14
d. (d) song song với đờng thẳng y = 2x + 3 v cắt đờng thẳng y= 3x + 2 tại
điểm có honh độ l 1
(d) song song với đờng thẳng y = 2x + 3


m12 m1
3n 6 3 n 1



(d) cắt đờng thẳng y= 3x + 2 tại điểm có honh độ l 1


m 1 .1 3n 6 3.1 2 m 3n 2 .
Thay m = 1 vo ta có 1 3n = - 2

n = 1( không thỏa mãn )
Vậy không có giá trị no của m v n thỏa mãn điều kiện đề bi.
Chú ý :

Ta thờng quên so sánh với điều kiện
n1

nên dẫn đến kết luận
sai



m0
3m1.13n6
m3n2 2m 0
2
3m 3n 2 3m 3n 2
n
1m1.33n6
3












Vậy m = 0 , m =
2
3


e. (d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm nằm bên dới trục honh
f. (d
1
) cắt (d
2
) tại điểm ( 1 ; -2 )
g. Chứng tỏ khi m thay đổi thì đờng thẳng (d
1
) luôn đi qua một điểm cố định ,
đờng thẳng (d
2
) luôn đi qua một điểm cố định.

Giải :

Để các hm số đã cho l các hm số bậc nhất ta phải có :


m30 m 3
2m 0 m 0







) v (d
2
) cắt nhau m32m m 3
(d
1
) v (d
2
) trùng nhau


m32m m3
2m 1 3m 4 m 1



( vô nghiệm )
Kết hợp với các điều kiện ta có:
Với m = 3 thì (d
1
) v (d
2
) song song với nhau

m3 , m0 , m3 thì (d
1
) v (d
2
) cắt nhau
Không có giá trị no của m để (d
1

1
) v ( d
2
) với trục tung lần lợt l ( 0 ; 2m + 1) v ( 0 ;
-3m -4 ) nên chúng cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung khi hai điểm đó trùng
nhau, tức l 2m+1 = -3m

4. Do đó lời giải trên nhanh m không phải lm tắt.

c. (d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm trên trục honh
(d
1
) v (d
2
) cắt nhau m32m m 3
Thay y = 0 vo phơng trình đờng thẳng (d
1
) v (d
2
) ta có


2m 1
x
m3x2m10
m3







(d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm trên trục honh khi

22 2
2m 1 3m 4
2m 2m 1 m 3 3m 4 4m 2m 3m 13m 12 m 11m 12 0
m3 2m




Phơng trình trên l phơng trình bậc hai có a - b + c = 0 nên có hai nghiệm m
1
= -1 ; m
2

= 12
Kết hợp với các điều kiện ta có m = -1 hoặc m = 12 thì d
1
) cắt (d
2

m3



( vì m 3 )
(d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm nằm bên phải trục tung khi honh độ giao điểm dơng
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
16

5m 5
05m5m30m1hoặcm3
m3




Kết hợp với các điều kiện ta có
m3,m1hoặcm3



e. (d
1
) cắt (d
2

) ta có

222
5m 5 5m 20m 15 2m 5m 3 7m 15m 12
ym3. 2m1
m3 m3 m3




* (d
1
) cắt (d
2
) tại điểm nằm bên dới trục honh khi tung độ giao điểm âm
2
7m 15m 12
0(*)
m3





2
2
222
95 3 15
Ta có7m 15m 12 6m 12m 6 m 3m 6 m 1 m 0
44 2 4





2m32m1
m2
m2
m2
22m3m4







Kết hợp với các điều kiện ta có m = -2 l giá trị cần tìm.

g. Chứng tỏ khi m thay đổi thì đờng thẳng (d
1
) luôn đi qua một điểm cố định ,
đờng thẳng (d
2
) luôn đi qua một điểm cố định.
Giả sử khi m thay đổi các đờng thẳng (d
1
) luôn đi qua điểm ( x
0
; y
0


Đề bi 4:

Cho hai đờng thẳng d
1
v d
2
lần lợt có phơng trình y = -2x + 4 v y = 2x - 2
a. Tìm tọa độ giao điểm A của hai đờng thẳng trên.
b. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các đờng thẳng d
1
v d
2

c. Gọi B v C lần lợt l giao điểm của d
1
v d
2
với trục honh; D v E lần lợt l
giao điểm của d
1
v d
2
với trục tung.Tính diện tích các tam giác ABC , ADE , ABE.




Vậy giao điểm A của hai đờng thẳng l A
3
;1
2




f. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các đờng thẳng d
1
v d
2

Xét đờng thẳng (d
1
) : y = -2x + 4
Với x = 0
y = 4 ; y = 0 x = 2. Đờng thẳng (d
1
) đi qua hai điểm ( 0 ; 4 ) v ( 2 ; 0
)
Xét đờng thẳng (d
2
) : y = 2x - 2
Với x = 0
y = -2 ; y = 0 x = 1. Đờng thẳng (d
1

với trục tung.Tính diện tích các tam giác ABC , ADE
, ABE.
Ta có : A
3
;1
2



, B( 2 ; 0 ) , C ( 1 ; 0 ) , D( 0 ; 4 ) v E( 0 ; -2 )
Do đó : BC = | 2 1| = 1 , DE = | 4 - (-2)| = 6 , BO = | 2 0 | = 2
Gọi AH l đờng cao của
ABC , AK l đờng cao của

ADE AH = 1 , AK =
3
2

Gọi
ABC
S ,
ADE
S ,
BDE
S ,
ABE
S lần lợt l diện tích của các tam giác ABC , ADE , BDE
, ABE.
Ta có :


-1
-2
-3
x
y
A
E
CB
D
d
1
d
2
H
K
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
18

ABE BDE ADE
93
SSS6
22

( đơn vị diện tích )
h. Tính các góc tạo bởi đờng thẳng d
1
v d
2
với trục honh.



0
ACx 63, 4
Vậy góc tạo bởi đờng thẳng d
1
v d
2
với trục honh cùng l 63,4
0
.

II. chú ý :
Khi đề bi không cho điều kiện của tham số m m nói l cho hm số
bậc nhất thì khi lm bi ta vẫn phải tìm điều kiện để có phơng trình bậc nhất
v dùng điều kiện ny để so sánh trớc khi kết luậnD. Hệ phơng trình

Đề bi 1:
Giải các hệ phơng trình sau :
a)





234
925

2
x2y
21
1
x2y











( Đặt ẩn phụ ) e)
22
7
3316
x
yxy
xy xy






( đối xứng loại 1 )

( đẳng cấp bậc hai )

Giải :

a)



x1
x1
5x 2y 9 15x 6y 27 23x 23
24
413y2
4x 3y 2 8x 6y 4 4x 3y 2
y
2
3














4
y
5
x52y 1
x52y
10y 30y 20 0
y3y202














Phơng trình (2) l phơng trình bậc hai có a + b + c = 0 nên có hai nghiệm l
12
c
y
1;
y

y
xx
yy
7x
y
0
x7xy7y xy7x7y0
c)
xyxy2 xyxy2
xyxy2
xyx xyy 7 01
xyxy2 2















Nếu x
2
+ xy + y
2
+ 7 = 0 kết hợp với (2 ta có hệ :


22
2
22
22
xyxy90
xy2xy70
xyxy70
x
y
2x
y
x
y
2
xyxy2
xyxy2














Phơng trình (*) l phơng trình bậc hai có
2
1 4.1.16 63 0

nên (*) vô nghiệm. Hệ
vô nghiệm
Vậy hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm l
15 15
xy v xy
22

d)
13
2
x2y
21
1
x2y












Do đó
11
x5
x5
511
13
y2
33
2y 5












2
22
7
7
3316
23 16
xyxy
xyxy
xy xy
xy xy xy

Đặt x+y = S , xy = P ta có hệ



2
2 2
P7S
SP 7 P 7S
S27S3S16
S2P3S16 SS20










www.VNMATH.com
20
12
15 15
A2;A 3
22


=> Hệ phơng trình có nghiệm ( 2 ; -3 ) v ( -3 ; 2 )
Với S = S
2
= 2 ta có P = -7 - 2 = -9 . => Tự lm tiếp.
Kết luận : Hệ phơng trình đã cho có 4 nghiệm l :
( 2 ; -3 ) , ( -3 ; 2 ) ,



110;110,110;110

f)











y
3x
y
x
y
0
x-y=0
x-y2x2y13x3y 0 xy5x5y1 0
5x 5
y
10








Nếu x - y = 0 x = y thay vo (1) ta có 2x
2
+ x = 3x
2
- 2 x
2
- x - 2 = 0
Phơng trình có dạng a b + c = 0 nên có hai nghiệm l x
1
= -1 , x
2
Với x = x
1
=
1 209
10

ta có y = (1 5.
1 209
10

) : 5 =
1 209
10


Với x = x
2
=
1 209
10

ta có y = (1 5.
1 209
10

) : 5 =
1 209
10














22
22
22
22 22
22
22222222
25. 3 2 25.11
32 111
75 50 25 275
)
25252 112255275
11. 2 5 11.25
75 50 25 11 22 55 64 28 30 0 32 14 15 0 *
xxyy
xxyy
xxyy
g


Đặt t =
x
y
ta có phơng trình : 32t
2
+ 14t 15 = 0
Phơng trình trên có


2
' 7 32. 15 529 0 ' 23
Phơng trình có hai nghiệm :
12
723 15 723 1
t;t
32 16 32 2





www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
21
Với t = t
1
=
15
16

16 15 16 15
.
16
41 41 41
yx
Với




16 15 16 15
.
16
41 41 41
yx
Với t = t
2
=
1
2

x1 1
x
y
y
22

. Thay vo phơng trình (2) ta có :




Tóm lai hệ phơng trình đã cho có 4 nghiệm ( x ; y ) l :





15 16 15 16
; , ; , 1; 2 , 1; 2
41 41 41 41Chú ý :

Nếu trong hệ có các biểu thức cần điều kiện thì trớc khi giải ta phải
tìm điều kiện của biến trớc, sau đó dùng điều kiện ny để so sánh trớc khi
kết luận về nghiệm của hệ
Đề bi 2:
Cho hệ phơng trình:



3x m 1
y
12
m1x12
y

m1x12m1
y
24 m 1











Trừ từng vế của hai phơng trình trên ta có :
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
22


22
m 1 x 36x 24 m 1 144 m 1 36 x 24m 24 144
m 7 m 5 x 24m 168 3





Nếu m = 7 thay vo hệ phơng trình ban đầu ta có :


m5v m7
từ (3) ta có :



24 m 7
24m 168 24
x
m7m5 m7m5 m5






Thay vo (2) ta có:





24 m 1 2 m 1
24 12
m 1 . 12y 24 12y 24 y 2 y
m5 m5 m5 m5






Khi đó nghiệm của hệ l :
24 12
x,y
m5 m5



24 12
x
y
1
m5 m5



Với
m5v m7 ta có (x + 5)
2
>0 . Nhân hai vế của (1) với (x + 5)
2
>0 ta đợc bất
phơng trình

24 m 5 12 m 5 24m 120 12m 60 12m 60 m 5
Kết hợp với các điều kiện ta có m < -5 l giá trị cần tìm
Chú ý :


0
m50
m5
m50 m 5
12 m 5 0
0
m5













Kết hợp với các điều kiện ta có m < -5 l giá trị cần tìm
Chú ý :

Nghiệm ( x ; y ) của hệ đợc gọi l âm nếu x < 0 v y < 0. Nghiệm
dơng, không âm, không dơng của hệ cũng tơng tự.
e. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 1
Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi
m5v m7 .
Khi đó nghiệm của hệ l :
24 12













Kết hợp với các điều kiện ta có
5m31 v m7

l giá trị cần tìm
f. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y = -1.
Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi
m5v m7 .
Khi đó nghiệm của hệ l :
24 12
x,y
m5 m5




Hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y = -1





m 5 12;6;4;3;2;1;1;2;3;4;6;12



m 17;11;9;8;7;6; 4; 3; 2; 1;1;7
Kết hợp điều kiện ta có


m 17;11;9;8;7;6; 4; 3; 2; 1;1 l các giá trị cần tìm
h. Với ( x ; y ) l nghiệm duy nhất của hệ. Tìm đẳng thức liên hệ giữa x v y
không phụ thuộc vo m.
Ta có





3x m 1 y 12
3x my y 12 my y 3x 12
I
mx x 12y 24 mx x 12y 24
m1x12y 24




Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất ( x ; y ) thì
y
0



222
y3x12
y3x12
m
I .x x 12 24
y
y
mx x 12 24
x
y
3x 12x x
y
12
y
24
y
3x 12x 12
y
0x4x4
y
0




22
7
3316
x
yxy
xy xy





3)





30
11
22
xyyx
yxxy
4)





092)(3
13

xyyx
7)







4
4
xyyx
yx
8)





2
34
44
yx
yx

Đáp án

1) (0;2); (2;0) 2)
(2; 3),( 3;2),(1 10;1 10),(1 10;1 10) 3)
(1;5),(5;1),(2;3),(3;2)





495
5626
22
22
yxyx
yxyx
3)
32
32
23 5
67
xxy
yxy








Bi 3.
Cho hệ phơng trình:
x2y3m
2x
y

b) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y
2.

Bi 5
Tìm các giá trị của m v n để các hệ phơng trình
a)



21726
12
2
66
mxn y
mn
xy








có nghiệm (x ; y) = (1 ; 2)
b)














b)
22
22
35
31
xy
xy







c)
313
124
5329
1212
yx
yx

e)
1
1
8
xy
yz
zx








f)
3
6
1
xy
yz
zx















www.VNMATH.com
www.VNMATH.com