Bài giảng

GIẢI TÍCH HÀM
NHIỀU BIẾN


MỤC LỤC
CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUỖI
1. Chuỗi số
2. Dãy Hàm và Chuỗi Hàm
3. Bài Tập Chương 1

3
3
10
23

CHƯƠNG 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
1. Những Khái Niệm Cơ Bản
2. Giới Hạn Của Hàm Số
3. Hàm Số Liên Tục
4. Đạo Hàm Riêng
5. Đạo Hàm Hàm Hợp
6. Đạo Hàm và Vi Phân Cấp Cao
7. Công Thức Taylor
8. Cực Trị Của Hàm Nhiều Biến
9. Bài Tập Chương 2

27
27
28

60

CHƯƠNG 5. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
1. Tích phân đường loại I
2. Đưa Tích Phân Đường Về Tích Phân Xác Định
3. Tích Phân Đường Loại II
4. Sự Tồn Tại và Cách Tính Tích Phân Đường Loại II
5. Trường Hợp Đường Cong Kín. Định Hướng Mặt Phẳng
6. Sự Liên Hệ Giữa Hai Loại Tích Phân Đường
7. Công Thức GREEN
8. Điều Kiện Độc Lập Tích Phân Đường Với Đường Lấy Tích Phân
9. Bài Tập Chương 5

63
63
64
66
67
69
72
73
76
80

CHƯƠNG 6. TÍCH PHÂN MẶT
1. Tích Phân Mặt Loại I
2. Tích Phân Mặt Loại II
3. Đưa tích phân mặt loại II Về Tích Phân Hai Lớp
4. Liên Hệ Giữa Hai Loại Tích Phân mặt
5. Công Thức OSTROGRADSKY và Công Thức STOKE



CHƯƠNG 1

LÝ THUYẾT CHUỖI
1. Chuỗi số
1.1. Các Khái Niệm Cơ Bản và Các định nghĩa.
Định nghĩa 1.1. Giả sử (xn )n là một dãy số. Ta lập một dãy mới, ký hiệu (sn )n được xác định
bởi
s 1 = x1
s 2 = x1 + x2
...
n

s n = x1 + x2 + · · · + xn =

xi
i=1

...
∞

Khi ấy dãy số (sn )n này được gọi là một chuỗi số, và được ký hiệu là

xi . Ta gọi sn là tổng
i=1

∞

riêng thứ n của chuỗi, xn là số hạng tổng quát (thứ n) của chuỗi. Ta gọi chuỗi số

n=2

∞

xi .
i=0
∞

xi hội tụ và có tổng s =

b) Giả sử chuỗi số
i=1

∞

rn = s − sn =

n

xi −
i=1

= lim

k→∞

i=1

n



n→∞

c) Chuỗi số chẳng qua là một dãy đặc biệt, được cấu tạo từ một dãy cho trước. Do đó,
chuỗi số có đầy đủ các tính chất của dãy số. Ngược lại, cho một dãy số (sn )n , ta có
thể thiết lập dãy số (xn )n như sau
x1 = s 1
x2 = s 2 − s 1
............
xn = sn − sn−1
............
Khi ấy (sn )n trở thành chuỗi số, cấu tạo từ dãy (xn )n .
3


1.2. Ví dụ.
Ví dụ 1.1.
∞

a) Cho chuỗi số

1
1
1
1
. Để ý
= −
, n ∈ N, do đó
n(n + 1)
n n+1

n+1
n=1 n(n + 1)
b) Cấp số nhân
sn =

∞

aq n , trong đó a ∈ R, q ∈ R tương ứng lần lượt là số hạng đầu và

Ta xét chuỗi sau
n=0

1 − qn
, q = 1.
công bội của cấp số nhân, ta có sn = a ·
1−q
a
+ Nếu |q| < 1 thì lim sn =
, nên chuỗi hội tụ và
n→∞
1−q
∞

aq n =
n=0

a
.
1−q


n=1

∞

xn .

kỳ của chuỗi
n=1

∞

xn hội tụ là với mọi ε > 0,

Định lí 1.2 (Tiêu chuẩn Cauchy). Điều kiện cần và đủ để chuỗi
n=1
m

xi < ε, với bất kỳ m ≥ n ≥ n0 .

tồn tại n0 sao cho
i=n+1

Chứng minh. Theo định nghĩa, ta có
∞

xn hội tụ

⇐⇒

(sn )n hội tụ .

∞

∞

yn và α ∈ R, khi ấy các chuỗi

xn ,

Định lí 1.3. Cho hai chuỗi hội tụ

n=1

(xn ± yn ),
n=1

(αxn ) hội tụ và
n=1
∞

∞

∞

(xn ± yn ) =

xn ±

n=1

∞


yi ;

n

(αxi ) = α

i=1

i=1

xi .
i=1

Chuyển qua giới hạn khi n → ∞, ta có kết quả.
∞

xi . Ta viết

Định lí 1.4. Cho chuỗi số
i=1

∞

i=1
∞

∞

n0

n0

n

xi , s∗n =

với mọi n ≥ n0 . Khi ấy sn =
i=n0 +1

xi + s∗n . Vậy

i=1

hội tụ.

Mệnh đề 1.5. Tính hội tụ của một chuỗi không thay đổi khi ta thay đổi một số hữu hạn các
số hạng của chuỗi đó.
∞

Định lí 1.6. Giả sử
n=1

xn là một chuỗi hội tụ và (nk )k là một dãy tăng thực sự các số nguyên
∞

∞

yk hội tụ và

tự nhiên. Khi ấy chuỗi

i=1

= lim snk = s = lim sn .
n→∞

k→∞

Nhận xét 1.4. Định lý 1.6 nêu lên tính chất kết hợp của chuỗi số hội tụ. Ngược lại một chuỗi
∞

∞

∞

yk có thể hội tụ nhưng
k=1

∞

n=1
n+1

(−1)

chuỗi

xn phân kỳ. Ta xét ví dụ sau Chuỗi

n+2


n

xn hội tụ là dãy tổng riêng sn =

Định lí 1.7. Điều kiện cần và đủ để chuỗi số dương
n=1

xi
i=1

bị chặn trên.
Chứng minh. Nếu chuỗi (1.1) hội tụ, nghĩa là dãy (sn )n hội tụ. Lúc đó (sn )n bị chặn.
Ngược lại, cho dãy (sn )n bị chặn trên, ngoài ra sn+1 − sn = xn+1 ≥ 0 hay sn+1 ≥ sn , ∀n ∈ N
tức là (sn )n tăng. Như thế (sn )n phải hội tụ hay chuỗi (1.1) hội tụ.
∞

1
. Với mọi n ∈ N, ta có
2
n=1 n
1
1
1 + 2 + ··· + 2
2
n
1
1
1
1+
+


∞

xn

Định lí 1.8 (Dấu hiệu so sánh). Giả sử

(1.1) và

n=1

yn

(1.2) là hai chuỗi số dương.

n=1

Nếu có một số dương C sao cho xn ≤ Cyn với mọi n ∈ N, khi đó
* Chuỗi (1.2) hội tụ thì chuỗi (1.1) hội tụ.
* Chuỗi (1.1) phân kỳ thì chuỗi (1.2) phân kỳ.
n

Chứng minh. Ký hiệu sn =

n

yi . Theo giả thiết, ta có xi ≤ C · yi , ∀i ∈ N

xi và Sn =
i=1

A
n ≥ n1 , với n1 là số nguyên dương nào đó. Như thế
> A − , ∀n ≥ n1 hay xn > yn . Như
yn
2
2
xn
vậy nếu (1.2) phân kỳ thì (1.1) cũng phân kỳ. Còn lim
= +∞ thì xn > k · yn với k > 0 và
n→∞ yn
mọi n đủ lớn nên ta cũng có kết quả.
Nhận xét 1.5. Nếu 0 < A < +∞ thì hai chuỗi (1.1) và (1.2) đồng thời hội tụ hoặc phân kỳ.
6


∞

x
. Ta có
+n+1
n=1
x
x
x
sin 2
sin 2
2
n + n + 1 = lim
n + n + 1 · n + n + 1 = 1.
lim


√
n

xn . Giả sử tồn tại lim

Định lí 1.10 (Dấu hiệu Cauchy). Cho chuỗi số dương

n→∞

n=1

xn = .

< 1 thì chuỗi hội tụ, còn > 1 thì chuỗi phân kỳ. Trường hợp = 1 không có kết luận.
√
Chứng minh. Vì n xn ≥ 0 nên ≥ 0. Ta xét các trường hợp sau a). 0 ≤ < 1. Chọn
1−
√
chẳng hạn) để + ε = q < 1. Vì lim n xn = nên với ε > 0 ở trên,
ε > 0 đủ bé (ε =
n→∞
2
∞
√
√
ta có n xn − < ε với n ≥ n0 hay n xn < ε + = q. Do 0 < q < 1 nên chuỗi
q n hội tụ.
Nếu


n=1
∞

Ví dụ 1.4. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n=1

2n
4n − 3

n

. Ta có an =

2n
4n − 3

n

nên lim

n→∞

√
n

an =

1
2n
= < 1. Vậy chuỗi đã cho hội tụ.

xn0 +k < q k · xn0 .
∞

Vì 0 < q < 1 nên chuỗi

xn0 q k hội tụ. Theo dấu hiệu so sánh, ta có

∞

xn hội tụ.
n=1

k=1
∞

Ví dụ 1.5. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

n!
. Ta có
n
n=1 n

an=1
(n + 1)! nn
=
·
=
an
(n + 1)n+1 n!


n=1

lim n(

n→∞

an
− 1) = p
an+1

thì chuỗi đã cho hội tụ với p > 1 và phân kỳ với p < 1.
∞

an là một chuỗi số dương thực sự. Nếu

Định lí 1.13 (Tiêu chuẩn Gauss). Cho
n=1

µ
θn
an
= λ + + 1+ ,
an+1
n n
trong đó > 0 và |θn | ≤ c thì chuỗi đã cho hội tụ với λ > 1 và phân kỳ với λ < 1; trường hợp
λ = 1 thì chuỗi đã cho hội tụ khi µ > 1 và phân kỳ khi µ ≤ 1.
Định lí 1.14 (Dấu hiệu tích phân Cauchy). Cho f là một hàm liên tục, dương và giảm trên
[a, +∞), a ∈ N. Đặt
y


a+k+1

f (x)dx ≥
a+k

f (a + k + 1)dx
a+k

hay
a+k+1

f (a + k) ≥

f (x)dx ≥ f (a + k + 1).

(*)

a+k

Lấy tổng theo k từ 0 đến n − 1 các vế của (*), ta có
n−1 a+k+1

n−1

f (a + k) ≥
k=0

n−1

f (x)dx ≥

(1.4) phân kỳ.
∞

Ví dụ 1.6. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

1
, α ∈ R.
α
n=1 n
8


1
= 0 nên chuỗi phân kỳ.
n→∞ nα
1
- Nếu α > 0, ta xét hàm số f (x) = α , x ∈ [1, +∞). Rõ ràng f (x) liên tục, dương,
x
giảm trong [1, +∞). Ta có

y
ln y,
α=1
1
1
1
F (y) =
dx =

−1 , α=1

Vậy chuỗi

1.6. Chuỗi Với Số Hạng Có Dấu Bất Kỳ.
1.7. Chuỗi đan dấu.
∞

Định nghĩa 1.3. Ta gọi chuỗi đan dấu là chuỗi có dạng

∞

(−1)n an hay

n=1

(−1)n+1 an trong

n=1

đó an > 0 với mọi n.
∞

(−1)n+1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + · · · + (−1)n+1 an + · · ·
n=1
∞

Định lí 1.15 (Dấu hiệu Leibnitz). Cho chuỗi đan dấu

(−1)n+1 an

(1.5). Giả sử (an )n là


n=1

hội tụ.
Định lí 1.16. Mọi chuỗi số hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.
∞

|xn | hội tụ nên

Chứng minh. Ta sử dụng tiêu chuẩn Cauchy. Với số ε > 0 cho trước, vì
n=1
n+p

n+p

có n0 ∈ N để ∀n ≥ n0 và ∀p ∈ N thì

|xk | < ε. Nhưng khi ấy
k=n+1

k=n+1

∞

xn hội tụ.

Vậy
n=1

9

n
n=1
n=1 n
∞

∞

∞

xn là hội tụ không tuyệt đối nếu

Ta gọi
n=1

|xn | phân kỳ.

xn hội tụ còn
n=1

n=1
∞

xn

Định lí 1.18 (Tính chất giao hoán của chuỗi hội tụ tuyệt đối). Giả sử chuỗi

(1.1) hội

n=1


m

|yk | ≤

|xσ(k) | ≤

k=1

|xi | ≤

|xi |

i=1

k=1

i=1
∞

∞

|yk | hội tụ hay chuỗi

trong đó m = max{σ(1), . . . , σ(n)}. Vậy chuỗi số dương
∞

|xσ(n) |. Với ε > 0, tồn tại n0 để với mọi

n=1


∞

∞

xk =

|xk |

≤

xk
k=1
k=σ(i),i=1,...,m

k=1
k=σ(i),i=1,...,m

n

nếu lấy n đủ lớn sao cho trong tổng

xk , các số hạng xk bao gồm hết các số hạng xσ(k) , k =
k=1

1, . . . , m, ta có
∞

m

m


k=1

xk


(tương ứng, chuỗi hàm) nếu dãy số xn (t0 )

n

un (t0 )) hội tụ. Tập hợp

(tương ứng, chuỗi số
n=1

tất cả các điểm hội tụ của dãy hàm (tương ứng, chuỗi hàm) được gọi là miền hội tụ của dãy
hàm (tương ứng, chuỗi hàm) đó. Giả sử X0 ⊂ X là miền hội tụ của dãy hàm (tương ứng, chuỗi
∞

hàm). Khi đó, ta đặt x(t) = lim xn (t), ∀t ∈ X0 (tương ứng, u(t) =
n→∞

∞

cũng được gọi là dãy hàm xn (t)

un (t)) hội tụ về hàm x(t) (tương ứng u(t))

(tương ứng

n

un (t), ∀t ∈ X0 ) và
n=1


n=1 2
∞

Ví dụ 2.2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

∞

qn.

n=1

x
< 1 hay |x| < 2, chuỗi hội tụ.
2
- Còn |q| ≥ 1 thì chuỗi phân kỳ.

- Nếu |q| < 1 hay

Vậy miền hội tụ của chuỗi là (−2, 2).
2.2. Hội Tụ Đều.
2.2.1. Các định nghĩa.
Định nghĩa 2.1. Cho dãy hàm fn (x) n xác định trên X ⊂ R. Nhắc lại rằng fn (x)
về f (x) trên X0 ⊂ X nếu (∀x ∈ X0 ) lim fn (x) = f (x) hay

n

hội tụ

n→∞


Hiển nhiên nếu fn (x) ⇒ f (x) thì fn (x) −→ f (x). Điều ngược lại không đúng.
X0

X0

2.3. Điều kiện hội tụ đều.
Định lí 2.1 (Tiêu chuẩn Cauchy). Cho fn (x)
cần và đủ để fn (x) ⇒ f (x) là

n

là một dãy hàm xác định trên X. Điều kiện

X0

(∀ε > 0)(∃n0 )(∀m, n ≥ n0 )(∀x ∈ X0 ) : |fn (x) − fm (x)| < ε.
Chứng minh.
Điều kiện cần: Giả sử fn (x) ⇒ f (x). Khi ấy
X0

ε
(∀ε > 0)(∃n0 )(∀n ≥ n0 )(∀x ∈ X0 ) : |fn (x) − f (x)| < .
2
Nếu m, n ≥ n0 thì ∀x ∈ X0 , ta cũng có
ε ε
|fn (x) − fm (x)| ≤ |fn (x) − f (x)| + |fm (x) − f (x)| < + = ε.
2 2
Vậy điều kiện cần được chứng minh. Ngược lại, ∀x ∈ X0 , ta có: |fn (x) − fm (x)| < ε khi
m, n ≥ n0 với ε > 0 tùy ý, nghĩa là ∀x ∈ X0 , dãy số thực fn (x) n là một dãy Cauchy nên
phải hội tụ trong R. Đặt f (x) = lim fn (x), ∀x ∈ X0 . Ta chứng minh fn (x) ⇒ f (x). Thật vậy,


Định lí 2.3 (Dấu hiệu Weierstrass). Cho chuỗi hàm
n=1

tồn tại một dãy số dương (an )n sao cho
(∀x ∈ X0 ) |un (x)| ≤ an , n = 1, 2, . . .
∞

∞

un (x) hội tụ tuyệt đối và hội tụ đều trên X0 ⊂ X.

an hội tụ, khi đó chuỗi hàm

và
n=1

n=1

12


∞

an hội tụ nên với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại n0 để ∀n ≥

Chứng minh. Do chuỗi
n=1
n+p


Ví dụ 2.3. Xét sự hội tụ đều của các dãy hàm sau
sin x
a. fn (x) =
, x∈R
n
x
b. fn (x) = sin , x ∈ R.
n
sin x
= 0. Vậy fn (x) −→ 0. Tiếp theo, với ε > 0 tùy
a. Ta có ∀x ∈ R, lim fn (x) = lim
n→∞
n→∞ n
R
sin x
1
1
1
ý, ta chọn n0 =
+ 1, khi đó ∀n ≥ n0 , ∀x ∈ R, ta có
−0 ≤
≤
< ε.
ε
n
n
n0
sin x
⇒ 0.
Vậy


n

tổng riêng sn (x) =

ui (x) hội tụ đơn (tương ứng, hội tụ đều) về hàm u(x) trên tập X0 .
i=1

2.4. Tính chất của sự hội tụ đều. Ký hiệu X0 là khoảng (a, b) hay đoạn [a, b]; fn (x)
∞

n

un (x) lần lượt là các dãy hàm và chuỗi hàm xác định trên X0 .

và
n=1

Định lí 2.4. Giả sử fn (x) là các hàm liên tục tại x0 ∈ X0 và fn (x) ⇒ f (x). Khi đó f (x) liên
X0

tục tại x0 ∈ X0 .
Chứng minh. Cho ε > 0. Do fn (x) ⇒ f (x) nên có n0 ∈ N sao cho ∀n ≥ n0 và ∀x ∈ X0
X0

ε
thì: |fn (x) − f (x)| < . Vì fn0 (x) liên tục tại x0 nên với ε > 0 ở trên, tồn tại δ > 0 để nếu
3
ε
x ∈ X0 , |x − x0 | < δ thì |fn0 (x) − fn0 (x0 )| < . Như thế, nếu |x − x0 | < δ, ta có

x0 là cần thiết.
2. Giả sử fn (x) −→ f (x) và fn (x) liên tục tại x0 ∈ X0 , còn f (x) thì gián đoạn tại x0 .
X0

Khi đó fn (x) ⇒ f (x).
X0

Định lí 2.6 (Định lý Dini). Giả sử fn (x) n là dãy hàm xác định, liên tục trên [a, b], fn (x) n
đơn điệu (tăng hoặc giảm) và fn (x) −→ f (x) với f (x) là hàm liên tục trên [a, b], khi đó
[a,b]

fn (x) ⇒ f (x).
[a,b]

Chứng minh. Để định ý, ta giả sử fn (x) n là dãy tăng các hàm liên tục trên [a, b].
Đặt rn = f (x) − fn (x), khi ấy rn (x) liên tục và r1 (x) ≥ r2 (x) ≥ · · · ≥ rn (x) và ∀x ∈
[a, b], lim rn (x) = 0. Giả sử fn (x) ⇒ f (x). Theo định nghĩa, tồn tại ε0 > 0 sao cho với mọi
n→∞

[a,b]

n0 ∈ N, tồn tại m ≥ n0 và xm ∈ [a, b] để rm (xm ) ≥ ε0 . Dãy (xm ) ⊂ [a, b] nên theo định lý
Bonzano-Weierstrass, tồn tại dãy con (xkm )m ⊂ (xm )m : xkm → x0 ∈ [a, b] khi m → ∞. Bây giờ
với mỗi p ∈ N, ta có hàm rp (x) liên tục nên rp (xkm ) → rp (x0 ) khi m → ∞. Với mọi m đủ lớn sao
cho km ≥ p, ta có rp (xkm ) ≥ rkm (xkm ) ≥ ε0 . Cho m → ∞, ta có lim rp (xkm ) = rp (x0 ) ≥ ε0 .
m→∞

Điều này mâu thuẫn với lim rp (x0 ) = 0. Vậy định lý được chứng minh.
p→∞



n→∞

= lim fn (x).
n→∞

a

Câu hỏi tương tự cũng được đặt ra đối với chuỗi hàm, đó là sự mở rộng của tính chất “đạo hàm
một tổng bằng tổng các đạo hàm” và “tích phân một tổng bằng tổng các tích phân”.
Định lí 2.8. Cho fn (x)

n

là một dãy gồm các hàm liên tục trên [a, b]. Giả sử fn ⇒ f , khi đó
[a,b]

b

b

lim fn (x)dx =

f (x)dx = lim

n→∞
a

b



ε
dx = ε.
b−a

|fn (x) − f (x)|dx ≤
a

a

b

b

Vậy lim

f (x)dx ≤

b

f (x)dx.

fn (x)dx =
a

Đối với chuỗi hàm, ta có
∞

un (x) hội tụ đều về u(x) trên [a, b] và un (x) là các hàm liên


x

fn (y)dy + fn (x0 ), x ∈ X, n = 1, 2, . . .

fn (x) =
x0

Do fn (x) ⇒ g(x) nên áp dụng định lý cho dãy hàm fn (x)
X

n

trên [x0 , x] (hoặc (x, x0 )), ta có

x

f (x) = lim fn (x) = lim
n→∞

x

fn (y)dy + fn (x0 ) =

n→∞
x0

g(y)dy + f (x0 ).
x0

Suy ra f (x) khả vi tại x ∈ X và f (x) = g(x). Mặt khác, g(x) liên tục nên f (x) khả vi liên

2.6.1. Các khái niệm cơ bản. Chuỗi hàm lũy thừa (viết tắt chuỗi lũy thừa) là chuỗi hàm có
dạng
∞

an x n

(1.1)

an (x − x0 )n

(1.2)

n=0

hoặc
∞

n=0

trong đó an , n = 0, 1, 2, . . . là các hằng số. Nói cách khác chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm mà
các hạng tử tổng quát là hàm lũy thừa nguyên không âm. Bằng cách đặt X = x − x0 hoặc
X − X0 = x, ta có thể đưa chuỗi lũy thừa dạng (1.2) về dạng (1.1) hoặc dạng (1.1) về dạng
(1.2). Do đó, để đơn giản về mặt ký hiệu, sau đây ta chỉ khảo sát chuỗi lũy thừa dạng (1.1).
2.7. Miền Hội Tụ Của Chuỗi Lũy Thừa.
Định lí 2.12 (Abel). Giả sử chuỗi lũy thừa (1.1) hội tụ tại x0 = 0. Khi ấy nó hội tụ tuyệt đối
tại mọi x ∈ R thỏa |x| < |x0 |.
∞

an xn0 hội tụ nên lim an xn0 = 0. Vậy dãy này bị



chuỗi

n

=

|an xn0 |

x
< 1, với mọi |x| < |x0 |. Vì
x0

trong đó q =
∞

x
x0

an xn0

n=0

x
x0

an xn0

n


R = sup x ∈ R :
n=1

khi ấy 0 < R ≤ +∞.
Định lí 2.14. Chuỗi hàm lũy thừa (1.1) hội tụ với mọi x ∈ R mà |x| < R và phân kỳ tại mọi
x ∈ R thỏa |x| > R (nếu R < +∞).
Chứng minh. Giả sử |x| < R < +∞. Theo định nghĩa của supremum, tồn tại x0 ∈ R sao
∞

cho |x| < x0 < R và

an xn0 hội tụ. Khi ấy theo định lý Abel, chuỗi (1.1) hội tụ tại x. Lý luận

n=1

này được áp dụng cho trường hợp R = +∞. Nếu |x| > R thì ta chọn x1 để |x| > x1 > R, khi
∞

ấy
n=1

an xn1 phân kỳ nên

∞

an xn phân kỳ.

n=1

Định nghĩa 2.2. Số R ∈ [0, +∞] xác định như trên được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy


|an xn |:

n=0

|an+1 xn+1 |
an+1
= |x| lim
= |x|.
n
n→∞
n→∞
|an x |
an
∞
∞
1
|an xn | hội tụ nên
an xn hội tụ.
* Nếu |x| < 1 hay |x| < thì chuỗi
lim

n=0

1

> |an x | với n đủ lớn nến |an xn |
1
an xn phân kỳ. Theo định nghĩa, bán kính hội tụ R = .


n=1

= +∞ : với mọi x ∈ R, x = 0, ta có
lim

n→∞
∞

Vậy chuỗi

an+1
an+1 xn+1
= +∞.
=
|x|
lim
n→∞
an x n
an

an xn phân kỳ. Định lý được chứng minh.

n=1

Trường hợp nhiều hệ số an = 0, ta dùng định lý sau để tìm bán kính hội tụ
Định lí 2.16. Nếu lim

n

n→∞

Cauchy cho chuỗi số dương

|an xn |.

n=1
∞

an x n

2.8. Tính Chất Của Chuỗi Hàm Lũy Thừa. Cho chuỗi hàm lũy thừa
n=1

∞

có bán kính hội tụ R > 0. Khi ấy ∀x ∈ (−R, R), chuỗi (1.1) hội tụ về hàm u(x) =

(3.1)

an xn . Ta

n=1

hãy khảo sát tính chất của tổng u(x) này.
Định lí 2.17. Giả sử R = 0 là bán kính hội tụ của (1.1), khi ấy với mọi 0 < r < R, chuỗi hàm
(1.1) sẽ hội tụ đều trên [−r, r].
17


Chứng minh. Do r < R và theo tính chất của supremum, tồn tại x0 ∈ R sao cho r < x0

hàm liên tục và chuỗi (1.1) hội tụ đều trên [−r, r] nên u(x) liên tục trên [−r, r], đặc biệt liên
tục tại x. Vậy u(x) liên tục trên (−R, R).
Hệ quả 2.19. Với mỗi x ∈ (−R, R), ta có
x

n

dt =

an t

n=0

∞

tn dt =

an

n=0

0

x

∞

∞

n=0

n=1

Gọi R1 là bán kính hội tụ của nó. Ta chứng minh R = R1 . Với x ∈ (−R, R), ta chọn r > 0 để
∞

|x| < r < R. Lúc ấy

an rn hội tụ nên an rn → 0 (n → ∞). Suy ra |an |rn ≤ C với C = const

n=0

∞

và mọi n ∈ N. Xét chuỗi số

n
n=1

lim

n→∞
∞

n

nên
n=1

x
r

x
x
x
·
=
< 1 (x = 0)
r
r
r

n−1

hội tụ. Từ đánh giá
|nan xn−1 | =
∞

ta suy ra chuỗi

n
x
|an | · xn
r
r

|nan xn−1 | hội tụ. Vậy chuỗi

n=1

∞



n=1

∞

nan xn−1 hội tụ, mâu

n=1

thuẫn với R là bán kính hội tụ của (1.1). Vậy R = R1 . Bây giờ, với x ∈ (−R, R), ta chọn r để
18


|x| < r < R, khi đó chuỗi (1.1), (1.3) hội tụ đều trên [−r, r] nên áp dụng định lý lấy đạo hàm
một chuỗi hàm, ta có
∞

∞

an x n

u (x) =
n=0
∞

nan xn−1 với (a0 ) = 0

=
n=0


∞

nxn−1 .

n=0

Với x = 0, ta có
u(x)
=
x

∞

∞

nx

n−1

xn

=

n=1

=

n=0

với mọi x thỏa |x| < 1. Vậy

(−1)n−1

n=0

x
= u(x). Chuỗi lũy thừa này có bán kính hội tụ R = 1. Ta có
n
∞

u (x) =

n−1 x

(−1)
n=1

∞

n

(−1)n xn−1 =

=

n

n=1

1
.

n=0
∞

an xn , với mọi x ∈ (−R, R).

f (x) =
n=0

Từ định nghĩa trên và tính chất của tổng của chuỗi lũy thừa, ta có
19


Định lí 2.21. Giả sử f (x) khai triển được thành chuỗi lũy thừa trong (−R, R). Khi ấy f (x)
khả vi vô hạn lần trong (−R, R), đồng thời chuỗi lũy thừa này được xác định một cách duy
f (k) (0)
, k = 0, 1, 2, . . .
nhất, các hệ số ak =
k!
∞

Chứng minh. Theo giả thiết f (x) =

an xn nên f (x) khả vi vô hạn lần trong (−R, R)

n=0

theo hệ quả 2.20 và
∞

f

f (x) =
k=0

f (k) (0) k f n+1 (θx) n+1
x +
x , x ∈ [−a, a].
k!
(n + 1)!

Khi ấy
n

f (x) −
k=0
n

f (k) (0) k
f n+1 (θx) n+1
an+1
x =
x
≤C
k!
(n + 1)!
(n + 1)!

a
= 0 nên
n→∞ n!


sin x =

x3 x5
x2n+1
x
−
+
+ · · · + (−1)n
+ · · · , ∀x ∈ R.
1!
3!
5!
(2n + 1)!

(2) f (x) = cos x. Lý luận như trên, ta có được
∞

(−1)n

cos x =
n=0

20

x2n
, ∀x ∈ R.
(2n)!


(3) f (x) = ex . Với mọi R > 0 cho trước, ta có

=
1 − t2
0

xn
, x ∈ (−1, 1).
n

∞

n=0

x2n+1
2n + 1

1−x
1
ln
=
2
1+x

hay

∞

n=0

x2n+1
, |x| < 1.

hàm lượng giác đơn giản sin x, cos x.
Định nghĩa 2.4. Chuỗi hàm có dạng
∞

a0
(an cos nx + bn sin nx)
+
2
n=1

(1.5)

trong đó a0 , a1 , . . . , b1 , b2 , . . . là các số thực, được gọi là chuỗi lượng giác.
Để ý rằng các hạng tử un (x) = an cos nx + bn sin nx là các hàm tuần hoàn un (x + 2π) =
un (x), ∀x ∈ R. Do đó nếu chuỗi này hội tụ thì tổng u(x) sẽ là một hàm tuần hoàn trên R.
Trong phần này, chúng ta xét việc khai triển một hàm tuần hoàn thành chuỗi lượng giác (1.5)
và để đơn giản, ta xét trên một đoạn có độ dài 2π, chẳng hạn [−π, π].
Định lí 2.23. Cho hàm số f (x) tuần hoàn với chu kỳ 2π. Giả sử tồn tại chuỗi lượng giác (1.5)
hội tụ đều về f (x) trên [−π, π]. Khi ấy ta có
π

1
an =
π

f (x) cos nxdx, n = 0, 1, 2, . . .

(1.6)

f (x) sin nxdx, n = 0, 1, 2, . . .

k=1
cũng hội tụ đều về hàm f (x) cos nx trên [−π, π]. Do đó, ta áp dụng định lý qua giới hạn dưới
dấu tích phân để nhận được
π

π

∞

a0
cos nxdx +
2

(ak cos kx cos nx + bk sin kx cos nx)
k=1 −π

−π

π

=

f (x) cos nxdx, n = 0, 1, 2, . . .
−π

Để ý rằng
π

π



f (x) cos nxdx, n = 0, 1, 2, . . .
−π

−π

Để tính các số hạng bn ta cũng làm tương tự, nhân tất cả các số hạng của chuỗi (1.5) với sin nx,
ta nhận được chuỗi hàm hội tụ đều về f (x) sin nx, n = 0, 1, 2, . . ., rồi lấy tích phân từng hạng
tử trên [−π, π], ta có
π

1
bn =
π

f (x) sin nxdx, n = 0, 1, 2, . . .
−π

Bây giờ, cho f (x) là một hàm liên tục trên [−π, π]. Khi ấy các số hạng an , bn được xác định
bởi (1.6) và (1.7) được gọi là hệ số Fourier của hàm f (x) và chuỗi lượng giác
∞

f (x) =

a0
+
(ak cos kx + bk sin kx)
2
k=1


−1

f (x) =

Để ý rằng −f (x) = f (−x) tức f (x) là hàm lẻ, do đó
π

1
an =
π

f (x) cos nxdx = 0, n = 0, 1, 2, . . .
−π
π

1
bn =
π

π

2
f (x) sin nxdx =
π
−π

=

Vậy bn =


3. Bài Tập Chương 1
1. Tìm số hạng tổng quát của chuỗi số
3
5
7
1
+ 2 + 3 + 4 + ···
2 2
2
2
2. Tìm số hạng tổng quát của chuỗi số
2
+
3

3
7

2

+

4
11

3

+

5

+ ···
3 3 6 12 24
6. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
1
+
+
+ ···
11 12 13
7. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1 2 3
4
+ + +
+ ···
2 5 8 11
23


8. Xét sự hội tụ của chuỗi số có số hạng tổng quát là:
xn =

1
.
4 · 2n − 3

9. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1 1 1
1
+ + +


n=1

1
2n

1
1+
n

n2

.

12. Xét sự hội tụ của chuỗi số
22
2
23
2n
+ 10 + 10 + · · · + 10 + · · ·
1 2
3
n
13. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
2
3
4
5
√ + + √ + + √ + ···

2 2 +1 3 +1 4 +1
17. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
1
1
1
1 − − 2 + 3 − 4 − 5 + ···
2 2
2
2
2
18. Cho chuỗi hàm
4−x
1 4−x
+
7x + 2 3 7x + 2

2

+

1 4−x
5 7x + 2

3

+···

Hãy xét sự hội tụ của chuỗi tại x = 0 và x = 1.

n=1

24