Sở GD&ĐT Nghệ An.
Trờng THPT Diẽn Châu 2.
Bài kiểm tra bồi d ỡng th ờng xuyên chu kì 2004- 2007 .
Họ và tên giáo viên:
Ngô trí thụ
Câu 1. Cho cặp số x, y thoả mãn:
x y+ =3 4 12
, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x y= +
2 2
. Đồng chí
hãy hớng dẫn học sinh giải bài toán trên bằng 3 phơng pháp khác nhau. (4 điểm).
Bài giải:
I. Giải bài toán trên bằng ba phơng pháp khác nhau.
Phơng pháp 1. ( Phơng pháp chuyển về một biến số).
Từ giả thiết
x y+ =3 4 12
ta có:
, .y x x R= - ẻ
3
3
4
Thay
y x= -
3
3
4
, vào biểu thức M ta đợc:
( )M x x= + -
2 2
3
3

48
25
.
Vậy
min
, và M khi x y= = =
144 36 48
25 25 25
.
Phơng pháp 2.( sử dụng bất đẳng thức).
áp dụng bất đảng thức Bunhiacôpxki cho 4 số 3, 4 và x, y ta có:
( ) ( )( )x y x y+ Ê + +
2 2 2 2 2
3 4 3 4

( ) ,( , ).x y x y x y RÊ + + " ẻ
2 2 2 2
144
144 25
25
Hay
, , .M x y R " ẻ
144
25
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
x
x y
y x
y
ỡ

, khi x= và y= .
25 25
M =
144
25
Phơng pháp 3. (Phơng pháp hình học).
Cách 1. Trong mặt phẳng toạ độ (oxy), phơng trình:
x y+ =3 4 12
là phơng trình của đờng thẳng (d).
Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M x y= +
2 2
, với
,x y
thoả mãn
x y+ =3 4 12
tơng đ-
ơng với bài toán: Tìm A(
,x y
) trên đờng thẳng (d) sao
cho đoạn OA có độ dài nhỏ nhất.
OA nhỏ nhất

A

H, H là hình chiếu vuông góc của
O lên (d).
Tìm H: H =
( ) ( )d dầ
1

ù
ù
ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ù
ợ
36
25
48
25
.
1
3
4
O
H()
A(x,y)
x
y
(d)
Khi đó OA = OH = d(O, (d)) =
. .+ -
=
+
2 2

x y M
ỡ
+ =
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ợ
2 2
0
3 4 12
1
có nghiệm.
Hệ (1) có nghiệm

đờng thẳng (d) và đờng tròn (C)
có điểm chung.
Hệ (1) có nghiệm

d(O, (d))
Ê
M
0

M
0

12

+, Từ giả thiết
x y+ =3 4 12
hãy biểu
thị
theo (hoặc theo )x y y x
Thay vào biu thức M
ri bin đổi.
H3: Em có nhận xét gì
về giá trị của biểu thức
M? Từ đó hãy tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu
thức M?
Gv: Lu ý cho Hs biết có
thể xem M là một tam
thức bậc hai ẩn x và
giải theo kiến thức tam
Hs: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M x y= +
2 2
, với
,x y
thoả mãn điều
kiện
x y+ =3 4 12
.
Hs: Từ gi thit
x y+ =3 4 12
ta có
y x= -
3

y x= -
3
3
4
, vào biểu thức M ta
đợc:
( )M x x= + -
2 2
3
3
4

M x x x= + - +
2 2
9 9
9
2 16
Hay
( )M x x x= - + = - +
2 2
25 9 5 9 144
9
16 2 4 5 25
, do
( ) ,x x R- " ẻ
2
5 9
0
4 5


toán còn có cách giải
nào khác?
H5: Hãy phát biểu bất
đẳng thức
Bunhiacôpxki cho 4 số?
H6: Liệu có thể áp
dụng bất đẳng thức nói
trên để giải bài toán
hay không? Nếu đợc
hãy giải bài toán theo
cách đó?
H7:Hãy giải bài toán đã
cho?
H8: Trong mặt phẳng
tọa độ Oxy em hãy nêu
công thức tính khoảng
cách từ điểm A(x; y)
đến gốc tọa độ?
H9: Vậy bài toán đã
cho tơng đơng với bài
toán nào?
H10: Em hãy giải bài
toán đã cho bằng phơng
pháp hình học?
Hs: với 4 số thực a,b,c,d tùy ý ta có:
( ) ( )( )ac bd a b c d+ Ê + +
2 2 2 2 2
.
Dấu = khi và chỉ khi
ad bc- = 0

25
Hay
, , .M x y R " ẻ
144
25
Dấu bằng xảy
ra khi và chỉ khi:
x
x y
y x
y
ỡ
ù
ù
=
ù
ỡ
+ =
ù
ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
- =
ù
ợ
ù
=
ù

tơng đơng với bài toán:
Tìm A(
,x y
) trên đờng thẳng (d) sao cho
đoạn OA có độ dài nhỏ nhất.
OA nhỏ nhất

A

H, H là hình chiếu
vuông góc của O lên (d).
Tìm H: H =
( ) ( )d dầ
1
, trong đó (d
1
) là
đờng thẳng qua O(0; 0) và vuông góc
với (d).
Phơng trình đờng thẳng (d
1
) là:
x y- =4 3 0
.
Toạ độ H là nghiệm của hệ phơng trình:
x y
x y
ỡ
+ =
ù

.
Khi đó OA = OH = d(O, (d)) =
. .+ -
=
+
2 2
3 0 4 0 12
12
5
3 4
.
3
3
4
O
H()
A(x,y)
x
y
(d)
Vậy
min
,
48
khi và y= .
25
M OA
x
= =
=

Trợ giúp của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng
Gv: gọi học sinh đọc đề
bài tập 18/ 103 (sgk).
Ghi tóm tắt đề toán. Vẽ
hình.
Yêu cầu học sinh cùng vẽ
hình.
H1. Hãy chứng minh AH,
SK, BC đồng quy?
+, Gọi M là giao điểm của
AH với BC thì ta có điều
gì?
vẽ hình.
Hs:
( )BC mp SAM^
.Do đó
, ,
đồng quy tại M
BC SM K SM
AH SK BC
^ ị ẻ
ị
Hs:
(1)
(vì K là trực tâm ABC)
SC BK^
V
Bài giải:
4
S

ABCV có ba góc nhọn?
+, Hãy chứng minh cho
CosA, CosB, CosC là
những số dơng.
+, đặt OA= a, OB= b,
OC= c, tính CosA, CosB,
CosC theo a,b,c?
H2. Hãy chứng minh H là
trực tâm của
ABCV
?
+, Chứng minh rằng:
và AB CHBC AH^ ^
.
H3. CMR:
OH OA OB OC
= + +
2 2 2 2
1 1 1 1
( ) và
( )
( ).
BH SA gt
BH AC BH mpSAC
BH SC
^
^ ị ^
ị ^ 2
Hs:
( )

, vì K là trực tâm của
SBCV .
( SA mp(ABC)) và
( do H là trực tâm của
ABC) ( )
( ).
BH SA gt
BH AC
BH mpSAC
BH SC
^ ^
^
ị ^
ị ^ 2
V
Từ (1) và (2)
( )SC mp BHKị ^
.
c, Ta có:
( )BC mp SAM BC HK^ ị ^
(3).
( )SC mp BHK SC HK^ ị ^
(4).
Từ (3) và (4)
( )HK mp SBCị ^
.
Bài giải:
a, Đặt OA =a, OB= b, OC= c.
Ta có:
, ,AB a b AC c a

b, Ta có:
,OA OB OA OC^ ^
ị
( )OA mp OBC^
OA BCị ^ (1).
Mà
(2) (vì H là hình chiếu vuông góc
của O lên mp(ABC)
BC OH^
Từ (1) và (2)
( )
( )BC mp OAH BC AHị ^ ị ^
3
Tơng tự ta cũng có:
( )OC mp OAB^
( )
AB OCị ^
4
.
Mà
( )
AB OH^
5
. Từ (4) và (5)
( )
( )AB mp OHC AB CHị ^ ị ^
6
.
Từ (3) và (6)
ị