BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
 
 

Nguyễn Tăng Vũ
 

BÀI TOÁN BIÊN TUẦN HOÀN CHO
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO  
 
 

Chuyên ngành : Toán Giải Tích
Mã số
: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS Nguyễn Anh Tuấn
 
 
 
 
 

Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 


LỜI CẢM ƠN 

TP Hồ Chí Minh tháng 10 năm 2010 


DANH MỤC KÍ HIỆU 
 I   a, b   
n

 R n là không gian vectơ n chiều với vectơ cột  x   xi i 1   trong đó  xi  R  
n

n

Trên  R  ta trang bị chuẩn:   x   xi  
i 1
n

 R nn  là không gian các ma trận cấp  n  n   X   xik i ,k 1  trong đó 

xik  R  i, k  1,2,..., n   với chuẩn:  
n

 xik

X 

 

i ,k 1

 Rn 

 Nếu  x   xi i  R n  và  X   xik i,k 1  R nn  thì:  

x   xi



n

i 1 ,

X   xik

n

i ,k 1 ,

n

sgn  x    sgn xi i1  



 C I ; R n  không gian các vectơ hàm liên tục  x : I  R n với chuẩn 

x

C







0;    max u
k 1

k 1

t  : 0  t  

 

 

 

 

 Cn1  là không gian các hàm khả vi liên tục cấp  n  1 ,  -tuần hoàn với chuẩn  


n

u

Cn 1

k 1
  u 
k 1






 L I ; R n  không gian các vectơ hàm khả tích  x : I  R n  với chuẩn   
b

 

 

 

x L   x  t  dt  

 

a

 L  là không gian các hàm  u : R  R ,   -tuần hoàn, khả tích Lebesgue trên  0;  với 
chuẩn  


u

L

  u  s  ds
0

Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương
Chương 1: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến
Nội dung chính của chương là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm đối với bài toán biên  cho 

hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến. 
Chương 2: Nghiệm tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao 
Chương này nghiên cứu tính giải được của bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi 
phân hàm bậc cao và  áp dụng các kết quả cho phương trình vi phân đối số lệch, đối số chậm.  


Chương 1. BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN 
 
 
1.1 Giới thiệu bài toán













Cho f :C I ; Rn  L I ; Rn  và  h :C I ; Rn  Rn  là các toán tử liên tục thỏa với mọi 



  

 

 

(1.2) 

Định nghĩa 1.1
Nghiệm của của bài toán (1.1), (1.2) là các vectơ hàm liên tục tuyệt đối  x : I  Rn , 
thỏa (1.1) hầu khắp nơi trên  I  và thỏa (1.2).  
    

Trong phần hai ta nghiên cứu các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của phương trình 

(1.1), (1.2). Trong phần ba, ta thiết lập các tiêu chuẩn cho sự tồn tại nghiệm của bài toán 
biên:  
 

 

 

 

 

dx  t 
 f0  t , x  t    


1.2  Định lý tồn tại nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) 
Định nghĩa 1.2



 







Cặp toán tử   p, l  với  p : C I ; Rn  C I ; Rn  L I ; Rn  và 



 



 : C I ; R n  C I ; R n  R n  được gọi là nhất quán nếu thỏa các điều kiện sau: 
















Tồn tại số  thực dương   sao cho với mọi  x  C I ; R n ,  q  C I ; Rn  và  c0  Rn , 

iii)

và 

với 

mọi 

nghiệm 

bất 

dy  t 
 p  x, y  t   q  t  ,   x, y   c0  
dt






Định lý 1.3
Giả sử tồn tại số dương ρ và cặp nhất quán   p,   với 



 









 



p :C I ; R n  C I ; R n  L I ; Rn  và   : C I ; R n  C I ; R n  R n là các toán tử liên tục 
sao cho     0;1 mọi nghiệm của bài toán 

thỏa    

 

dx  t 
 p  x, x  t     f  x  t   p  x, x  t    
dt


Gọi   ,0  và   là các hàm và các số trong định nghĩa 1.2. Ta đặt:  

 

 t   2   2    sup  h  x  : x  C  I ; R  , x

  t   2   t , 2    sup f  x  t  : x  C I ; R n , x
0

n

0



q  x  t    x



c0  x    x

C

C

  f  x t   p  x, x t   

 

 2

 

 

 

(1.11) 

   x, x   h  x   





Khi đó do định nghĩa của f và α ta có    t   L  I ; R  ,  0    và với mỗi x  C I ; R n ta có



 x

C

  0  x  2 ,   x C   1  x C  2 nên với hầu hết  t  I , ta có bất đẳng thức: 
q  x  t     t  , c0  x    0    

 

 

(1.12) 


Mặt khác, từ các điều kiện (ii), (iii) của định nghĩa 1.2 và các bất đẳng thức trong (1.12), 
nghiệm y của bài toán (1.13) thỏa 

y

C



y  t    *  t   

 0 ,

hầu hết  t  I  

(1.14) 



trong đó   0    0   L ,  *  t     t ,  0   0    t   











  x C  

 

 

 

 

(1.15) 

Chúng ta cần chứng minh  x thỏa (1.9). Giả sử ngược lại, khi đó sẽ xảy ra hai trường hợp 
 

 

Hoặc   

  x C  2  
 

 

 

 

 

   
p0 : C  I ; R n   L  I ; Rn   và   : C  I ; Rn   Rn  là các toán tử tuyến tính. Chúng ta nói rằng 
cặp   p ,   thuộc về lớp   pn,l nếu tồn tại dãy  xk  C  I ; Rn   k  1,2,.. sao cho với mỗi 
y  C  I ; R n  các điều kiện sau được thỏa mãn:  
Cho p : C I ; Rn  C I ; Rn  L I ; Rn  và   : C I ; R n  C I ; R n  R n  bất kì, và 

0

0

t

lim
k 

t

 p  xk , y   s  ds   p0  y  s  ds  đều trên I
0

0

lim   xk , y    0  y   
 

k 

Định nghĩa 1.5




Với x cố định thuộc  C I ; Rn thì toán tử  p  x,. : C I ; R n  L I ; Rn  và 

i)





  x,. : C I ; R n  Rn  là các toán tử tuyến tính.  





ii’)        Với bất kì x và y thuộc  C I ; Rn và hầu hết  t  I , các bất đẳng thức  
 

p  x, y  t     t  y

,   x, y    0 y

 

 

 

thỏa mãn, trong đó   : I  R  là khả tích và  0  R