BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Giáo viên hướng dẫn:
TS. NGUYỄN VĂN HOA
Sinh viên thực hiện:
MAI THỊ ĐẮC KHUÊ

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
THÁNG 4/2010


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

LỜI CẢM ƠN
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn
Hoa – giáo viên hướng dẫn khóa luận này – thầy đã tận tình hướng dẫn,
truyền thụ cho em những kiến thức bổ ích và đóng góp những kinh nghiệm quý
báu để em thực hiện khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn PGS.TSKH. Lê Văn Hoàng đã đóng góp ý
kiến quý báu cho khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn thầy Lữ Thành Trung đã tận tình giúp đỡ em
trong suốt quá trình làm.
Em xin chân thành cảm ơn thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố


Tình hình nghiên cứu ........................................................................ 4

2

Lí do chọn đề tài ............................................................................... 4

3

Mục tiêu của đề tài............................................................................ 6

4

Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được ...................... 6

5

Cấu trúc của luận văn....................................................................... 7

NỘI DUNG.................................................................................................... 9
Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ
HYDRO ......................................................................................................... 9
1.1

Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro................................ 9

1.1.1

Phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro ................................ 9


CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO............... 19
2.1

Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn............................................................... 19

2.2

Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết
nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử.............................................. 22

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

2.2.1

Tính bổ chính bậc một..................................................................... 22

2.2.2

Tính bổ chính bậc hai...................................................................... 22

2.3

Nhận xét ......................................................................................... 35

k=4,6,8,10 theo sơ đồ vòng lặp ....................................................... 44

4.4 Nhận xét ............................................................................................... 46
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI ....................................... 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 48
PHỤ LỤC..................................................................................................... 48
Phụ lục 1 Các toán tử sinh – hủy một chiều.................................................. 48
Phụ lục 2 Dạng chuẩn (Normal) của một số biểu thức trong luận văn ........... 51
Phụ lục 3 Toán tử thế năng .......................................................................... 53
Phụ lục 4 Tính các yếu tố ma trận của Hˆ .................................................... 58
Phụ lục 5 Chương trình viết bằng Fortran ..................................................... 61

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 3


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

MỞ ĐẦU
1 Tình hình nghiên cứu
Ngày nay, Vật lý thực nghiệm đã có những bước phát triển mạnh mẽ,
đòi hỏi phải có những tính toán lý thuyết chính xác. Trong khi đó, phương
pháp gần đúng chủ yếu sử dụng cho hệ vi mô là phương pháp nhiễu loạn
không sử dụng được cho bài toán không có nhiễu loạn.
Trước tình hình đó, việc tìm ra một phương pháp mới hiệu quả, có
phạm vi áp dụng rộng rãi rất được quan tâm trong những năm gần đây.
Phương pháp toán tử với những tính toán thuần đại số, được xây dựng cho

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

2 Lí do chọn đề tài
Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán có lời giải
chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là:
bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về
nguyên tử hydro (chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm). Đây là các
hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự nhiên. Việc nghiên cứu các hệ đơn
giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các phương pháp của cơ
học lượng tử. Ngoài ra các kết quả thu được có một tầm quan trọng đặc
biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh những tính chất của
hệ thực tương ứng.
Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của
vật lý lượng tử. Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán
về nguyên tử hydro là một bài toán khá phức tạp. Để giải được bài toán này
phải xây dựng một hệ thống kiến thức về toán tử momen xung lượng trong
hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và hàm riêng của toán tử momen
xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không gian, sự phân bố
electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu…
Bằng cách biểu diễn tất cả các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý
qua các toán tử sinh hủy có chứa thông số biến phân, phương pháp toán tử đã
cho kết quả bước đầu đáng tin cậy và có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị
nào của trường ngoài nếu kết hợp với phương pháp nhiễu loạn.
Tính năng lượng của nguyên tử hydro bằng phương pháp toán tử kết hợp
áp dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn dẫn đến kết luận: chuỗi các bậc bổ chính là
hội tụ. Nếu muốn tăng độ chính xác của năng lượng, chúng ta có thể điều
chỉnh thông số biến phân trong các toán tử sinh hủy hoặc thêm các bổ chính
bậc cao hơn cho đến khi đạt kết quả chính xác. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ chậm

lý biến phân để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.

Tìm hiểu vai trò của thông số biến phân được đưa vào trong toán tử sinh,
hủy cũng như khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử
hydro theo thông số biến đó.


Xây dựng sơ đồ vòng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử

hydro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận bài toán nguyên tử
hydro là: lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên lý biến phân và sơ đồ vòng
lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử
hydro. Từ đó nhận định xem hướng tiếp cận nào tốt hơn để lựa chọn cho
những bài toán có phức tạp hơn.

4 Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được
Từ những khó khăn của lý thuyết nhiễu loạn khi giải quyết bài
toán nguyên tử hydro trong trường ngoài trung bình và những ưu điểm vượt
trội của phương pháp toán tử so với phương pháp nhiễu loạn, nên phương
pháp toán tử là phương pháp chính được sử dụng trong quá trình thực hiện
khóa luận này.
Lập trình bằng ngôn ngữ fortran theo sơ đồ vòng lặp để tính mức năng
lượng cơ bản của nguyên tử hydro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng
tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn kết hợp với nguyên lý biến phân và sơ đồ vòng
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 6


Khóa luận tốt nghiệp

bài toán nguyên tử hydro: năng lượng, hàm sóng…
Giới thiệu về phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro và
dùng phương pháp toán tử kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn tính mức
năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính.
Chương 2: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ
CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 7


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Xây dựng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn.
Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu
loạn bằng phương pháp toán tử.
Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG VIỆC ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO
Vai trò của thông số biến phân trong việc ứng dụng phương pháp toán tử cho
bài toán nguyên tử hydro.
Khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo thông
số biến phân.
Chương 4: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG
LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO
Nêu mục đích của sơ đồ lặp.
Thiết lập sơ đồ vòng lặp.
Dùng sơ đồ vòng lặp tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.
Nhận xét kết quả thu được.

giải tích, bài toán chuyển động hai hạt với định luật tương tác U ( r1  r2 ) rút về
bài toán chuyển động của một hạt có khối lượng rút gọn  trong trường lực
U(r). Trong trường hợp nguyên tử hydro  

me .m p
me  m p

với mp, mn tương ứng là

khối lượng của proton và electron. Vì m p  me nên   me . Nếu bỏ qua kích
thước của proton, nguyên tử hydro sẽ được coi như gồm hạt electron chuyển
động trong trường Coulomb gây bởi một tâm đứng yên.
Chọn gốc thế năng tại tâm hạt nhân và gọi r là khoảng cách từ tâm hạt
nhân đến electron thì thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân là:
U (r )  

Ze2
(CGS)
r

(1.2)

Trong đó:
Ze là điện tích của hạt nhân.
U(r) chỉ phụ thuộc vào r, không phụ thuộc vào thời gian nên đối với
nguyên tử hydro phương trình Schrodinger là phương trình dừng.
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 9



 sin 
 2
sin   
  sin   2

   r 

(1.4)

1 1  
 
1 2
sin




r 2 sin   
  sin 2   2

Thay vào ta được:
1  2 
1
2m
(r
)  2  ,  2 e  E  U (r )   0
2
r r
r

bảo toàn của hình chiếu mômen theo trục z định hướng tùy ý trong không
gian. Muốn vậy ta xét các điều kiện giao hoán của các toán tử Lˆ2 và Lˆz với Hˆ .
Trong trường hợp này Hˆ có dạng:
2 1  2 
Lˆ2
Hˆ  
(
r
)

 U (r )
2 r 2 r
r
2me r 2

Ta thấy

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

ˆ ˆ2  Lˆ2 Hˆ  0
ˆ ˆ2  Lˆ2 Hˆ  0 ; HL
HL
Z
Z

(1.7)
(1.8)

Trang 10


E



 R(r )  0


r 2 dr  dr  2 
r
2me r 2 

(1.10)

1.1.2 Năng lượng của nguyên tử hydro
Từ kết quả của cơ học lượng tử ta có công thức tính năng lượng của
nguyên tử hydro
En   E  

me4 Z 2
2 2 n 2

(CGS)

(1.11)

Trong hệ không thứ nguyên m  e    1 thì:
En   E  

Z2
2n2


(1.13)

 Ba số nguyên n, l, m duy nhất xác định một hàm riêng
 nlm  r , ,    Rnl  r  Ylm  ,   gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ.

Ứng với một giá trị đã cho của l thì m có thể nhận các giá trị
m  l , l  1,..., 1, 0,1,..., l  1, l . Tất cả có  2l  1 giá trị của m. Lượng tử số m

xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trên trục z
Lz  m

Như vậy, ứng với một mức năng lượng En có nhiều trạng thái khác nhau  nlm ,
ta nói có sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có
cùng giá trị năng lượng En là
n 1

  2l  1  n

2

(1.14)

l 0

Nếu không tính đến spin, mức năng lượng cơ bản E1 không suy biến, mức kích
thích thứ nhất E2 suy biến bậc 4, mức kích thích thứ hai E3 suy biến bậc 9...
Nếu tính cả spin có hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng 2 n 2 .
1.1.3 Hàm sóng của nguyên tử hydro
Hàm sóng chuẩn hóa của nguyên tử hydro có dạng:

m

1

0

0

2

0

0

2

1

0

 nl m  r , ,  

1

( Z / a 0 ) 3 / 2 exp(  Zr / 2 a 0 )



1
( Z / a 0 ) 3 / 2 (1  Z r / 2 a 0 ) exp(  Z r / 2 a 0 )

3

1

0

2 2
( Z / a0 )3/ 2 (1  Zr / 6a0 )( Zr  a0 ) exp(  Zr / 3a0 ) cos 
27 

3

1

1



3

2

0

3

2

1



1.2

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro[12]

Xét bài toán nguyên tử hydro, phương trình Schrodinger viết cho nguyên
tử đồng dạng hydro trong hệ SI có dạng:


2

Ze2


Δψ(r ) 
 (r )  E (r )
2m
4 0 r

(1.16)

Trong đó m, e – lần lượt là khối lượng và điện tích của điện tử; Z là số điện
tích.
Ta sẽ viết phương trình trên theo hệ đơn vị nguyên tử, đặt

x  a0 x ,

y  a0 y , z  a0 z với a0  4 0  2 / me 2 là bán kính Bohr. Khi đó phương

 
1  
a  
  
,
2 
  


 
1  
a  
  

2 
  

(1.20)

với   x, y, z , trong đó  là các tham số thực dương, ta sẽ xác định nó sau.
Dễ dàng thấy rằng

 a  , a    1



(1.21)

(Phụ lục1trang 51)
Các giao hoán này chính là công cụ chính cho các tính toán đại số. Ta viết lại

Từ (1.20) ta có:
2 

a   a  


Suy ra

2
 2




 
a   a 
2





 



   
a  a
2



Ta thay (1.23) vào (1.22) ta được
2
2

1
Hˆ T      a   a   1  2a  a 


4 

(1.24)

   a  ,
A

(1.25)



2

Đặt



   a  ,
A











0

dt

1

et ( x

t

2

2

2

 y z )

(1.27)

(Phụ lục 2 trang 51)
Từ đó ta có thành phần thế năng được viết dưới dạng:

(1.28)

Trang 15


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

với:
0
0
Sˆx  : là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử Sˆx  khi tác dụng

lên vector trạng thái sẽ thu được trạng thái không đổi.

m
2i m
1    1 m ˆ m  1 2i ˆ i ˆi   1
2i m ˆ i ˆ m ˆ i 
Sx 
x Nx   2x Ax Ax   2 x x Ax Nx Ax 
1 
1 2x  m1 m!
i1  i!
i,m1  i! m!

 il
l i
ˆ0


il m ˆ i ˆ m ˆ l 

x Ax Ax  
xx Ax Nx  
x x Ax Nx Ax 
i,l1 i!l!
i,m1 i!m!
i,l,m1 i!l!m!

li
li


il



im

ilm



(Phụ lục 3 trang 53)
1.2.3 Toán tử hamilton
Thay (1.26), (1.28) vào biểu thức Hˆ  Hˆ T  Hˆ U , ta được:

1
1

0

0

(1.31)



Toán tử hamilton trong bài toán nguyên tử hydro được chia thành hai
thành phần:
Hˆ  Hˆ 0  Vˆ
(1.32)


Thành phần toán tử chứa các toán tử trung hòa, xem như loại toán tử
 0 trong bài toán không nhiễu loạn, với:
hamilton H

1
Z
Hˆ 0    (2 Nˆ   1) 
4   x, y , z

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê




0


 

' 0 '

' ' 0

0 0 '

0 ' 0

' 0 0

' ' '

(1.34)

Dùng các toán tử aˆ , aˆ  , Aˆ , Aˆ  , Nˆ và qua quá trình tính toán ta tính được
H nk  n Hˆ k

các yếu tố ma trận của Hˆ :


2i
(-1) m m m  1 2 i 2i-1
Sˆn(0)

{1+

k


k


)
(
k

2
i


)]
( k  2i) m }


  

2
1  2
i=1 (i!)
m=1 m!
 =0
 =1


k


Suy ra  2k | S 0 |2k  
m

1/ 2
(1  2 )
2

2l-1

(-1) m (-1) l
Sˆ'  {
 
 [(k  )]1/2 (k  2l )m  n ,k 2l
m!
l!
m=0
l=1
 =0
(-1)i i  (-1)m m m 2i
 
 k [(k  )]1/2 n ,k 2i
 
i!
m!
i=1
m=0
 =1




2i
(-1)i i  (-1)m m  (-1)l l 2l-1

k  n 2 i
 (2k )!
(1)  
(k  i)!(n  i)!  (2i)! 

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

(1  2 )
k
n
k  , n 
2
2

k  n

1/ 2

 (2n )!
k  n  2i
 (2i)!  .



.

1
(1  2 )1/ 2

Trang 17

3
Z
E0(0)   
4


Ta đã đặt  




0

1
 
t 
t 1  
   

3
Z
t
 dt  2 d  E0(0)   
4
2


3




3
2 
E0(0)   
4


Suy ra

(1.37)

Vì mức là mức năng lượng thấp nhất nên ta tiến hành cực tiểu hóa năng lượng:
dE0(0)
3
Z
16
0 
0 
 0.56588424210451677
d
4
9
 

Thay  

16
vào E0(0) ta được:
9


gần đúng để giải bài toán, nghĩa là phải tìm một cách gần đúng các trị riêng và
hàm riêng của nó. Một trong những phương pháp gần đúng rất quan trọng để
giải bài toán cơ học lượng tử là lý thuyết nhiễu loạn. Nội dung lý thuyết nhiễu
loạn như sau:
Xét phương trình Schrodinger:
Hˆ  ( x )  E  ( x)

(2.1)

ta tách toán tử hamilton của bài toán thành hai thành phần:
Hˆ  Hˆ 0  Vˆ

(2.2)

Trong đó:
Thành phần Hˆ 0 là toán tử hamilton có nghiệm riêng chính xác
Hˆ 0 n   n n

(2.3)

Thành phần Vˆ còn lại được gọi là thế nhiễu loạn, điều kiện áp dụng lý
thuyết nhiễu loạn là thành phần nhiễu loạn Vˆ phải “nhỏ” so với Hˆ 0 ,
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 19