Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Các yếu tố hình học là một trong 5 mạch kiến thức quan trọng trong chương
trình toán ở Tiểu học. Việc dạy các yếu tố hình học nhằm trang bị cho học sinh
những kiến thức cơ bản và những kĩ năng cần thiết để giải quyết các bài toán trong
quá trình học cũng như vận dụng vào thực tiễn cuộc sống. Qua việc học các yếu tố
hình học các em sẽ được phát triển tư duy lô gic, bồi dưỡng và phát triển trí tuệ,
rèn luyện phương pháp suy luận và phương pháp giải quyết vấn đề một cách toàn
diện, chính xác góp phần bồi dưỡng những đức tích tốt cho trẻ như: cần cù, chịu
khó, ý thức vượt khó và khả năng suy luận.
Các yếu tố hình học ở lớp 5 được sắp xếp thành một chương riêng. Điều này
giúp học sinh có cách nhìn hệ thống, khái quát hơn về các yếu tố hình học ở Tiểu
học. Học tốt các yếu tố về hình học là nền tảng để học tốt các môn học khác.
Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy đặc điểm tâm sinh lí của học sinh tiểu
học còn nặng về trực quan, cụ thể. Vì vậy, với các bài toán hình học nói chung các
em thường chỉ làm tốt các bài toán áp dụng trực tiếp các công thức đã học với yêu
cầu tính toán khi cho các số liệu cụ thể (ví dụ tính diện tích, chu vi hình…biết
chiều dài, chiều rộng…là...cm, dm...). Đối với các bài toán có sử dụng cách biến
đổi công thức, so sánh, tính toán dựa trên các suy luận logic thì học sinh thường

1


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
không hiểu và không làm được. Đây là loại toán trừu tượng, khó đối với cả giáo
viên và học sinh. Trong khi đó, nhiều giáo viên chưa biết cách hướng dẫn, khai
thác hợp lý giúp học sinh dễ tiếp thu. Chính vì vậy, nhiệm vụ của giáo viên là phải
giúp học sinh có một số kĩ năng cần thiết từ vẽ hình chính xác, xác định các yếu tố
hình học, các mối liên hệ, quan hệ giữa các yếu tố đó. Từ đó dựa vào các mối liên

Trong quá trình tìm hiểu, nghiên cứu, đúc rút và vận dụng kinh nghiệm này,
tôi đã sử dụng các phương pháp như sau:
1. Phương pháp quan sát, thực nghiệm
2. Phương pháp tìm tòi, phát hiện
3.Phương pháp suy luận lô gic
4. Phương pháp so sánh, đối chiếu.
VI. ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI:
Một số giải pháp giúp giáo viên và học sinh ở trường Tiểu học dạy tốt, học tốt
về hình học góp phần nâng cao chất lượng dạy học, giáo dục trong các nhà trường.

3


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
PHẦN II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI.

1. Cơ sở lí luận:
Hình học là một trong những mạch kiến thức cấu thành chương trình số học
của bậc học tiểu học. Các yếu tố hình học ở lớp 5 tuy được sắp xếp thành một
chương, nhưng đó không phải là một “phân môn” vì các mạch kiến thức được sắp
xếp xen kẽ nhau, đan xen nhau tạo ra một sự kết hợp hữu cơ và hỗ trợ đắc lực lẫn
nhau trên nền tảng của các kiến thức Số học.
Các em được học các yếu tố hình học từ lớp 1, 2, 3, 4 nhưng đến lớp 5 các em
được học ở mức cao hơn, phát triển và hoàn thiện hơn so với các lớp dưới. Ở lớp 5
các yếu tố hình học có 35 tiết, chiếm 20% tổng thời lượng dạy học Toán 5. Học
xong các yếu tố hình học các em cần đạt được những yêu cầu cơ bản như sau:
Nhận biết được... hình thoi, hình tam giác, hình bình hành, hình thang, hình
hộp chữ nhật, hình lập phương và một số dạng của hình tam giác. Biết tính chu vi
hình tròn, diện tích hình tam giác, hình thoi, hình bình hành, hình thang, hình

một thách thức không nhỏ mà giáo viên, học sinh phải biết cách vượt qua.
Mặt khác, thời lượng dạy học các yếu tố hình học ở bậc tiểu học nói chung và
ở lớp 5 nói riêng còn ít. Nội dung chủ yếu là áp dụng các công thức tính chu vi,
diện tích các hình, qua đó rèn kỹ năng thực hành tính toán cho học sinh. Nội dung
kiến thức chưa có sự liên kết. Kỹ năng vẽ hình của học sinh chưa được quan tâm
đúng mức. Trên thực tế các bài toán bồi dưỡng học sinh năng khiếu thường tập
trung vào các dạng toán liên quan đến hình tam giác. Do đó, nó gây ra không ít khó
khăn cho các em. Chính điều này đặt ra cho người giáo viên trong quá trình dạy
học phải chú ý đến việc củng cố, liên hệ giữa các kiến thức cho các em, tạo hứng
thú và niềm tin cho các em với các nội dung về hình học. Từ ý nghĩa thực tế đó tôi
đã tìm tòi, suy nghĩ và thực nghiệm đề tài này nhằm hạn chế bớt những khó khăn
trên.
II. THỰC TRẠNG DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC Ở LỚP 5.
1. Thực trạng

5


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
Qua thực tiễn dạy học tôi nhận thấy khi giải các bài toán hình học học sinh
lớp 5 thường gặp một số khó khăn sau đây:
- Không biết cách vẽ hình đúng với giả thiết của bài toán, không biết cách vẽ
đúng, đủ các yếu tố hình học. Ví dụ: Cho tam giác có một góc tù, yêu cầu học sinh
vẽ 3 đường cao tương ứng với 3 đáy thì học sinh thường không vẽ được đủ 3
đường cao hoặc vẽ đủ nhưng vẽ sai 2 đường cao nằm ngoài tam giác đó.
- Chưa biết cách xác định hình trong một khối các hình (Hình A gồm có mấy
hình, đó là những hình nào)
- Chưa biết cách xác định chính xác, đầy đủ các yếu tố hình học (đỉnh, góc,
cạnh đáy, chiều cao, cạnh bên …) của các hình.
- Không xác định được các yếu tố (đỉnh, cạnh đáy, chiều cao...) chung hay


Tỉ lệ

HS

Số HS Tỉ lệ
sai

đúng
Vẽ đúng hình như ở bài giải

8

25%

24

75%

Biết chiều cao tam giác cũng là chiều cao HT

5

15,6%

27

84,4%

Tính được chiều cao tam giác (hình thang)


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
Kết quả khảo sát bài 2:
Số HS

Tỉ lệ

Số HS

Tỉ lệ

Tiến trình bài giải
đúng
Vẽ đúng hình như ở bài giải

sai

18

56,25%

14

43,75%

16

50%

16

BNC

Tính được S

có giải thích đúng
BNM

Tính được S
BNM

Tính được S

có giải thích đúng

Qua kết quả khảo sát, phân tích số liệu kết hợp theo dõi trong quá trình dạy
học cho thấy:
* Ưu điểm:
- Tất cả các học sinh tham gia khảo sát một cách nghiêm túc.
- Số lượng các em làm đúng bài tập 2 ở một số ý làm tốt.
* Tồn tại:
- Số lượng học sinh làm sai còn nhiều đặc biệt ở bài tập 1.
- Số lượng học sinh làm đúng cả 2 bài không có.
3. Nguyên nhân:
3.1. Đối với giáo viên:
+ Nắm kiến thức chưa được sâu nên truyền tải kiến thức đến các em còn hời
hợt.
8


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác

ứng với mỗi đáy. Ở đây giáo viên cần giúp học sinh ghi nhớ đặc điểm là đường cao
bao giờ cũng vuông góc với đáy tương ứng.
Khi giúp học sinh phân biết 3 dạng hình giáo viên cần tiến hành cụ thể và chi
tiết như sau:
1.1. Với tam giác có 3 góc nhọn.
Sau khi quan sát và tiếp thu kiến thức từ giáo viên về đặc điểm của loại hình
tam giác này, giáo viên cần nhấn mạnh giúp học sinh phân biệt loại hình tam giác
này với 2 dạng hình còn lại. Việc phân 3 dạng hình tam giác dựa vào góc của các
hình tam giác, do đó giáo viên cần chỉ ra cho học sinh biết tam giác nhọn có ba góc
nhỏ hơn góc vuông.
Tiếp theo giáo viên cho học sinh xác định được cao và đáy tương ứng. Bằng
cách nêu câu hỏi để học sinh xác định: AH là đường cao tương ứng với đáy BC
như hình vẽ trên bảng. Nếu lấy đáy là AC ta sẽ có đỉnh đối diện với đáy là đỉnh
nào và khi đó ta sẽ có đường cao nào? Tương tự nếu lấy đáy là AB thì học sinh sẽ
xác định đỉnh đối diện với đáy và sẽ xác định đường cao sẽ hạ từ đâu?
Học sinh sẽ suy nghĩ để tìm cách vẽ trong vở hoặc trên bảng lớp với các loại
hình đều có đáy BC, AC, AB như hình vẽ dưới đây:

10


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
A

A

H
B

C

B

H

B

B

H
C

C

H

A

C

Cuối cùng giáo viên hỏi: Ba đường cao của tam giác có 3 góc nhọn nằm trong
hay ngoài tam giác?
A

Hình tam giác ABC:
I

K

AH là đường cao ứng với đáy BC
BI là đường cao ứng với đáy AC

12


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
A

C

C
H
H

H
B

C

Đáy BC, đường cao AH

B
A
Đáy AB, đường cao CH

B
A
Đáy AC, đường cao BH

Để khắc sâu kiến thức cho học sinh, giáo viên nên đưa ra câu hỏi để nhận thấy sự
khác nhau giữa các đường cao trong tam giác tù bằng câu hỏi: Em có nhận xét gì về 3
đường cao trong tam giác có 1 góc tù, 2 góc nhọn? (Tam giác tù có 2 đường cao ngoài

bài tập 2 chỉ yêu cầu học sinh xác định đường cao trong tam giác thì giáo viên cho
học sinh quan sát và khẳng định thêm:
- Nếu xem BC là đáy thì AB là đường cao
- Nếu xem AB là đáy thì BC là đường cao
13


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
Sau khi học sinh nhận biết được đáy, chiều cao của loại tam giác này, giáo viên
lại cho học sinh xác định với các tam giác có vị trí đáy khác nhau. Đáp án cuối cùng
là:
C
B
C
A
K
A

B

A

C

B
Đáy AB, đường cao
Đáy BC, đường cao
Đáy AC, đường cao
BC
AB


C

H2
C

A

H3
C

A

B
14


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
Rút ra kiến thức cần nhớ:
* Nhận diện hình.
- Mỗi tam giác có 3 đỉnh, 3 góc, 3 cạnh và có 3 đường cao tương ứng với 3 cạnh
- Có thể phân loại như sau:
+ Tam giác có 3 góc nhọn (H1). Cả 3 đường cao đều nằm trong tam giác.
+ Tam giác có 2 góc nhọn, 1 góc vuông (H2). Có 2 đường cao trùng với 2
cạnh góc vuông của tam giác.
+ Tam giác có 2 góc nhọn, 1 góc tù (H3). Có 1 đường cao nằm trong tam
giác, 2 đường cao nằm ngoài tam giác.
* Công thức tính diện tích tam giác.
+ Công thức tính diện tích tam giác: S = a x h : 2 (đáy và chiều cao phải cùng
đơn vị đo)


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
Nhận xét: Như thế, ta đã thay việc đếm các đoạn thẳng bằng việc tính tổng
(số lượng) của 4 số tự nhiên liên tiếp, trong đó số nhỏ nhất là 1. Số lượng số tự
nhiên (trong tổng) kém số lượng số điểm đã cho là 1.
Từ ví dụ 1 đã hướng dẫn học sinh tôi cho học sinh bài tập xác định số hình
tam giác.
Ví dụ 2: Hãy đếm xem ở hình bên có bao nhiêu hình tam giác ?
A

B

AC

D

E

G

H

Nhận xét:
- Tất cả các hình tam giác đều có chung đỉnh A
- Có 6 điểm thẳng hàng với nhau là: A, B, C, D, E, G, H
- Một đoạn thẳng có được từ 6 điểm đều là đáy của hình tam giác. Vì vậy số
hình tam giác có ở hình chính bằng số đoạn thẳng đếm được.
Lập luận như ví dụ 1 ta có số hình tam giác là:
5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 (hình tam giác)
Từ việc hướng dẫn học sinh đếm số hình tam giác ở ví dụ 2 thì học sinh làm

C

16


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
* Hình (4) gồm 3 tam giác có một góc tù chung đỉnh A: ABD, ADC và ABC
có chung đường cao AH (nằm ngoài các tam giác đó).
A

B

A

K

D

C

H

D

B

Hình (3)

C



E

C

H M

K

N I

D

Hình (2)

Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy hầu hết các em còn lúng túng trong việc
đặt thước ê - kê để vẽ đường cao. Do đó, chúng ta cần mô tả ê - ke cho học sinh
biết rõ đâu là góc vuông, đâu là cạnh góc vuông của ê - kê. Khi vẽ đường cao trong
tam giác cần hướng dẫn học sinh đặt ê - ke vào hình vẽ sao cho một cạnh góc
vuông của ê - ke trùng với cạnh đáy của tam giác, cạnh góc vuông còn lại đi qua
đỉnh của tam giác. Bằng việc mô tả bằng lời nói kết hợp với sử dụng đồ dùng dạy
học giáo viên thực hiện cho học sinh quan sát sẽ giúp các em vẽ đúng đường cao
trong hình tam giác.

17


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
Để học sinh có kỹ năng tính, so sánh diện tích các hình tôi yêu cầu các em
làm các bài tập sau đây:

c) Những hình nào chung cạnh CM ?
M
B
A

D

C
Giải:
a) AD là chiều cao chung của các tam giác ACD, DMC, ADM, ABC, AMC,
MBC hình thang AMCD và BMDC.
b) Các tam giác AMD và CMD có chung cạnh DM
c) Các hình sau: MBC, MDC, MCO, AMCD có chung cạnh CM.
Bài 4. Cho tam giác ABC có diện tích 72 cm 2, M là điểm giữa của BC. Nối A
với M. Trên đoạn AM lấy các điểm N, D, E sao cho AN = ND = DE = EM. Nối
N,D,E với B và C.
a) Tìm các tam giác có diện tích bằng nhau có chung đỉnh A?
18


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
b) Tìm các tam giác có diện tích bằng nhau có chung đỉnh C?
c) Tính diện tích tam giác ABN.
Bài làm
a) Các tam giác có diện tích bằng nhau có chung đỉnh A gồm:
ABN = NBD = DBE = EBM = ECM = ECD = DCN = NCA (chung chiều
cao, đáy bằng nhau)
- ABN = NBE = DEM = ACD= NCE = ACD (chung chiều cao, đáy bằng
nhau)
- ABE = NBM = ACE = NCM ; ABM = ACM (chung chiều cao, đáy bằng

Hai tam giác SADC và SBDC có chung
B
A
đáy DC. Vì ABCD là hình thang nên
đường cao AH = BK.
Suy ra SADC = SBDC
D

H

K

C

Một số bài tập vận dụng.
Bài 1. Cho hình vẽ sau:
a. Nêu tên những tam giác có chung
chiều cao BG.
b. Nêu tên những tam giác có chung
chiều cao DH.
c. Nêu tên các tam giác có chung cạnh
đáy AC.

B

A
H
E
G



dài và chiều rộng (cạnh hình vuông, đáy và chiều cao hình bình hành..)
- Hai tam giác có chung chiều cao (hoặc chiều cao bằng nhau) thì độ dài hai
đáy tỉ lệ thuận với diện tích.
- Hai tam giác có chung đáy (hoặc đáy bằng nhau) thì độ dài hai chiều cao tỉ
lệ thuận với diện tích.
- Hai tam giác có cùng diện tích thì độ dài hai đáy tỉ lệ nghịch với chiều cao
của hai tam giác đó.
20


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
- Hai đường chéo của hình thang chia hình thang thành 3 cặp tam giác có
diện tích bằng nhau.
Bài tập rèn kỹ năng chia hình có thể như sau:
Trường hợp 1: Kẻ đoạn thẳng đi qua đỉnh tam giác chia hình tam giác
thành các phần theo tỉ số diện tích.
Bài 1. Cho tam giác ABC. Qua đỉnh A, em hãy kẻ các đoạn thẳng để chia tam
giác ABC ra thành 2 phần có diện tích bằng nhau.
Đây là trường hợp hai tam giác có chung một đỉnh A nên chung đường cao hạ
từ đỉnh A xuống đáy BC. Do đó ta lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD = DC. Nối
A với D ta được 2 phần có diện tích bằng nhau.
A

B

A

C


cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC, đáy AE của B
C
tam giác ABE gấp 2 lần đáy CE của tam giác BCE. Chia tam giác lớn ABE thành 2
phần bằng nhau bằng cách chia một cạnh bất kỳ thành hai phần bằng nhau, Nối

21


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
điểm chia đó với đỉnh đối diện. Ta có 3 tam giác ABO, AEO và BCE có diện tích
bằng nhau.
Từ bài toán 2 các em dễ dàng kẻ được các đoạn thẳng qua đỉnh tam giác chia
tam giác thành nhiều phần có diện tíc bằng nhau.
Chẳng hạn:
A

A

P

B

B

C

M

C


ABC.

Thì ta phải chia BC thành 3

2
BC. Ta có hình vẽ như sau:
3
A

B

D

C

Đối với bài toán kẻ đoạn thẳng đi qua một đỉnh của tam giác chia tam giác
thành các phần có diện tích bằng nhau hoặc theo tỉ lệ nào đó ta cần dựa vào tỉ
lệ diện tích để chia độ dài cạnh đối diện với đỉnh đó thành các phần theo tỉ lệ
diện tích đã cho.
Bài 4. Cho tam giác ABC (hình vẽ), điểm M trên BC, MB=MC, điểm P trên
AM, AP=PM. Viết tên các cặp tam giác có diện tích bằng nhau.

22


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
A

P
B


Ta có:

1
thành tích
2

1 2 3 4 6
= x = x = ......
2 3 4 6 8

- Dựa vào tỉ số đó ta lấy trên một cạnh của tam giác ta lấy một điểm có tỉ lệ tương
ứng với thừa số thứ nhất. Trên một cạnh kia của tam giác ta lấy một điểm có tỉ lệ
tương ứng với thừa số thứ hai.
VD: Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho: AD =
Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE =

3
AB
4

2
AC.
3

Nối D với E ta có: SADE = S DBCE
A

Nối C với D, ta có:
D


SADC =

Suy ra SADE = SDBCE.
Do vậy đoạn thẳng DE thoả mãn yêu cầu của bài.
A

E

D
B

C

Bài 2. Chia hình sau thành 2 phần có tỉ lệ diện tích là 1/2
Bài làm:
Tổng số phần bằng nhau cần chia là:
2 + 1 = 3 (phần)
Ta chia một cạnh bất kỳ của tam giác thành 3 phần
bằng nhau. Nối một điểm chia với đỉnh đối diện.
Ta có hai tam giác có tỉ lệ diện tích là

1
.
2

Chú ý: Ở đây điều cần làm rõ với học sinh là bài toán này ta vận dụng mệnh
đề: Hai tam giác có chung chiều cao (Chiều cao bằng nhau) thì tỉ lệ hai đáy chính
là tỉ lệ của diện tích.
Nối đìn tam giác với một điểm trên cạnh đối diện ta được hai tam giác có

D
B

E
24
C


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
- Trên AB lấy điểm D sao cho AD =

1
AB
2

- Trên AC lấy điểm E sao cho AE =

1
AC
2

Nối D với E, DE thoả mãn yêu cầu của bài.
Một số bài tập
Bài 1. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho NA < NC. Tìm
điểm M trên BC để đoạn thẳng NM chia hình tam giác ABC làm 2 phần có diện tích
bằng nhau?
Bài 2. Cho tam giác MNP, MP = 12 cm, E là điểm chính giữa cạnh NP. Hãy
tìm một điểm D trên cạnh MP sao cho đoạn thẳng ED chia tam giác MNP thành
hai phần mà diện tích phần này gấp đôi diện tích kia.
4. Rèn kỹ năng so sánh, liên hệ bắc cầu