VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

50 Bài tập về bất đẳng thức
a ≥31
S= a+
a
Giải:
1 8a a 1
24
a 1 10
S = a+ = +( + )≥
+2 . =
a 9
9 a ≥a 2 1 9
9 a 3
Bài 2: Cho , tìm giá
S
=
a
+
trị nhỏ nhất của
a2
Bài 1: Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của

Giải:

1 6a a a 1
12
a a 1 12 3 9
=
+ ( + + 2 ) ≥ + 33 . . 2 = + =

≥ 2 ab
+
=
2
ab
16ab 16ab
4
 a+b 
3 16ab
16 
a +b+c ≤
÷
 2 
2

Tìm giá trị nhỏ nhất của

S = a2 +

Giải:

1
1
1
+ b2 + 2 + c 2 + 2
2
b
c
a


+ ) b
c
c
a
a
17
17
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
S≥

1
4 4 4
1
36
(a + b + c + + + ) ≥
(a + b + c +
)
a xb+ yc+ z ≤ 117
a +b+c
17

Bài 5: Cho x,
y, z là ba số
 3 17
1 
9
135

82
9
1
1
9
Bài 6: Cho a, TT : y 2 + 1 ≥ 1 (ay +
+ 2b);+ 3zc2 ≥+ 202 ≥
(z + )
2
b, c > 0 và
z
z
x
x
82
82
Tìm giá trị S ≥ 1 ( x + y + z + 9 + 9 + 9 ) ≥3 19 ( x 4+ y + z + 81 )
S = xa + by + cz+ +82 +
x+ y+z
82
nhỏ nhất của
a 2b c
1
80 
Giải: Dự đoán = 1 ( x + y + z +
)+
≥ 82

x + y + z x + y + z 
82 

Giải:
Ta có
1 1
4 1 1
4
1 1 1 1
4
4
16
1
1 1 2 1
+ ≥
; + ≥
⇒ + + + ≥
+
≥
⇒
≤  + + ÷
x y x+ y y z y+z
x y y z x + y y + z x + 2y + z
x + 2 y + z 16  x y z 
TT :
1
1 2 1 1
1
1 1 1 2
≤  + + ÷;
≤  + + ÷
2 x + y + z 16  x y z  x + y + 2 z 16  x y z 
1 4 4 4

 5

x

x

x

x

x

 15 
 20   15 
 20   12 
.  ÷ = 2.3x ;  ÷ +  ÷ ≥ 2.5 x ;  ÷ +  ÷ ≥ 2.4 x
 4
 3   4
 3   5

Cộng các vế tương ứng => đpcm.
Bài 9:
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 8 x + 8 y + 8z ≥ 4 x +1 + 4 y +1 + 4 z +1
6 . Chứng minh rằng
Giải:
Dự đoán x=y=z = 2 và nên:

3

8 x.8 x = 3 64 x = 4 x

3 1 + y3 + z3
;
=
=
xy
yz
yz

 1
1
1 
S = 3
+
+
÷≥ 3 3
 xy
yz
zx ÷



1
2

x y2 z2

3 1 + z 3 + x3
3 zx
;
=

( x − y ) ( 1 − xy ) ≤ ( x + y ) ( 1 + xy ) ≤ 
2
 = ⇒ −1 ≤ P ≤ 1
P =
2
2
2
2
2
4
( 1 + x ) ( 1 + y ) ( 1 + x ) ( 1 + y ) ( x + y + 1 + xy ) 4 4
Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4
Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4
KL: Khi dấu = xảy ra.
Bài 12:
Cho a, b, c > 0. Chứng minh a 3 b3 c3
+ + ≥ ab + bc + ca
rằng:
b c a
Giải:
a 3 b3 c3 a 4 b 4 c 4 ( a 2 + b 2 + c 2 )2 ( ab + bc + ac )
+ + =
+ + ≥
≥
= ab + bc + ac
b c a ab bc ca
ab + bc + ac
ab + bc + ac
Cách 1:
2

+ + 2 + y =  + ÷+  2 + + ÷+ 
÷≥
2
4x
y
4 x y
4 4  2  2
 x 4  y
Bài 14: Cho x, y > 0 và x+y =
1
1
P
=
+
≥ 4+ 2 3
3
3
1. Chứng minh rằng
x +y
xy
Giải: Ta có

( x + y)
P=
4

3

= x 3 + y 3 + 3xy(x+y) ⇒ x 3 + y 3 + 3xy=1


1
y
z
= 2−
−
=1−
+1−
=
+
≥2
1+ x
1+ y 1+ z
1+ y
1+ z 1+ y 1+ z
TT :

1
≥2
1+ y

xz
1
;
≥2
( 1+ x) ( 1+ z ) 1+ z

yz
(1+ y ) (1+ z )

xy


Bài 17:
Cho a, b, c > 1. Chứng minh 4a 2 5b 2 3c 2
+
+
≥ 48
rằng:
a −1 b −1 c −1
Giải:
2
4a 2 4 ( a − 1) + 4
4
4
=
= 4 ( a + 1) +
= 4 ( a − 1) +
+ 8 ≥ 8 + 8 = 16
a −1
a −1
a −1
a −1
5b 2
5
3c 2
3
= 5 ( b − 1) +
+ 10 ≥ 20;
= 3 ( c − 1) +
+ 6 ≥ 12⇒ dpcm
b −1

+
+
≥
;
+
+
≥
đẳng
thức a b b a + 2b b c c b + 2c c a a c + 2a
=>đpcm

Bài 19:
Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:
1 4 9
36
+ + ≥
a b c a+b+c
5

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Giải:
1 4 9 ( 1 + 2 + 3)
36
+ + ≥
=
a b c
a+b+c

2

Bài 21:
Với a, b, c > 0 chứng 4 5 3
2
1 
 3
+ + ≥ 4
+
+
÷
minh rằng:
a b c
 a +b b+c c +a 
Giải:
1 1
4
3 3
3 1 1
4
2 2
8 1 1
4
+ ≥
⇒ + ≥
; + ≥
⇒ + ≥
; + ≥
a b a+b
a b a +b b c b+c

1
1
1
1
1
1
1 1 1
+
+
+
+
+
≥ 2 + + ÷
− a + b + c a − b + c a + b − c −a + b + c a − b + c a + b − c
a b c

Bài 23:
Cho x, y, z> 0 và . Tìm giá trị
xx2 + y + yx2≥ 4 z 2
P
=
+
+
nhỏ nhất của
y+z z+x x+ y
Giải:
6

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


y+z
4
z+x
4
x+ y
4
Bài 24:
x+ y+z x+ y+z 4
Cho các số thực ⇒ P ≥2 xy + 3z
y ++x5− 3z + x + 5= x + 2 y +=5 =51
2.
+ 2
+ 2
2≥
dương x, y, z thỏa
1+ x
1+ 2 y
1 + 3z
7
mãn x+2y+3z =18.
Chứng minh rằng
Giải:
2 y + 3z + 5 3 z + x + 5 x + 2 y + 5
+
+
1+ x
1+ 2 y
1 + 3z
2 y + 3z + 5
3z + x + 5

Chứng minh rằng nếu a,b,c p − a + p − b + p − c ≤ 3 p
là độ dài ba cạnh của một
tam giác có p là nửa chu vi thì
Giải:
p − a + p − b + p − c ≤ (12 + 12 + 12 )( p − a + p − b + p − c ) = 3(3 p − 2 p ) = 3 p
Bu- nhi -a ta có:

Bài 27:
Cho hai số a, b thỏa mãn: . Tìm giá a ≥ 1;1b ≥ 4 1
A = a+ +b+
trị nhỏ nhất của tổng
a
b
Giải:
Bài 28:
7

a+

1
1 15b  b 1  15.4
1 17
21
≥ 2; b + =
+  + ÷≥
+ 2. = ⇒ A ≥
a
b 16  16 b  16
4 4
4

a; +a 2.
> 0 ⇒. A== a ++ = ⇒ A ≥
A=a+ =
+ ( + ) ≥ = .3
a 9 xy9+ y a+ x 9
9 a 3 3a 3
3

Cho ba số thực đôi một phân biệt.
Chứng minh
a2
Giải:

a , b, c

b2
c2
+
+
≥2
(b − c) 2 (c − a ) 2 (a − b) 2
a
b
b
c
c
a
.
+
.

2
a +b +c
ab + bc + ca

Giải:
1
2009
+
2
2
a + b + c ab + bc + ca
1
1
1
2007
9
2007
= 2
+
+
+
≥
+
≥ 670
2
2
2
2
a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca ( a + b + c )
( a + b + c)

2(

Suy ra
t = a2 + b2 + c2, với t ≥ 3.
Suy ra ⇒ P ≥ 4
=b=c=1

a

P≥t+

9−t t 9 t 1
3 1
= + + − ≥ 3+ − = 4
2t
2 2t 2 2
2 2

Bài 33:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P=

1
1 1
+
+
16 x 4 y z

Giải:
P=


Bài 34:
Cho hai số thực dương x, y 4 5
+ ≥ 23
thỏa mãn:

x

y
Tìm giá trị nhỏ nhất của
6
7
B = 8x + + 18y +
biểu thức:
x
y
Giải:
9

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

B = 8x +

6
7 
2 
2 4 5

⇒
≤

Bài 36:
+ c2]≥ 0
Cho a, b, c là các số thuộc thỏa mãn a +[ b−1;
2
2
2
điều kiện a + b + c = 6. Chứng minh
rằng .
Giải:

( a + 1) ( a − 2 ) ≤ 0 ⇔ a 2 − a − 2 ≤ 0; b 2 − b − 2 ≤ 0; c 2 − c − 2 ≤ 0
Bài 37:

⇒ a + b + c ≥ a 2 + b2 + c 2 − 6 = 0

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn . a + b + c ≤ 2
Chứng minh rằng:

Giải:

a2 +

1
1
1
97
+ b2 + 2 + c 2 + 2 ≥

2
b2 + 2 ≥
 b + ÷; c + 2 ≥
c + ÷
c
4pc 
4a 
97 
Cho
tam
p a p 97 
+
+
≥
9
giác có ba
p−a p−b p−c
cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi
là 2p. Chứng minh rằng

Giải:
hay

1
1 p 1 p
p 9
9
+
+ + ≥ +
≥9

2
3


+ ( b − 2) + ( c − 2)
2

2

Có chứng minh được
không?

a 2 + b2 + c2
≥0⇔
≥ 4 (2)
3

hay

(1)and(2) ⇒ dpcm

3(a 2 + b 2 + c 2 ) + 2abc < 18

Bài 40:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của P = 4( a3 + b3 + c3 ) + 15abc
một tam giác có chu vi bằng 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Giải:
ab2 ≥ ba2 − (cb− ac)2 = (ba− cb+ ac)(ba+ cb− ac)



4(a3 + b3 + c3)+ 15abc ≥ 3.(− 8) + 32 = 8

2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
a =b =c =
3 Từ đó giá trị nhỏ
2
a
=
b
=
c
=
nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi
3
Bài 41:

11

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh 2
1
3
3
3
≤
a

2

) ⇒P≥1

(a
6

2

)

+ b2 + c 2 +

1
6

2

1 
1 
1
1
1 1 1 2

2
2
2
 a − ÷ + b − ÷ + c − ÷ ≥ 0 ⇔ a + b + c ≥ ⇒ P ≥ . + =
3 
3 



VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
xyz ≥ ( − x + y + z ) ( x − y + z ) ( x + y − z )
= (6 − 2 x)(6 − 2 y )(6 − 2 z ) = 216 − 72( x + y + z ) + 24( xy + yz + zx) − 8xyz
8
⇔ xyz ≥ −24 + ( xy + yz + zx) (1)
3
mà ( x + y + z ) = 9 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2 yz + 2xz = 9
2

⇔ x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − xz = 36 − 3xy − 3 yz − 3xz
(2)
8
Nên xyz + x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − xz + ≥ −24 + ( xy + yz + zx)+ 36 − 3xy − 3 yz − 3xz
3
1
2
⇔ xyz + x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − xz + ≥ 12 − ( xy + yz + zx) mà ( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + zx)
3
1 ( x + y + z)
36
⇒ xyz + x + y + z − xy − yz − xz + ≥ 12 − .
= 12 −
=8
3
3
9
Bài 43:
2

2

2

Bài 44:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = ( x − 1) + ( x − 3) + 6 ( x − 1)
4

4

2

( x − 3)

2

Giải:
Cách 1:

13

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Cách 2:
A = ( x − 1) + ( x − 3) + 6 ( x − 1)
4

bc
ca
1
Giải:
+
≤
A = 8( x − 2) 4 + 8 ≥ 8 +
c +1 a +1 b +1 4

Bài 46
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng:
1

14

1
1
+
+
≤1
3
3
1 + xVăn
+ y Lập1 –+ Trường
y + z THCS
1 + z3 +
x3 Lư
Trần
Yên
3

1
x
1
y
;
≤
;
≤
⇒ dpcm
3
3
3
3
x + y + z 1+ y + z
x + y + z 1+ z + x
x+ y+ z

Bài 47
Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:
a+b
≥ 2a b + 2b a
2
a+b
1

1 
1 
2

= ( a + b )  a + b + ÷ = ( a + b )   a + ÷+  b + ÷÷ ≥ 2 ab ( a + b ) = 2a b + 2b a

1
1
2
1
=
≥
= 2
= 2
2
1 + 8a 3
( 2a + 1) ( 4a 2 − 2a + 1) 2a + 1 + 4a − 2a + 1 4a + 2 2a + 1
2
1
1
1
1
;
≥ 2 ;
≥ 2
1 + 8b3 2b + 1 1 + 8c3 2c + 1
1
1
1
9
⇒ VT ≥ 2
+ 2
+ 2
≥ 2
=1
2a + 1 2b + 1 2c + 1 2a + 1 + 2b 2 + 1 + 2c 2 + 1

b3
c3
+ ab ≥ 2a 2 ; + bc ≥ 2b 2 ; + ca ≥ 2c 2 ⇒ VT ≥ 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − (ab + bc + ca ) ≥ a 2 + b 2 + c 2
b
c
a
Bài 50
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
Giải:

15

x2
y2
z2
3
+
+
≥
y +1 z +1 x +1 2

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
x2
y +1
y2
z +1
z2