x 1
Bài 3. Cho x , y  0 thỏa mãn x  y  1 . Tìm GTLN, GTNN của
S

S   x 2  1 y 2  1  x 2  y 2  1 .
Bài 4. Cho x , y  0 thỏa mãn x  y  xy  3 . Tìm GTLN, GTNN của

S

x
y
6
.


x  2 y  2 x  y 1

Bài 5. Cho x , y thỏa mãn x2  y 2  1  xy . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
S  x4  y 4  x 2 y 2 .

Bài 6. Cho x , y thỏa mãn x 2  y 2  1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
S  1 x  1 y .

Bài 7. [ĐHD12] Cho x , y thỏa mãn  x  4    y  4   2 xy  32 . Tìm GTNN của
2

. Tìm GTNN của biểu thức
2

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

9


1 1 1
  .
x y z
Bài 13. [ĐHB10] Cho a , b , c  0 thỏa mãn a  b  c  1. Tìm GTNN của biểu thức
S  x yz

M  3  a 2b2  b2c 2  c 2 a 2   3  ab  bc  ca   2 a 2  b2  a 2 .
Bài 14. Cho x , y , z  0 thỏa mãn x  y  z 

3
. Tìm GTNN của biểu thức
2

x
y
x
x5 y 5 z 5
P 2  2  2    .
y z z x x y y
z
x