CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ
VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I. Các kiến thức cơ bản cần nhớ:
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
*) Tìm TXĐ D.
*) Tính y’.
*) Tìm các nghiệm của phương trình y’=0 và các điểm mà tại đó y’ không xác
định.
y , lim y
*) Tìm xlim
→−∞
x →+∞
*) Tìm các tiệm cận đứng, ngang (nếu có).
*) Lập bảng biến thiên và điền đầy đủ các yếu tố.
*) Nêu sự đồng biến,nghịch biến và cực trị (nếu có).
*) Tìm các điểm đặc biệt (giao với trục Ox, giao với trục Oy) và một số điểm.
*) Vẽ đồ thị.
2) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Cho hàm số y = f(x).
Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại một điểm
M(x0;y0)
- Xác định x0; y0.
- Tính y’ sau đó tính y’(x0) hay f’(x0).
- Viết phương trình y − y0 = f '( x0 )( x − x0 )
Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
- Tính y’ suy ra f’(x0).
- Giải phương trình f’(x0) = k tìm x0.
- Có x0 tìm y0, viết phương trình y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) .
3) Biện luận số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị (C ): y=f(x)
- Đưa phương trình về dạng f(x) = A(m).
- Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với

II. Các dạng toán luyện tập:
1.Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số:
Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến hay nghịch biến và cực trị (nếu có) của các hàm
số sau:
1
3
2
x − 2x
y=
; e) y = 2x - x 2 ; g) y = e x − x .
x −1

a) y = x3 − 3x 2 + 9 x − 2 ; b) y = x3 − 3x 2 + 1 ; c) y = x 4 − 2 x 2 + 3 ;

d)

Hướng dẫn học sinh giải :
* Các bước tìm :
- Nêu TXĐ
- Tính đạo hàm y'
- Xét dấu y' và dựa vào định lý nêu kết luận
Giải
1
3
TXĐ: ¡

a) y = x3 − 3x 2 + 9 x − 2
y ' = x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3) ≥ 0, ∀x ⇒ Hàm số đồng biến trên ¡ .Hàm số không có cực trị.
2


Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCD = 1. Hàm số đạt cực tiểu tại x =2, yCT = -3
c) y = x 4 − 2 x 2 + 3
TXĐ: ¡
x = 0
y ' = 4 x − 4 x = 4 x x − 1 ; y ' = 0 ⇔  x = −1
 x = 1
3

(

2

)

2


Dấu của y' :
x
y'
y

−∞

-1
0

-

+

( x − 1)
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;1) , ( 1; +∞ ) .
y'=

e) y = 2x - x 2
TXĐ: [ 0; 2]
y'=

1− x
2x − x2

; y ' = 0 ⇔ x =1

Dấu của y' :
x
y'
y

0
||

+

1
0
1

2
||


3

Bài 2: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số f ( x) = x3 − 2 x 2 − mx + 1 nghịch biến
trên khoảng ( 1;3) .
Giải :
TXĐ: ¡
y ' = x2 − 4 x − m

Để hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;3) , thì

y ' ≥ 0, ∀x ∈ ( 1;3 ) ⇔ x 2 − 4 x − m ≥ 0, ∀x ∈ ( 1;3) ⇔ x 2 − 4 x ≥ m, ∀x ∈ ( 1;3 )

Xét hàm số f ( x) = x 2 − 4 x trên [ 1;3] , ta có f '( x) = 2 x − 4; f '( x) = 0 ⇔ x = 2
x
f'(x)
f(x)

1

2
0

-

3
+

-3

-3

 y ''(2) > 0
12 − 2m > 0
m < 6

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 ⇔ 

Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.
3. Tìm GTLN-GTNN của hàm số :
Bài 5: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số:
4
3

a) f ( x) = − x3 + 3x 2 + 9 x + 2 trên [ -2;2] ; b) f ( x) = 2sin x − sin 3 x trên [0; π ]
c) y = x + 4 − x 2

; d) y = x +

1
trên khoảng (0; +∞ )
x

Giải :
4


 x = −1
x = 3
f ( −2) = 4; f (2) = 24; f (−1) = −3; f (3) = 29
max fx ) = 29; min f ( x) = −3


=

2

2
1
2 2
g (0) = 0; g (1) = ; g ( ) =
3
3
2

Vậy max f ( x) =
[ 0;π ]

2 2
; min f ( x) = 0 .
3
[ 0;π ]

c) y = x + 4 − x 2
TXĐ: [ −2; 2]
x ≥ 0
⇔x= 2
; y ' = 0 ⇔ 4 − x2 − x = 0 ⇔  2
x
=
2
4 − x2
4 − x2

-

1
0

+∞
+

+∞

3
2

Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng

3
đạt được khi x = 1.
2

Hàm số không có giá trị lớn nhất.
4. Khảo sát hàm số và bài toán liên quan:
Bài 6: Cho hàm số y = − x3 + 3x 2 − 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 − 3x 2 + m = 0 .
Bài giải
a)
• TXĐ: D = R.
• y ' = −3x 2 + 6x
5



Hàm số đồng biến trên (0 ; 2); hàm số nghịch biến trên (−∞;0) và (2; +∞) .
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = -1.
y = +∞, lim y = −∞
Giới hạn: xlim
→−∞
x →+∞
Bảng biến thiên:

• Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1)
• Đồ thị:

b)

• x 3 − 3 x 2 + m = 0 ⇔ − x 3 + 3x 2 − 1 = m − 1
• Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = − x 3 + 3 x 2 − 1 với đường thẳng y = m – 1.
• Vậy:
m − 1 > 3 ⇔ m > 4 : Phương trình có 1 nghiệm.
m − 1 = 3 ⇔ m = 4 : Phương trình có 2 nghiệm.
3 > m − 1 > −1 ⇔ 4 > m > 0 : Phương trình có 3 nghiệm.
m − 1 = −1 ⇔ m = 0 :Phương trình có 2 nghiệm.
m − 1 < −1 ⇔ m < 0 : Phương trình có 1 nghiệm.
Bài 7: Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 có đồ thị (C ).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 = 2.
Bài giải
a) .TXĐ: D = R.
• y ' = 4 x3 − 4 x
6


• Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +∞ ); hàm số nghịch biến
trên các khoảng ( −∞ ; 0) và (0;1).
• Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 0; hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1 , yCT = -1.
y = +∞, lim y = +∞
• Giới hạn: xlim
→−∞
x →+∞
• Bảng biến thiên:

•
• Điểm đặc biệt: (− 2;0), ( 2;0), (0;0)
• Đồ thị:

b)

• Hàm số y = x 4 − 2 x 2 với x0 = 2 thì y0 = 16 − 2.4 = 8
• y ' = 4 x3 − 4 x, y '(2) = 4.8 − 4.2 = 24
• Phương trình tiếp tuyến:

y − y0 = y '( x0 )( x − x0 ) ⇔ y − 8 = 24( x − 2) ⇔ y = 24 x − 40
2x + 3
Bài 8: Cho hàm số y =
có đồ thị (C).
2x −1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục
tung.
Bài giải

2

+

2

Vậy: y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x=

1
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
2

• Bảng biến thiên:

• Hàm số không có cực trị.


• Điểm đặc biệt:  − 2 ;0 ÷, (0; −3)


• Đồ thị:
3

b)

• Tại giao điểm với trục tung thì x0 = 0, y0 = −3
•

y'=


y − y0 = y '( x0 )( x − x0 ) ⇔ y − 4 = 9( x − 2) ⇔ y = 9x − 14

 Với x0 = -2 ⇒ y0 = 0
Phương trình tiếp tuyến:

y − y0 = y '( x0 )( x − x0 ) ⇔ y − 0 = 9( x + 2) ⇔ y = 9 x + 18
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến: y = 9x − 14 và y = 9 x + 18 .

b)






Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x nên có hệ số góc k = 24.
y ' = 4x 3 − 4x
k = 24 ⇔ 4x 03 − 4x 0 = 24 ⇔ x0 = 2
x 0 = 2 ⇒ y0 = 8

Phương trình tiếp tuyến:

y − y0 = y '( x0 )( x − x0 ) ⇔ y − 8 = 24( x − 2) ⇔ y = 24 x − 40

c)
1
2

 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x nên có hệ số góc k = -2.

1
y − y0 = y '( x0 )( x − x0 ) ⇔ y + 1 = −2( x + ) ⇔ y = −2 x − 2
2
y
=
−
2
x
+
6
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm:
và y = −2 x − 2 .
4
2
Bài 10: Cho hàm số y = − x + 3x + 1 có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình x 4 − 3x 2 + log 3 m = 0 có 4 nghiệm
phân biệt.
Bài giải
a)
Thực hiện các bước tương tự như bài tập 2, ta được đồ thị hàm số sau:
9


b)
4
2
4
2

x−2
2x −1
= x − m ( x ≠ 2)
• Xét phương trình:
x−2
⇔ 2 x − 1 = ( x − m)( x − 2) ⇔ x 2 − 4 x − mx + 1 + 2m = 0 ⇔ x 2 − (4 + m) x + 1 + 2m = 0
Có ∆ = (4 + m) 2 − 4(1 + 2m) = m 2 + 8m + 16 − 4 − 8m = m 2 + 12 > 0 ∀m

phương trình

10


• Vậy với mọi m thì đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân
biệt.
III. Bài tập tự luyện
Bài 1: Lập bảng xét dấu đạo hàm y’ và kết luận tính đồng biến, nghịch biến và cực
trị của các hàm số sau:
1. y= x3-3x+5
2. y= -x3+3x2-1
1 3 2
4. y= -x3+2x2-3x
3. y= x +x -3
1
3
6. y= - x4+2x2
4
2
5. y= x -2x
4

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0, biết rằng
y”(x0)=0
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , Ox và Oy
Bài 6.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3-3x+1
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của nó với trục tung
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C), x’Ox và 2 đường thẳng x=0,
x=1
Bài 7.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 – 3x +5
b. Dùng đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
x3 – 3x – k +4 = 0
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3.
Bài 8.
11


a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = -x3+3x2-2
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1
c. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bỡi hình phẳng giới hạn bỡi
(C), Ox, x =1, x =2 quay quanh Ox
Bài 9.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=x4-2x2+1
b. Tìm m để phương trình x4-2x2 = log 2 m có 4 nghiệm phân biệt.
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và trục hoành
Bài 10.a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =

x +3
.
1- x