BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Viết Hiếu

NGHĨA VÀ VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM
LOGARIT TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở BẬC
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Viết Hiếu

NGHĨA VÀ VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM
LOGARIT TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở BẬC
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013



MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT ...................................... 4
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 5
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ........................................................... 5
2. Mục đích nghiên cứu và khung lý thuyết tham chiếu ................................................. 7
3. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................... 8
4. Tổ chức của luận văn ..................................................................................................... 9

CHƯƠNG 1: MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ NGHĨA VÀ VAI TRÒ
CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM LOGARIT ............................................................. 10
1.1. Vài nét về lịch sử xuất hiện khái niệm logarit ........................................................ 10
1.2. Một số cách tiếp cận định nghĩa khái niệm logarit ................................................ 14
1.2.1. Tiếp cận khái niệm logarit từ giá trị hàm số logarit ............................................. 15
1.2.2. Tiếp cận khái niệm logarit qua định nghĩa trực tiếp ............................................ 15
1.3. Vai trò công cụ của logarit qua một số ứng dụng .................................................. 17
1.3.1. Logarit – Công cụ đơn giản hóa biểu thức phức tạp ............................................ 17
1.3.2. Logarit – Công cụ tính số các chữ số của một số nguyên dương......................... 26
1.3.3. Logarit – Công cụ chuyển các đại lượng có phạm vi quá rộng hoặc quá hẹp về
phạm vi có thể kiểm soát được ....................................................................................... 26
1.4. Kết luận chương 1 ..................................................................................................... 28

CHƯƠNG 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG LOGARIT
TRONG DẠY HỌC TOÁN BẬC THPT ................................................................ 30
2.1. Yêu cầu của chương trình Toán phổ thông Việt Nam với dạy học logarit .......... 30
2.2. Nghĩa và vai trò công cụ của logarit trong Giải tích 12 ban Cơ bản .................... 31
2.2.1. Phần bài học ......................................................................................................... 31

3.8.1. Giới thiệu tình huống thực nghiệm ...................................................................... 70
3.8.2. Dàn dựng kịch bản................................................................................................ 71
3.8.3. Biến tình huống và biến didactic .......................................................................... 72
3.8.4. Chiến lược và cái có thể quan sát được, ảnh hưởng của biến .............................. 73
3.8.5. Phân tích kịch bản ................................................................................................ 80
3.9. Phân tích hậu nghiệm ............................................................................................... 80
3.9.1. Ghi nhận tổng quát ............................................................................................... 81
3.9.2. Kết quả thực nghiệm bài 1d, bài 2 của lớp chọn làm thực nghiệm 2 ................... 81
3.9.3. Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm 2 .............................................................. 82
3.10. Kết luận .................................................................................................................... 91

KẾT LUẬN CHUNG ................................................................................................ 93
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ .................................... 96
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 97
PHỤ LỤC ................................................................................................................... 99

3


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT
Cụm từ
viết tắt

Cụm từ viết đầy đủ của cụm từ viết tắt

BPT

Bất phương trình

CSC

Sách giáo khoa Giải tích 12 (2008), Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên),
Nxb Giáo dục
Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao (2008), Đoàn Quỳnh (Tổng
chủ biên), Nxb Giáo dục

KNV

Kiểu nhiệm vụ

SBT

Sách bài tập

SGK

Sách giáo khoa

SGV

Sách giáo viên

SV

Sinh viên

[TC]

Sách bài tập Giải tích 12 (2008), Vũ Tuấn (Chủ biên), Nxb Giáo dục

[TN]


=8

2

=5

Câu hỏi 2: Tìm x thỏa 2 x = 5 .
Câu hỏi 3: Bạn giải thích như thế nào cho một học sinh lớp 10 hiểu về kí hiệu log 3 7 ? (Với log 3 7
đọc là logarit cơ số 3 của 7).

Kết quả thực nghiệm cho thấy:
- Hầu hết SV được hỏi (94%) trả lời “ x = log 2 5 ” cho câu hỏi 2, nhưng chỉ còn 79,7% SV
đưa ra đáp án “ 2

log 2 5

= 5 ” cho yêu cầu “điền vào ô trống

2

= 5 ”.

- 73,9% SV không trả lời được câu 3 và 8,3% SV giải thích sai về kí hiệu log 3 7 . Một số
câu giải thích sai: “logarit là 1 loại toán mà nhà văn tên logarit sáng lập ra để chúng ta
3

tìm hiểu thêm sâu hơn về con số đó” hay “log37 là �√7� ”.

- Chỉ 9,5% SV trả lời “ log 3 7 là nghiệm của phương trình (PT) 3x = 7 ” và 8,3% SV giải

phép tính tích bằng phép tính cộng; phép tính chia bằng phép tính trừ; phép khai căn bậc
hai bằng phép chia đôi…”
+ Ở cấp độ tri thức giảng dạy ở phổ thông Việt Nam, “Khái niệm logarit được trình bày
trước khái niệm hàm số logarit”, “Logarit cơ số a của số b nhằm biểu diễn nghiệm của
phương trình mũ a x = b ” và một số quy tắc hợp đồng thể chế:
R1: Biểu thức chứa logarit cần tính phải thỏa mãn hai đặc trưng sau:
- Có dạng log a b hoặc a log

b

N

, hoặc có thể biến đổi về một trong hai dạng đó.

- Có thể biến đổi a , b trong log a b và a log N về dạng: a = c r và b = c s với r , s ∈  .
b

R2: Kết quả tính toán của biểu thức chứa logarit là một giá trị chính xác, chứ không phải là giá
trị gần đúng.
R3: Không sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị biểu thức chứa logarit.
R4: Không sử dụng phương pháp đồ thị để tính giá trị biểu thức chứa logarit.
R5: Không sử dụng máy tính bỏ túi để so sánh 2 số logarit.
R6: Không sử dụng phương pháp đồ thị để so sánh 2 số logarit.
+ Tác giả thực nghiệm trên đối tượng giáo viên đã giảng dạy về logarit và HS khối 12 đã
học khái niệm này để kiểm chứng các quy tắc hợp đồng trên.
Trong đề tài “Khái niệm logarit ở trường trung học phổ thông”, Khánh Bình nghiên
cứu được:
+ Hai cách trình bày định nghĩa khái niệm logarit: logarit như giá trị của hàm số logarit và
định nghĩa trực tiếp khái niệm logarit.
+ Cách trình bày bài học về logarit, phân loại các dạng bài tập trong các SGK Giải tích 12,

Vì thế để trả lời các câu hỏi đặt ra, chúng tôi chọn các công cụ lý thuyết Didactic Toán như
thuyết nhân học, lý thuyết tình huống và hợp đồng didactic làm lý thuyết cơ sở nghiên cứu.
Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu, chúng tôi trình bày hệ thống các câu hỏi nghiên
cứu như sau:
Q1: Ở cấp độ tri thức bác học, khái niệm logarit được đưa vào như thế nào? Những
nghĩa nào được đề cập? Trong thực tiễn, logarit có vai trò công cụ gì và những ứng dụng
nào gắn với các vai trò công cụ đó?

7


Q2: Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, mối quan hệ thể chế dạy học Toán ở Việt Nam
với nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit có những đặc trưng gì? Những nghĩa nào
và vai trò công cụ gì của khái niệm logarit được đưa ra? Cách thức trình bày ra sao? Chúng
đã tác động như thế nào đến việc hiểu nghĩa và các vai trò công cụ của khái niệm logarit ở
học sinh ?
Q3: Cần phải xây dựng đồ án dạy học như thế nào cho phép học sinh tiếp cận được
một trong những vai trò công cụ của logarit ?

3. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt mục đích nghiên cứu, chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu được sơ đồ
hóa như sau:
NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA HỌC
Về nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit
NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY
Thể chế dạy học Toán ở Việt Nam

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
Quan hệ cá nhân của học sinh


thực tiễn, logarit có vai trò công cụ gì và những ứng dụng nào gắn với các vai trò công cụ
đó?
 Chương 2 – Mối quan hệ thể chế với đối tượng logarit trong dạy học toán bậc THPT
Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu về khái niệm logarit
trong CT, SGK hiện hành. Chúng tôi đặc biệt chú ý đến các tổ chức toán học liên quan đến
nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit.
 Chương 3 – Thực nghiệm
Chúng tôi trình bày một thực nghiệm kiểm chứng các giả thuyết đã được đề ra cuối
chương 2 và xây dựng, triển khai một tiểu đồ án didactic cho phép HS tiếp cận một trong
những vai trò công cụ của logarit. Đối tượng mà chúng tôi thực nghiệm là HS 12 đã học về
khái niệm logarit và đạo hàm của hàm số logarit.
Ngoài ba chương đã trình bày trên, chúng tôi còn nêu một cách tổng quát nhất những
kết quả nghiên cứu ở chương 1, 2, 3 trong phần KẾT LUẬN CHUNG đồng thời nêu lên
một số hướng nghiên cứu từ đề tài.

9


CHƯƠNG 1: MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ NGHĨA VÀ
VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM LOGARIT
Mục đích của chương là trả lời câu hỏi Q1 được đặt ra ở phần trước như sau:
Q1: Ở cấp độ tri thức bác học, khái niệm logarit được đưa vào như thế nào? Những nghĩa
nào được đề cập? Trong thực tiễn, logarit có vai trò công cụ gì và những ứng dụng nào gắn
với các vai trò công cụ đó?
Do hạn chế về tài liệu tham khảo nên chúng tôi chỉ đề cập sơ lược lịch sử xuất hiện, cách
thức tiếp cận khái niệm logarit và thực hiện một điều tra về các vai trò công cụ. Những trình
bày trong chương 1 là cơ sở tham chiếu cho nghiên cứu tiếp theo.

1.1. Vài nét về lịch sử xuất hiện khái niệm logarit
Nghiên cứu của chúng tôi ở mục này dựa vào các tài liệu tham khảo sau:

2
2

2

theo

hai

công

thức

lượng

Theo tiếng Hy Lạp, từ prosthaphaeresis là sự kết hợp giữa prosthesis và aphaeresis, có nghĩa là cộng và trừ.

10

giác:


Thay vì tính trực tiếp tích hai số, prosthaphaeresis chuyển về tính tích cos a.cos b hay
sin a.sin b , thực hiện ba phép cộng, trừ và một phép chia hai. Prosthaphaeresis đã phần nào

đơn giản hóa phép nhân, tuy nhiên vẫn bất lợi khi tính chia, căn bậc hai và căn bậc ba.
Trong khi, logarit giải quyết được nó.
Công trình nghiên cứu đầu tiên về logarit “Mirifici logarithmorum 3 canonis
F
2

Từ “Logarithm” được Napier ghép từ hai chữ “logos” (nghĩa là tỉ lệ) và “arithmos” (nghĩa là số), do vậy logarithm
có thể được hiểu là “số tỉ lệ”.

3

11


Vậy, mục đích Napier xây dựng logarit là gì? Những tính chất nào của logarit đã được thiết
lập?
Tài liệu [2] đã chỉ ra Napier xây dựng được 3 tính chất (TC) quan trọng sau:
=
log nap a + log nap c .
TC1: Nếu ba số dương a, b, c tỉ lệ 4 thì 2 log
nap b
3F

TC2: Nếu a, b, c, d là bốn số dương thỏa

a c
= thì log nap a − log nap b = log nap c − log nap d .
b d

TC3: Nếu bốn số dương liên tiếp a, b, c, d tỉ lệ 5 thì 3log
2 log nap a + log nap d và
=
nap b
F
4


2 log nap 5000000 + log nap 14142135
3

≈ 3465735 .

+ Tra bảng, Napier tính được c ≈ 7071068 . Tương tự Napier tìm được b ≈ 107 .
Như vậy, logarit do Nepier xây dựng nhằm mục đích đơn giản hóa các phép tính nhân,
chia, căn bậc hai, căn bậc ba các số thực dương. Thay vì tính trực tiếp, logarit cho phép
chuyển chúng về các phép tính đơn giản hơn như cộng, trừ, chia hai, chia ba các số logarit.
Về mặt phép toán, so với prosthaphaeresis, tính nhân theo logarit tiện lợi hơn bởi chỉ cần
thực hiện một phép cộng.
Với ưu điểm được thừa nhận, logarit trở nên phổ biến trong giới khoa học châu Âu
thời bấy giờ. Tuy nhiên, logarit do Napier tạo ra vẫn chưa thực sự tiện lợi bởi kết quả tính
4

Ba số dương a, b, c tỉ lệ được hiểu là b = c .
a b

5

Bốn số dương a, b, c, d tỉ lệ được hiểu là =

b
a

c
=
b

d


bằng mực đen cho các phần tử CSN và màu đỏ để chỉ các phẩn tử CSC hay các số logarit
Bürgi (Trong hình 1.2 có log burgi 100020001 = 20 ).

Hình 1.2. Một phần bảng tính logarit của Jost Bürgi
Bürgi không sử dụng thuật ngữ “logarit” để mô tả các số logarit Bürgi. Bảng do ông
tạo ra đơn thuần thể hiện tương ứng giữa CSC và CSN và được sử dụng để tính nhân, chia
và

khai

căn

các

số

thực

dương.

Tuy

nhiên,

theo

lý

thuyết

2 3 4

logarit và lũy thừa mũ số thực bởi tương quan “ z = log x y để chỉ x z = y ”. Nhưng Napier
được biết đến là người phát minh ra logarit.
Trong luận văn “Hàm số mũ trong dạy học vật lý ở trung học phổ thông” (2010), tác
giả Kim Ngân cũng đã chỉ ra:“định nghĩa về một số nâng lên lũy thừa là số thực bất kỳ
không xuất phát từ việc định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỉ (mặc dù lũy thừa với số mũ vô tỷ
căn 2 đã xuất hiện vào thế kỷ 14) mà phải thông qua hàm số logarit”. Như vậy trong lịch
sử, khái niệm logarit và hàm số logarit xuất hiện trước và là cơ sở để định nghĩa lũy thừa
với số mũ thực.
Nhận xét:

+ Logarit xuất hiện đầu tiên trong lịch sử với vai trò công cụ đơn giản hóa nhân, chia, căn
bậc hai, căn bậc ba các số thực dương. Thay vì tính tích, thương, khai căn logarit cho phép
thực hiện trên các phép tính đơn giản hơn như cộng, trừ, chia hai và chia ba.
+ Theo định nghĩa ban đầu, logarit thể hiện mối liên hệ giữa các phần tử CSN và CSC.
Logarit tác động vào các phần tử CSN và biến chúng thành phần tử CSC tương ứng. Từ đó
nhân, chia các phần tử CSN được chuyển về cộng, trừ các phần tử CSC.
+ Logarit ra đời hoàn toàn độc lập với phép tính lũy thừa. Không những vậy logarit, hàm số
logarit là cơ sở để định nghĩa lũy thừa với mũ số thực.
Chúng tôi đã tìm thấy vài ý trả lời Q1, tuy nhiên các cách thức tiếp cận khái niệm logarit
và các vai trò công cụ của logarit chưa được biết đến. Vì thế chúng tôi tiếp tục nghiên cứu
các giáo trình đại học, luận văn liên quan.

1.2. Một số cách tiếp cận định nghĩa khái niệm logarit
Trong “Khái niệm logarit ở trường trung học phổ thông” (Kí hiệu [5]), tác giả Khánh
Bình chỉ ra hai cách tiếp cận khái niệm logarit: Logarit là giá trị của hàm số logarit và định
nghĩa trực tiếp.
14


1.2.2. Tiếp cận khái niệm logarit qua định nghĩa trực tiếp
Theo [5], khái niệm logarit được định nghĩa trực tiếp như sau: “Cho a là một số dương
khác 1 và b là một số dương. Số thực α để aα = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí
hiệu là log a b , tức là α = log a b ⇔ aα = b ”. Từ định nghĩa trực tiếp này, chúng tôi tìm thấy
nghĩa khác của khái niệm logarit: logarit cơ số a của b với 0 < a ≠ 1, b > 0 là số thực α thỏa
aα = b .

Ngoài ra, khi nghiên cứu Đại số & Giải tích 11 (1995) của tác giả Trần Văn Hạo (Kí
hiệu [6]) chúng tôi thấy tồn tại thêm một nghĩa cho khái niệm logarit. Ở bài Logarit thuộc
chương VI. Hàm số logarit, tài liệu [6], thông qua biện luận nghiệm của PT
a x= b ( 0 < a ≠ 1) dựa vào sự tương giao giữa đồ thị hàm số y = a x và đường thẳng y = b dẫn

đến kết quả: «khi b>0 PT (1) 6 có một nghiệm duy nhất. Nghiệm đó được gọi là logarit cơ số
5F

a của b» ([6], tr.204). Từ tình huống xuất hiện chúng tôi nhận thấy sự tồn tại nghĩa sau cho
khái niệm logarit : logarit cơ số a của b với 0 < a ≠ 1 , b > 0 là nghiệm của PT a x = b .
Xem xét thêm tài liệu Calculus II (Kí hiệu [6b]), tác giả D. Joyce nhận xét: “Chúng ta
1
x

xem xét phần diện tích được giới hạn bởi hyperbol y = , trục Ox và hai đường thẳng x = 1 ,
x = b . Chúng ta coi phần này như diện tích có dấu, khi b > 1 diện tích mang dấu dương và
6

PT (1) là PT a x = b

15




1
∫1 x dx và

a

b

1
∫1 x dx và

a

1

∫ x dx

(hay log a b là tỉ số giữa hai

1

1

∫ x dx ).
1

Nhận xét:
+ Từ các tình huống xuất hiện, khái niệm logarit tồn tại với bốn nghĩa sau : Nghĩa một,
logarit cơ số a của b là giá trị của hàm số y = log a x tại điểm x bằng b. Nghĩa hai, logarit cơ
số a của b với 0 < a ≠ 1 , b > 0 là nghiệm của PT a x = b . Nghĩa ba, logarit cơ số a của b với

ngôn ngữ biểu đạt phương trình, nghĩa ba liên quan tính số và biểu diễn số thực, trong khi
đó nghĩa bốn là tỉ số giữa hai tích phân.
+ Có sự khác biệt rõ rệt giữa nghĩa hai và nghĩa ba của khái niệm logarit. Trong khi nghĩa
hai là nghiệm, một ngôn ngữ biểu đạt của PT, xuất hiện trong tình huống giải PT a x = b thì
nghĩa ba chỉ rõ log a b biểu diễn số thực mà a lũy thừa số đó bằng b và liên quan tính số
thực.
Câu hỏi Q1 có thêm vài ý để trả lời. Chúng tôi cần tìm hiểu thêm: Ngoài vai trò công cụ
đơn giản hóa nhân, chia và khai căn các số thực dương, logarit có những vai trò công cụ
nào khác và được thể hiện cụ thể qua những ứng dụng nào?

16


1.3. Vai trò công cụ của logarit qua một số ứng dụng
Do không tìm được tài liệu viết đầy đủ về các ứng dụng và vai trò công cụ của logarit
nên chúng tôi thực hiện điều tra từ nhiều giáo trình đại học liên quan. Những tài liệu, trang
web chúng tôi nghiên cứu gồm:
[7]. James Stewart (2010), Calculus – Concepts and contexts – 4th Edition.
[8]. Guy Lefort, Giáo trình Toán cao cấp, Tập 2, Phép tính vi phân.
[9]. Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) – Tạ Văn Đĩnh – Nguyễn Hồ Quỳnh (2007), Toán
học cao cấp, tập 2, Phép tính giải tích một biến số, Nxb Giáo dục.
[10]. Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) – Tạ Văn Đĩnh – Nguyễn Hồ Quỳnh (2009), Bài tập toán
cao cấp, tập 2, Phép tính giải tích một biến số, Nxb Giáo dục.
[11]. GS. Nguyễn Đình Soa (1990), Hóa đại cương, Nxb ĐH Bách Khoa TPHCM.
[12]. Hoàng Ngọc Nhậm (2008), Giáo trình Kinh tế lượng, Nxb Lao động-Xã hội.
[13]. http://calclab.math.tamu.edu/~belmonte
[14]. http://www.willamette.edu/~cstarr/math139
Phân tích các tài liệu trên chúng tôi ghi nhận, logarit được ứng dụng để giải các PT mũ
a



x2

 x2 −1 
,  2  . Logarit thể hiện vai trò công cụ đơn giản
 x +1

hóa biểu thức phức tạp qua kĩ thuật giải các KNV TGiaiPT1, TGiaiPT2, TGHVoDinh, TĐaoHam1,
TĐaoHam2 và TChuyen. Cụ thể như sau:
Trước hết, chúng tôi xét TGiaiPT1: “Giải các PT mũ đưa được về dạng a f ( x ) = b với

0 < a ≠ 1, b > 0 ”.
17


Theo [6], [7], [8] có nhiều sự kiện thực tế dẫn đến giải PT a f ( x ) = b , chẳng hạn: Tính số
năm gởi tiền N (năm) từ công thức lãi kép=
C A. (1 + r ) hay tính thời gian phân rã của các
N

chất phóng xạ m = m0 e − λt biết m0 , m là khối lượng ban đầu, khối lượng sau thời gian t;
λ=

ln 2
là hằng số phóng xạ và T là chu kì bán rã….
T

Dưới đây là các nhiệm vụ cụ thể, lời giải kèm theo và kĩ thuật giải tương ứng:
•



1
( 5 − ln10 ) ([7], tr.66)
3

= 8 ⇔ 2x

2

+2

=
23

⇔ x2 + 2 =
3
([6], tr.224).
⇔x=
±1
Theo tính chất của hàm số mũ, y = a x là một hàm số đơn điệu, miền giá trị là ( 0; +∞ ) nếu a ≠ 1 ,
còn nếu a = 1 thì y = 1 là một hàm hằng nên ta suy ta các kết luận về nghiệm của PT
f ( x)
a=
b ( a > 0 ) (1) như sau:
+ Nếu b ≤ 0 thì PT (1) vô nghiệm.
+ Nếu b > 0 thì PT (1) tương đương với a f ( x ) = a loga b . Hay do tính chất đơn điệu của hàm số mũ, ta
có f ( x ) = log a b . ([6], tr.221 và tr.222)

 Kĩ thuật τ 1.CCLog - Công cụ logarit – được rút từ lời giải PT e5−3 x = 10 :
+ Điều kiện cho PT (nếu có).